導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)點(diǎn)

1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的定義:由“變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度”、“平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率”引出設(shè)函數(shù)y=fG）在點(diǎn)X的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在x處有增量Ax,相應(yīng)地函00數(shù)增量Ay二f（X+Ax）f（x）。如果極限00limAy=AxtOAxTOC o 1-5 h z十f(x+Ax)f(x)limoo-AxtOAxdf(x)xdx0dydxx=存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)fG）在xo處的導(dǎo)數(shù)（也稱(chēng)微商），記作廣5），或y等,并稱(chēng)函數(shù)y=fG）在點(diǎn)x處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在,x=x010則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)xo處不可導(dǎo)。注：函數(shù)fG）在xo處的導(dǎo)數(shù)，就是導(dǎo)函數(shù)f（X）在點(diǎn)在x0處的函數(shù)值，

2、即fr（xo）=f（x）lx=x0。多數(shù)情況下用求導(dǎo)法則，有時(shí)用定義求導(dǎo)更方便。如題中函有f（x），而不是具體的方程時(shí)。2、單側(cè)導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：)1-f(x)-f(x)f(x+Ax)f(x)fVx=lim4=limoo-+0 xxxtxo+oAxto+f(x)=limf(x)f(xo)=limfC0+心)-fW)oxxxtx00Axt0AxAx則有f）在點(diǎn)x處可導(dǎo)of）在點(diǎn)x處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等003、導(dǎo)數(shù)的幾何意義如果函數(shù)y=fG）在點(diǎn)xo處導(dǎo)數(shù)f心0）存在，貝y在幾何上f心0）表示曲線(xiàn)y=fG）在點(diǎn)（xo,f（x。）處的切線(xiàn)的斜率，即:=K=tana切線(xiàn)方程：yf(x0)=f(x0

3、)(xx0)法線(xiàn)方程：yf（xo）=f,1）（xxoXf（xo）Ho）0注：切線(xiàn)與法線(xiàn)垂直，切線(xiàn)的斜率與法線(xiàn)的斜率乘積為負(fù)1,即：K切*K法=-1設(shè)物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為S=fC），如果f（to）存在，則fC）表示物體在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速度。004函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系如果函數(shù)y=fG）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則fG）在點(diǎn)x0處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)y=fG）在點(diǎn)x0處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。例如，y=f6）=|x|，在x0=0處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。5、求導(dǎo)a）、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式C=0（C為常數(shù)）(xu)=uxu-1(u為實(shí)數(shù))(logx)=1-axlna(Inx

4、)=x(ax)=axIna(ex)=ex(sinx)=cosx(cosx)=一sinx(tanx)=sec2x(cotx)=一csc2x(secx)=secxtanx(cscx)=一cscxcotx1(arcsinx)=1x2(arccosx)=11一x2(arctanx)=11+x2(arccotx)=11+x2注：正正余負(fù)b）、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則u(x)土v(x)=u(x)土v(x)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)Cu(x)=Cu(x)(C為常數(shù))u(x)u(x)v(x)一u(x)v(x)v(x)v2(x)C=-Cv(x)(v(x)豐0,C為常數(shù))u(x)v

5、2(x)c）、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f（u）,u=Q（x）,則復(fù)合函數(shù)y=fQ（x）的導(dǎo)數(shù)為dxdudxdy=dydu或f叩(x)=廣(u)(x)、反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(x)是x=申(y)的反函數(shù)，則dy注：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)；先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，再把里面的y換成反函數(shù)的x。例：求函數(shù)y=log_r的導(dǎo)數(shù).解x在打內(nèi)單調(diào)*可導(dǎo),且(棵)=八In口工a在？y(0卄乂)內(nèi)有;ayyInoxlna11特別地(Inx/=-0y=exlnx解出ylny=xlnxy=Inx+1解出yy、參數(shù)方程求導(dǎo)法fx=p(t)dydydtdy10(t)參數(shù)萬(wàn)程p(t).02(r)即d2y=

6、屮(t)0(t)一屮(t)0”(t)dr203(t)二、微分1、定義設(shè)函數(shù)y=fG)在點(diǎn)x0處有增量Ax時(shí)，如果函數(shù)的增量Ay二f(x0+Ax)f(x。)有面的表達(dá)式Ay=A(xIax+o(Ax)0(Axt0)其中AG。)為Ax為無(wú)關(guān)，厶)是AxT0時(shí)比Ax高介的無(wú)窮小，則稱(chēng)f(x)在xo處可微，并把Ay中的主要線(xiàn)性部分A(xo)AX稱(chēng)為f(x)在xo處的微分，記以dyx=x0 x我們定義自變量的微分dx就是Ax。2、可微與可導(dǎo)的關(guān)系f(x)在x處可微of(x)在x處可導(dǎo)。=A(xo)Ax=廣W)dx且dy00 x=x0一般地，y=f(x)則dy=fr(x)dx所以導(dǎo)數(shù)f()=dy也稱(chēng)為微商，就是微分之商的含義。dx微分公式：dy=f(x)dxdy/dx=f(x)3、微分的幾何意義Ay=f(x0+Ax)f(x0)是