彈塑性力學講義應力

1、第1章應力1.1應力矢量物體受外力作用后，其內部將產生內力，即物體本身不同部分之間相互作用的力。為了描述內力場，Chauchy引進了應力的重要概念。對于處于平衡狀態(tài)的物體,假想使用一個過P點的平面C將其截開成A和B兩部分。如將B部分移去，則B對A的作用應以分布的內力代替?？疾炱矫鍯上包括P點在內的微小面積，如圖1.1所示。設微面外法線(平面C的外法線)為，微面面積為AS,作用在微面上的內力合力為AF,則該微面上的平均內力集度為AF/AS，于是，P點的內力集度可使用應力矢量T(n)，定義為AFT(n)=lim-AtOAs在笛卡兒坐標系下，使用e，e和e表示坐標軸的單位基矢量，應力矢量可以xyz表

2、示為T(n)=Te+Te+Te(1.1)xxyyzz式中T、T和T是應力矢量沿坐標軸的分量。xyz上篇彈性力學第1章應力上篇彈性力學第1章應力上篇彈性力學第1章應力 除進行公式推導外，通常很少使用應力矢量的坐標分量T、T和T。實際應用xyz中，往往需要知道應力矢量沿微面法線方向和切線方向的分量，沿法線方向的應力分量稱為正應力，沿切線方向的應力分量稱為剪應力。顯而易見，應力矢量的大小和方向不僅取決于P點的空間位置，而且還與所取截面的法線方向n有關，即作用在同一點不同法線方向微面上的應力矢量不同。所有這些應力矢量構成該點的應力狀態(tài)。由應力矢量的定義并結合作用力與反作用力定律，在同一點，外法線為微面

3、上的應力矢量為：T(-n)=-T(n)(1.2)1.2應力張量人們討論問題常常是在笛卡兒坐標中進行，因此，我們使用六個與坐標面平行的平面從圖1.1中P點的鄰域截取一個微六面體，如圖1.2所示。在這個微六面體中，若微面的外法線方向與坐標正方向一致，則稱為正面；若與坐標正方向相反，則稱為負面。因此有三個正面和三個負面。圖1.2一點的應力狀態(tài)考察作用在法線為e,e和e三個正面上的應力矢量T(e)、T(e)和T(e)，每xyzxyz個應力矢量沿空間坐標軸e,e和e有三個分量，其中一個分量垂直于作用面，是xyz正應力，兩個分量平行于作用面，是剪應力，于是Cxex+Txyey+Txzez1.3)T(e)=

4、te+ge+teyyxxyyyzzT(e)=te+te+oezzxxzyyzz三個應力矢量共9個分量，構成應力張量在笛卡兒坐標系下的9個分量attxxyxztatyxyyzttazxzyz對角上的元素是正應力，非對角上的元素是剪應力，剪應力有兩個下標，前一個下標代表作用面的法線方向，后一下標代表力的作用方向。在使用張量表述的教科書里，下標X、y、z往往用1、2、3取代，九個應力分量常記為：a=ija31aa1213aa2223aa3233a11a21應力正、負號規(guī)定是：正面上的應力若指向坐標軸正方向為正，否則為負；負面的應力若指向坐標軸負方向為正，否則為負。這個規(guī)定正好反映了作用力與反作用力定

5、律。圖1.2中的應力均為正值。式(1.3)使用張量可以表示為Te尸ek(5)應當指出：物體內各點的應力狀態(tài)，一般說來是不同的，為非均勻分布，即各點的應力分量應為空間坐標X、y、z的函數。所以，應力張量a.與給定的空間位置ij有關，提及應力張量總是針對物體中的某一確定點而言的。從下節(jié)中我們將知道，應力張量a.完全確定了一點的應力狀態(tài)。i.1.3Chauchy公式(斜面應力公式)一點的應力狀態(tài)中，若已知三個互相垂直面上的應力矢量，其它任意一斜面上 # 上篇彈性力學第1章應力的應力矢量可從該點的平衡條件中導出。圖1.3所示的微四面體由三個負面和一個斜面組成，設斜面的外法線單位矢量為n=lex+mey

6、+nez(1-3b)斜面AABC的面積為dS,則三個負面的面積分別是ABOC=ldSAAOC=mdSAAOB=ndS四面體的體積為dV=-dhdS3式中dh是四面體的高。由微四面體的平衡條件得：T(n)dS+T(-ex)ldS+T(e)mdS+T(-e)ndS+X1dhdS=0 xyz3式中X是單位體積力矢量，T(-e丿、T(-ey)和T(-e)分別是法向為-ex，-ey和-ez微面上的應力矢量。上式中的最后一項是比前面項高一階的小量,可忽略不計,考慮式(1.2)，上式可表示為T(n)=T(e)l+T(e)m+T(e)n(1.4)xyz這就是著名的Chauchy公式，又稱為斜截面應力公式，其實

7、質是微四面體的平衡條上篇彈性力學第1章應力上篇彈性力學第1章應力 件。將斜面應力矢量T()沿坐標軸方向分解T(n)=Te+Te+Te(1.5)xxyyzz注意：T、T、T是T(n)沿坐標軸方向的分量，一般不是斜截面上的正應力和剪應xyz力。將式(1.3)和式(1.5)代入式(1.4)，則式(1.4)可用分量的形式表示為T=gl+Tm+TnxxyxzxT=t1+gm+Tn(1.6)yxyyzyT=t1+tm+Gnzxzyzz若下標x、y、z用1、2、3取代，而l、m、n用n1、n2、n3代替，式(1.4)和式(1.6)的張量形式分別就是T(n)=niT(ei)T.=n.G.或T(n)=nbjii

8、j式中“”是張量點積符號，見附錄1。1.7a)1.7b)Chauchy公式有兩個重要的應用。(1)求斜截面的各種應力。斜截面上的正應力g是應力矢量nT(n)沿其法線方向的投影，考慮到式(1.3a)和式(1.5),因此有g=T(n)n=Tl+Tm+Tnnxyz將式(1.6)(或式(1.7)代入式(1.8a)得：1.8a)G=Gl2+Gm2+Gn2+2Tlm+2Tmn+2Tnlnxyzxyyzzx=Gnnijij上式中使用了后面的剪應力互等定理式(1.11)1.8b)利用式(1.5)可以算出斜截面應力矢量的大小，為斜截面上的剪應力分量是T=T(n)|2-G2nn2)確定力邊界條件(見1.5節(jié))。例

9、1-1在物體內的一點，應力張量是-4求在n丿e-1e+212丄e面上的法向正應力和切向剪應力。v23解：利用式（1.7）求該斜面上應力矢量的三個坐標分量是1111_T=no+no+no=x1x0+x(-4)=一2*2111122133122v22T=no+no+no=1x0-1x3+丄x0=-21122223322T=no+no+no=1x31132233332(-4)-1x0+丄x5=-2+5:222該斜面上的正應力為o=Tn+Tn+TnN112233(3)125運)2+l2丿v2l2丿=2x(2-2-2x=2-2近該斜面上的剪應力為S-T2+T2+T3G1231：2=27+4823N2平衡

10、方程物體處在平衡狀態(tài)，其內部的每一點都應處在平衡狀態(tài)。使用一個微六面體代表物體內的一點，則作用在該微六面體上的所有力應滿足平衡條件，由此我們可推導平衡微分方程。如圖1.4所示的微六面體，取直角坐標系的坐標軸與邊重合，各邊的長度分別為dx如dz。在微六面體x=0的面上，應力是0 x、和、；在X=dX面上的應力，根據應力函數的連續(xù)性并按Taylor級數相對x=0的面展開，略去高階項，它應是Qo去去o+xdx、t+xydx、t+xzdxxQxxyQxxzQx同理，可由y=0,z=0面上的應力表示y=dy,z=dz面上的應力。最后，所有各面上考慮微單元體沿x方向的平衡，可得:dxdydz-adydz+

11、t+kdydxdz-tdxdzQy丿yxyxdzdxdy一tdxdy+Xdxdydz=0丿整理上式并除以微單元體的體積dxdydz,得：+Tzx+zxdzzxQaQtQtL+皆+k+X=0QxQyQz同理，建立y、z方向的平衡條件，可得:QtQaQt于+尸+孫+Y=01.9a)1.9b)QxQyQz冼冼d5xz+k+l+Z=0(1.9c)dxdydz式(1.9)就是彈性力學的平衡微分方程。注意式(1.9)中X、Y、Z是單位體積里的體積力矢量X沿x、y、z方向上的分量，即X=Xe+Ye+Ze(1.10)xyz考慮圖1.4中微單元體的力矩平衡。對通過形心C點平行于z方向的軸取矩。凡作用線通過C點或

12、方向與z軸平行的應力和體力分量對該軸的力矩均為零，于是力矩平衡方程在略去高階項后只剩兩項(Txydydz)dx-(Tyxdxdz)dy=O由此可得：t=t(1.11a)xyyx同理，對沿x和y方向的形心軸取矩得：tyz=tzytxz=tzx(1.11b)這就是剪應力雙生互等定理。這個定理以后將經常被使用，使用時不再單獨說明。面從物體整體平衡的角度推導平衡微分方程。從物體中任意截取一個脫離體Q，它的邊界為,在Q內部作用有體積力矢量X,在邊界上作用有應力矢量T(n)。脫離體靜力平衡要求作用在它上面的合力應為零，即1.12a)JT(n)dr+JXdQ=0rQ將式(1.4)代入上式，得：)l+T(e)

13、m+T(erxyz1.12b)使用散度定理式(A2.19)，式(1.12b)可寫成嗨+Q+S+XdxdydzdQ=0由于脫離體Q是任意的，因此叫+d+翠+x=0dxdyzdz1.12c)將式（1.3）和式（1.10）代入上式，我們有亙+篤+3+Xe+(篤+篤+3+Y1+(玄+漳+竺+ZIe=0dxdydz丿xdxdydz丿ydxdydz丿z上式就是平衡微分方程式（1.9）的矢量表示形式。脫離體靜力平衡還要求：作用在它上面的所有力相對任意一點的合力矩為零。例如對坐標原點取矩，則有：JrxT(n)dT+JrxXdQ=0rQ1.13)式中r是力作用點到坐標原點的距離。采用類似上面的推導，上式的第一個

14、積分是JrxTn)dT-JLxT(e)l+rxT(e)m+rxT(e)n“rrxyzfdlrxT(e)dlrxT(eJdlrxT(e)1=JdQ將上式代回式（1.13）,并考慮到平衡微分方程式（1.12c）,則有空xT(e)+主xT(e)+空xT(e)=0dxxdyydzz考慮到dr=ex，dr=ey,dr=ez，結合式(1.3)，上:式將導出dxxdyydzzex（TyzTzy）+ey（TxzTzx）+冬4-丿=0這就是剪應力雙生互等定理式（1.11）的矢量表示形式。式（1.11）說明應力張量是對稱的，即6=6。平衡方程的張量表示是ijji%+Xj=01.14)其中 # 1.15a)1.15

15、b)1.15c)上篇彈性力學第1章應力8(58(5OqQ=好+2.+廿.,.8x8x8x123力邊界條件力邊界條件系指邊界各點的應力應滿足的關系。如圖1.5中的A點，已知該點的外法線為n,在其上作用單位面力矢量為X，該點應力分量6的值尚為未知。對j于該點，相當于其應力狀態(tài)中已知一斜面上的應力矢量，即：T(n)=X。使用X、Y、Z表示X沿三個坐標軸的分量，對照Chauchy公式(1.6),則該點三個與坐標方向平行的三個面上的應力分量應滿足下式：Qxl+Tyxm+Tzxn=Xtl+Qm+Tn=Yxyyzytl+Tm+Qn=Zxzyz式中l(wèi)、m和n是法線矢量n在三個坐標軸上的投影分量。在使用張量表述

16、的教科書中，面力矢量的分量X、Y、Z使用X、1X、X表示，對照式(1.7)，邊界23條件使用張量形式可表示為nQ.=X,(1.16)iijj力邊界條件實質上是物體邊界點的平衡條件。例1-2如圖1.6所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為Y，試寫出邊界條件。解：在直邊x=0上，圖1.5力邊界條件1=1，m=0，X=yy，Y=0上篇彈性力學第1章應力代入邊界條件式（1.15）（s）x=“（-1）+（丿=yy（唧3（_1）+（y）x=0，O=0得：（A=0=yy（Txy）x=O，在斜邊上l=cosa,m=-sina,X=0,Y=0,代入式（1.15），得斜邊的邊界條件是：xcosa-xsina=0Tx

17、ycosa-Qysina=0應力分量的坐標變換新、舊坐標系的單位基矢量分別為ee、ee、e和e.e.e，它們之間具有如xyzxyz下關系：eX=l1ex+m1ey+n1ezey=，2ex+m2ey+n2ez叮億+叫$+“30（1.17a）式中1、m、n.（i=1,2,3）是新坐標系單位基矢量與舊坐標系單位基矢量之間夾角的余弦，為清楚起見，將它們的對應關系列于下表：exee?e11m.nX111ee/mnX222ee13monzz333下面求新、舊坐標中應力分量的變換關系。把新坐標系的三個正截面分別看作是舊坐標系中的斜截面。例如，對于新坐標系某一個正截面，其法線矢量為e，該x截面上的應力矢量T（

18、e）在舊坐標下使用分量表示為x上篇彈性力學第1章應力上篇彈性力學第1章應力 T(e)=Te+Te+Te(1.17b)xxxyyzz應用Chauchy公式(1.6)，這三個分量為T=gL+tm+tnxx1yx1zx11.17c)T=tL+gm+tnyxy1y1zy1T=tL+tm+gnzxz1yz1z1T(e)在新坐標下的三個分量分別就是法線為e截面上的正應力和剪應力分量，使xx用上式和式(1.17a),有g=T(ef)e=Tl.+Tm.+Tn,xx、xx1y1z1Txy=T(e；)eTgTyym+TznTxz=T(e；)e，z=Txl3+Tym3+TZn3將式(1.17c)代入上式，則得：g=

19、g12+gm2+gn2+2tlm+2tmn+2tnlXx1y1z1xy11yz11zx11Txfz=Gxl1l3+Gym1m3+Gzn1n3+Txy(l1m3+13“)+Txy,=Gxl1l2+Gym1m2+Gzn1n2+Txy(l1m2+勿1)+7%嚴2+%2幻)+Tx(n1l2+GJTyz(m1n3+m3n1)+Tzx(n1l3+n3l1)(1.18)式(1.18)的三個式子用矩陣可表示為T)=(lxzTxym1n1)g卩t其中GTTlmnxxyxz111TGT卩=lmnyxyyz222TTGlmnzxzyz333g=后者是新舊坐標的變換矩陣。采用類似的方法，可導出新坐標系其它兩個正截面上

20、的應力，為t,.)=(l2m2n2)G卩TyzgzJ=(l3m3n3)g卩tJyxJTzxgyTzy最后，新舊坐標的應力可表示為十xTyxTxyyTxZT=卩卩Tyz1.19)TTGzxzyz下面采用張量分析的方法導出新、舊坐標中應力分量的變換關系。新、舊坐標系單位基矢量之間的關系可由張量表示為e，二卩ee二卩e(1.20)mmiiimim式中B=ee=cos(e,e)mimimi是e在e.上的投影，或e與e.軸的夾角余弦，卩工卩。mimimiim應用Chauchy公式(1.7)新坐標系中法線矢量為e的正截面上的應力矢量可m使用舊坐標中應力分量表示為T(e)二卩T(e)=卩唄(1.21)mmi

21、imiikk該面上的應力矢量在新坐標系下的分量是：g=T(e)emnmn將新舊坐標變換關系式(1.20)和式(1.21)代入上式，則G,=T(e,)卩e=卩，卩%ekej=卩，卩Gij(L22)mnmnjjminjminj上式是應力分量在坐標變換時應遵守的法則。順便指出：凡是一組9個分量G.，在坐標變換時服從上式給出的法則，就稱為二階張量。主應力、應力張量不變量根據Chauchy公式，給定一點的應力狀態(tài)，即a.已知，各斜截面上的應力矢量.T(n)隨斜截面法線方向n而改變。根據材料力學知識，在所有的斜截面中存在這樣的面，該面上只有正應力作用，而剪應力為零，即該面上的應力矢量T(n)只有沿法線方向

22、的分量。下面求這個斜截面的單位法線矢量n以及該面上的正應力a。根據上面的描述，應有：T(n)=an或T=alT=amT=anxyz式中l(wèi)、m、n是n在三個坐標軸上的投影，將上式代入式(1.6)并整理，得(a-a)l+Tm+Tn=0 xyxzxtl+(a-a)m+Tn=0 xyyzytl+Tm+(a-a)n=Oxzyzz上式是關于I、m、n的齊次方程，由于1.23)1.24)因此，l、m、n不可能同時為零，即方程式1.23)應有非零解。欲使該方程有非零l2+m2+n2=1解，則要求其系數矩陣行列式為零a-axTyxTzxTxya-ayTzyTx:zTya-az=0展開可得一個一元三次方程，該方程

23、數學上稱為特征方程：a3-I1a2+I2a-I3=01.25)式中I,I2,I3分別為I1=ax+ay+az=akkI2=axay+axaz+aya-(t2+t2+t2)=(12-a.a.)zxyyzzx21ijij1.25a)axTTzx解特征方程式(1.25)I3=TxyayTzyTxzTyzaz=aij可得三個特征根a、a2、a3，這三個特征根被稱之為主應力。將這三個主應力分別代回方程式(1.23),由于系數矩陣的行列式為零，式(1.23)中只有兩個方程是獨立的，結合方程式(1.24)可求得三組解l(i)、m(i)、n(i()i=1,2,3)。這三組解分別代表三個主應力所在斜截面的法線方

24、向，這三個方向稱為主方向，這三個斜截面稱為主平面。沿三個主方向的直線通常稱為主軸。下面證明主應力的三個重要性質。(1)I1，I2，I3的坐標不變性由任意其它坐標系下的應力分量求主應力。該任意坐標系使用“”標識，則有類似于式(1.23)的方程存在(乞一別+工y，xm+TZXn=Tx，yl+q6m+Tzyn=0T+丁y”m+q6n=特征方程為Q3-IQ2+IqI=0(1.26)123其中I=Qx+ay+Q1xyzI=aa+aa+aa-T2-T2-a22xyxzjzxjxzjzQTTxxjxzI=TaT3jxjjzTTazxzj由于主應力即問題的特征根Q與坐標選擇無關，帶“”坐標系下特征方程與不帶“

25、”坐標系下特征方程應有相同解，因此要求方程(1.25)和方程(1.26)有相同的系數I=II=II=I12233上式說明：I1,I2,I3的大小與坐標的選取無關，因此是坐標不變量。(2)主方向相互垂直考慮兩個不同的主應力巧和Qk，對應的主方向為l(i)、m(/)、n(i)和l(k)、m(k)、n(k)，由方程式(1.23)有Qx仙+xm(Wzxn(l)=Q(l)l(l)Txyl(l)+Qym(l+zyn(l)Fm(l)(1.27a)Txzl(屮yzm(l)+Qzn(l)=(l)n(l)以及Sl(k)+Tyxm(k)+Tzxn(k)=Q(k)l(k)Tl(k)+Gm(k)+Tn(k)=O(k)m

26、(k)(1.27b)xyyzyTxzl(k)+Tyzm(k)+3n(k)=(k)n(k)將(1.27a)三個方程的兩邊分別乘以l(k)、m(k)、n(k),然后對應相加，再將(1.27b)三個方程的兩邊分別乘以1(1)、m(i)、n(i)，然后對應相加，最后將兩個結果相減，得:(G廠Gk)(l(i)l(k)+m(i)m(k)+n(i)n(k)=0由于q-Q嚴0，故要求1(1)1(k)m(1)m(k)n(1)n(k)=0。對于主應力相等的情況。(3)極值性最大(最小)主應力是該點任意截面上正應力的最大(最小)者。其證明可參見本章第1.9節(jié)Mohr應力圓。例1-3證明T(ex)T(ex)+T(ey

27、)T(ey)+T(eJT(eJ=Ii-212證：將式(1.3)代入等式左邊，得：等式左邊=Q2+T2+T2+T2+Q2+T2+T2+T2+Q2xxyxzyxyyzzxzyz=Q2+Q2+Q2+2T2+2T2+2t2xyzxyyzzx利用式(1.25a)，則得等式右邊=(Qx+Qy+Qz)2-2QxQy+QxQz+QyQZ-(T:+T:+TZ)=Q2+Q2+Q2+2t2+2t2+2t2xyzxyyzzx因此可證。最大剪應力設三個主應力及主方向已知，求最大剪應力。以三個主方向為坐標方向，如圖1.7所示，根據Chauchy公式(1.14),在法線為n的斜截面上，其應力矢量為T(n)=T(ei)l+T

28、(e2)m+T(e3)n=lei+m,2+n-3(1.28)式中T)、T(e2)、T(e3)是三個主平面上的應力矢量，e2、e3是三個主方向上的單位矢量，l、m、n是斜截面法線n與三個主方向的夾角余弦。圖1.7斜截面上的應力1.29)該斜截面上的正應力是=T(n)n=l2G+m2G2+n231.30)由式(1.28)，可得應力矢量的模為ITI|2=()2+(mb2)2+(no3)2斜截面上的剪應力T2=|T|2-Q2，nn利用式(1.29)和式(1.30)，因此有T2=(lQ1)2+(mQ2)2+(nQ3)2(l2Q1+m2Q2+n2Q3)2經整理得T2=l2m2(GQ2)2+m2n2(q2G

29、3)2+n2l2(G3G)2(1.31)n當斜截面方向I、m、n變化時，剪應力島隨之變化。求上式的極值可得最大剪應力,注意1、m、n應滿足約束條件式(1.24)。引進拉格朗日乘子，上述條件極值就等價于求函數F=t2X(l2+m2+n21)n的極值，相應的極值條件為竺=0遲=0蘭=0以及邏=0dldmdndk由此可得剪應力的六個極值及其所在面的法線方向，見下表lmnT2nkon土10000o10土1000o200土100o301土LV2土吉oo、22t2no+o23q2q3，從上表可知，最大剪應力是1.32)00T=13max2所在的平面與中主應力（02）平行而與最大主應力和最小主應力的角度分別

30、為450。1.9Mohr應力圖根據式（1.29）和式（1.31）,任一斜截面上的正應力o和剪應力t隨斜截面法nn線方向余弦I、m、n而變化，將每一個斜截面上的o和t使用ot坐標系上的坐標點nn 上篇彈性力學第1章應力表示，所有這些坐標點所組成的圖形稱之為Mohr圖。下面研究Mohr圖的規(guī)律。根據上一節(jié)的推導，在以主方向為坐標軸的坐標系里，法線為1、m、n的任一斜截面上的正應力Q和剪應力T應滿足下面關系式：nnT2+Q2nn=|T|卩=(1)2+(mu2)2+(no3)21.33)聯(lián)立式（1.33）、式（1.24）和式（1.29）三個方程求解12、m2、n2,則有t2+(qQ_)(Q丨)、012

31、nn2n320(qq)(qq)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark212 1213m2Tn+9二匹二20(qq)(qq)321_T2+(QQ)(QQ)、(QQ)(QQ)132設O1Q2Q3,上面三個式子可變?yōu)門2+(Qnn3)22(3)22T2+(Q3+1)2(31)2nn22T2+(Qnn2)22(Q+Q12由上面三個不等式可知：任意一斜面的應力Q、T在Q-T坐標系中，均落在6、nn1q2、Q3決定的三個圓上或者圓之間的陰影面積內，如圖1.8所示。這三個圓稱之為Mohr應力圓，簡稱為Mohr圓或應力圓。一個應力圓（例如j、q3決定的應力圓）上各點的坐標則代表法

32、線與某個主應力（q2）方向平行面上的應力。因此，Mohr應力圖直觀地描述了一點的應力狀態(tài)及其主應力、最大應力的情況。面我們考慮一種特殊的應力狀態(tài)，即平面應力狀態(tài)oxTyx0Txyoy0顯然，z軸是主軸，且該方向的主應力為零?？疾煳卧w與x-y平面垂直的任意面上的應力情況，這個面的外法線為n=le+m1e，如圖1.9所示，有l(wèi)=cosGm1=sin0n1=0與該面垂直的面的外法線是l2=-sin0m2=cos0n2=0代入式(1.18)的前兩個式子可得：o=oCOS20+Gsin20+2Tsin0cos0=(o+o)+(o-o)cos2G+tsin20(1.34a)nxyxy2xy2xyxy1

33、.34b)t=-(o-o)cos20+t(cos20-sin20)=-(o-o)sin20+Tcos20nxyxy2xyxy圖1.9平面應力狀態(tài)中斜截面上的應力分量我們現在設H=2F）于是，式（1.34）變成Rsin2a=ixyRcos2a=1(g-g)2xyGn=H+Rcos(2a-20)Tn=Rsin(2a-20)從式(1.35)中消去2a-29，我們得到:1.35a)1.35b)(gn-H)2+t2=R2nn1.36)這就是平面應力狀態(tài)的Mohr圓，該圓的半徑為g-gR=y)2+t22而圓心為（H,0）,如圖1.10所示，從中我們可以總結兩點規(guī)律:（1）應力圓上一點的兩個坐標對應如圖1.

34、9所示微單元體中外法線為n=l1ex+m1ey的面上的應力分量（gn，tn）；nn（2）微單元體上的外法線矢量n逆時針轉0,應力圓上對應的點應順時針轉20。令式（1.34b）中的g=0,可求出主方向的夾角為12t0=arctanx2g-gxy1.37)將式（1.37）代入式（1.34a）得主應力為上篇彈性力學第1章應力上篇彈性力學第1章應力 # q+qa-a（-r）2+T:（1.38）圖1.10平面狀態(tài)的應力圓以上兩式給出的結果可以很容易從如圖1.10中應力圓中獲得。從圖中還可得知最大剪應力就是Mohr圓的半徑，且與主方向夾450角。1.10偏應力張量及其不變量一點的應力狀態(tài)可分解為：靜水應力

35、狀態(tài)和偏應力狀態(tài)之和。靜水應力狀態(tài)是指微單元體的每個面上作用有平均正應力1q0=_(q03x而剪應力為零，如圖1.11(a)所示，即：+qy+qz）1.39）也寫=q000偏應力狀態(tài)是從應力狀態(tài)中扣除靜水應力后剩下的部分，如圖1.11(b)所示，表示上篇彈性力學第1章應力上篇彈性力學第1章應力 0TxyQ-Qy0TzyTX!ZXyzq-az01.40)(b)a）圖1.11（a）靜水應力狀態(tài)（b）偏應力狀態(tài)靜水應力是一種平均的等向應力狀態(tài)，即三個方向等拉或等壓，對各向同性材料而言（參見3.5節(jié)），它僅引起體積變形（膨脹或壓縮），而不引起形狀改變。偏應力表示實際應力狀態(tài)偏離靜水應力狀態(tài)的程度，對各向同性材料而言，它僅引起形狀改變，而不引起體積變形。上述應力分解可使用張量形式表示為O*.S、.+0八6.ijij0ij偏應力sj也是張量，其主值可由如下特征方程求得:1.41)1.42)ij-s3+J2s+J30式中