專訓三角形的三種重要線段的應用

1、專訓三角形的三種重要線段的應用名師點金：三角形的角平分線、中線和高是三角形中三種重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的作用，因此我們需要從不同的角度認識這三種線段 三角形的角平分線的應用eq avs4al(類型1) 三角形角平分線定義的直接應用1(1)如圖，在ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點，且1234，以AE為角平分線的三角形有_；(2)如圖，已知AE平分BAC，且12415，計算3的度數(shù)，并說明AE是DAF的角平分線(第1題) eq avs4al(類型2) 求三角形兩內(nèi)角平分線的夾角度數(shù)2如圖，在ABC中，BE，CD分別為其角平分線且

2、交于點O.(1)當A60時，求BOC的度數(shù)；(2)當A100時，求BOC的度數(shù)；(3)當A時，求BOC的度數(shù)(第2題) 三角形的中線的應用eq avs4al(類型1) 求與中線相關線段長的問題3如圖，AE是ABC的中線，已知EC4，DE2，則BD的長為()A2 B3 C4 D6(第3題)(第4題)4如圖，已知BECE，ED為EBC的中線，BD8，AEC的周長為24，則ABC的周長為()A40B46C50D565在等腰三角形ABC中，ABAC，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15 cm和6 cm兩部分，求這個等腰三角形的三邊長eq avs4al(類型2) 求與中線相關的面積問題6如圖，在A

3、BC中，D為BC上一點，E，F(xiàn)分別為AD，BE的中點，且SABC8 cm2，則圖中陰影部分的面積是_(第6題)7.操作與探索：在圖中，ABC的面積為a.(第7題)(1)如圖，延長ABC的邊BC到點D，使CDBC，連接DA，若ACD的面積為S1，則S1_(用含a的式子表示)；(2)如圖，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CDBC，AECA，連接DE，若DEC的面積為S2，則S2_(用含a的式子表示)，請說明理由；(3)如圖，在圖的基礎上延長AB到點F，使BFAB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF，若陰影部分的面積為S3，則S3_(用含a的式子表示) 三角形的高的應用eq avs4al(類型

4、1) 找三角形的高8如圖，已知ABBD于點B，ACCD于點C，AC與BD交于點E，則ADE的邊DE上的高為_，邊AE上的高為_(第8題)eq avs4al(類型2) 作三角形的高9【動手操作題】畫出圖中ABC的三條高(要標明字母，不寫畫法)(第9題)eq avs4al(類型3) 求與高相關線段長的問題10如圖，在ABC中，BC4，AC5，若BC邊上的高AD4.求：(1)ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)ADBE的值(第10題)eq avs4al(類型4) 證與高相關線段和的問題11如圖，在ABC中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分別為點E，F(xiàn)，G.試說明：DEDFBG.(

5、第11題)eq avs4al(類型5) 求與高有關的面積12如圖，ABC的面積為16，點D是BC邊上一點，且BDeq f(1,4)BC，點G是AB邊上一點，點H在ABC內(nèi)部，BDGH，且BDGH.則圖中陰影部分的面積是()A3 B4 C5 D6(第12題)答案1解：(1)ABC和ADF(2)因為AE平分BAC，所以BAECAE.又因為1215，所以BAE12151530.所以CAEBAE30，即4330.又因為415，所以315.所以23.所以AE是DAF的角平分線2解：(1)因為A60，所以ABCACB120.因為BE，CD為ABC的角平分線，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq

6、f(1,2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)60，所以BOC180(EBCDCB)18060120.(2)因為A100，所以ABCACB80.因為BE，CD為ABC的角平分線，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq f(1,2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)40，所以BOC180(EBCDCB)18040140.(3)因為A，所以ABCACB180.因為BE，CD為ABC的角平分線，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq f(1,

7、2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)90eq f(1,2)，所以BOC180(EBCDCB)180eq blc(rc)(avs4alco1(90f(1,2)90eq f(1,2).點撥：第(1)(2)問很容易解決，第(3)問就是類比前面解決問題的方法用含的式子表示3A4A點撥：因為AEC的周長為24，所以AECEAC24.又因為BECE，所以AEBEACABAC24.又因為ED為EBC的中線，所以BC2BD2816.所以ABC的周長為ABACBC241640.故選A.5解：設ADCDx cm，則AB2x cm，BC(21

8、4x)cm.依題意，有ABAD15 cm或ABAD6 cm，即2xx15或2xx6，解得x5或x2.當x5時，三邊長為10 cm，10 cm，1 cm；當x2時，三邊長為4 cm，4 cm，13 cm，而4413，故不成立所以這個等腰三角形的三邊長為10 cm，10 cm，1 cm.62 cm27解：(1)a(2)2a理由：連接AD，由題意可知SABCSACDSAEDa，所以SDEC2a，即S22a.(3)6a8AB；DC9解：如圖(第9題)10解：(1)SABCeq f(1,2)BCADeq f(1,2)448.因為SABCeq f(1,2)ACBEeq f(1,2)5BE8，所以BEeq f(16,5).(2)ADBE4eq f(16,5)eq f(5,4).11解：連接AD，因為SABCSABDSADC，所以eq f(1,2)ACBGeq f(1,2)ABDEeq f(1,2)ACDF.又因為ABAC，所以DEDFBG.點撥：“等面積法”是數(shù)學中很重要的方法，而在涉及垂直的線段的關系時，常將線段的關系轉化為面積的關系來解決12B點撥：設ABC的邊BC上的高為h，AGH的邊GH上的高為h1，CGH的邊GH上的高為h2，則有hh1h2.SABCeq f(1, 2)BCh16，S陰影SAGHSCGHeq