確定磁場(chǎng)最小面積的方法

1、第 頁(yè)（共10頁(yè)）確定磁場(chǎng)最小面積的方法電磁場(chǎng)內(nèi)容歷來是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。近年來求磁場(chǎng)的問題屢屢成為高考中的熱點(diǎn)，而這類問題單純從物理的角度又比較難求解，下面介紹幾種數(shù)學(xué)方法。一、幾何法例1.一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以速度v0，從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E、方向沿與x軸負(fù)方向成60角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，通過了b點(diǎn)正下方的c點(diǎn)，如圖1所示，粒子的重力不計(jì)，試求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；（2）c點(diǎn)到b點(diǎn)的距離。解析：（1）先找圓心，過b點(diǎn)逆著速度

2、v的方向作直線bd,交y軸于d，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于Ob連線上，距O點(diǎn)距離為圓的半徑，據(jù)牛頓第二定律有:V2Bqvmv解得R=過圓心作bd的垂線，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示:要使磁場(chǎng)的區(qū)域有最小面積,則Oa應(yīng)為磁場(chǎng)區(qū)域的直徑，由幾何關(guān)系知：圖2r=cos30R3mv由得ro2qB所以圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為:S兀r2min3兀m2v2o4q2B2第 #頁(yè)（共10頁(yè)）第 頁(yè)（共10頁(yè)）（2）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，由于速度方向與電場(chǎng)力方向垂直，故做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成知識(shí)有：ssin30Vtscos30at22qE而a4y3mv2聯(lián)立解得sW、參數(shù)方法例2.在xOy平

3、面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電荷量為e）,從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限，如圖3所示。現(xiàn)加一個(gè)垂直于xOy平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使這些電子穿過磁場(chǎng)區(qū)域后都能平行于x軸向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。圖3解析：由題意可知，電子是以一定速度從原點(diǎn)O沿任意方向射入第一象限時(shí)，先考察速,mv度沿+y方向的電子，其運(yùn)動(dòng)軌跡是圓心在x軸上的A點(diǎn)、半徑為R-B0的圓。該電子沿圓弧OCP運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)P時(shí)即朝x軸的正向，可見這段圓弧就是符合條件磁場(chǎng)的上邊界,見圖5。當(dāng)電子速度方向與x軸正向成角度，時(shí)，作出軌跡圖4,當(dāng)電子達(dá)到磁場(chǎng)邊界時(shí)，速度方向必須平行于x軸方

4、向，設(shè)邊界任一點(diǎn)的坐標(biāo)為S（x，y），由圖4可知：圖4xRsin,y=R-Rcos,消去參數(shù)，得:x2+(yR)2R2可以看出隨著，的變化，S的軌跡是圓心為（0,R）,半徑為R的圓，即是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。上下邊界就構(gòu)成一個(gè)葉片形磁場(chǎng)區(qū)域。如圖5所示。則符合條件的磁場(chǎng)最小面積為扇形面積減去等腰直角三角形面積的2倍。圖511)兀一2mv)2S2兀r2R20min144丿21eB丿帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)之磁場(chǎng)最小范圍問題剖析江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)劉風(fēng)華近年來在考題中多次出現(xiàn)求磁場(chǎng)的最小范圍問題，這類題對(duì)學(xué)生的平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高。其難點(diǎn)在于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不是完整的圓，其進(jìn)入邊界

5、未知的磁場(chǎng)后一般只運(yùn)動(dòng)一段圓弧后就飛出磁場(chǎng)邊界，運(yùn)動(dòng)過程中的臨界點(diǎn)（如運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的切點(diǎn)、磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)等）難以確定。下面我們以實(shí)例對(duì)此類問題進(jìn)行分析。一、磁場(chǎng)范圍為圓形例1一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從0點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30，如圖1所示（粒子重力忽略不計(jì)）。圖1試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；（2）粒子從0點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間;（3）點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由0點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)?？芍潆x

6、開磁場(chǎng)時(shí)的臨界點(diǎn)與0點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2,過點(diǎn)逆著速度的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于軸上，距0點(diǎn)距離和到虛線上點(diǎn)垂直距離相等的點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，圓的半徑。由，得。弦長(zhǎng)為:要使圓形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為的一半，即:面積（2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為120Q時(shí)間2伽（3）距離，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng)。二、磁場(chǎng)范圍為矩形例2如圖3所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸

7、正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，）以初速度沿軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過軸上的點(diǎn)（，0）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,并沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子的重力。求（1）電子經(jīng)過點(diǎn)的速度；（2）該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)的最小面積解析：（1）電子從點(diǎn)開始在電場(chǎng)力作用下作類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，可知豎直方向：，水平方向：。解得所以電子經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的速度為:滬耐手,設(shè)與方向的夾角為。，可知300。（2）如圖4,電子以與成30進(jìn)入第四象限后先沿做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后上M點(diǎn)（M點(diǎn)即為磁場(chǎng)的

8、邊點(diǎn)，畫出其運(yùn)動(dòng)的部分軌跡為弧MN0,所以磁場(chǎng)的右邊進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過0點(diǎn)?？芍獔A周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在X軸上，且點(diǎn)到0點(diǎn)的距離與到直線界點(diǎn)）的垂直距離相等，找出界和下邊界就確定了。設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為，向垂直紙面向里。，由圖知OQ=，解得第 #頁(yè)（共10頁(yè)）第 #頁(yè)（共10頁(yè)），寬度矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng)度矩形磁場(chǎng)的最小面積為:點(diǎn)評(píng)：此題中粒子進(jìn)入第四象限后的運(yùn)動(dòng)即為例1中運(yùn)動(dòng)的逆過程，解題思路相似,關(guān)鍵要注意矩形磁場(chǎng)邊界的確定。三、磁場(chǎng)范圍為三角形例3如圖5,個(gè)質(zhì)量為，帶電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)（CM=CN

9、）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求：第7頁(yè)(共10頁(yè))粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r及周期T；該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)；解析：(1)由和得：，(2)由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場(chǎng)中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛離開磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖6作出圓0,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧GDEF,圓弧在G點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切,并與圓0

10、交于F、G兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場(chǎng)區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知ZFOG=60o,所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間第 頁(yè)（共10頁(yè)）C（3）連接并延長(zhǎng)與交與H點(diǎn)，由圖可知點(diǎn)評(píng)：這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長(zhǎng)線相交后根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識(shí)才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長(zhǎng)時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場(chǎng)的內(nèi)切圓。四、磁場(chǎng)范圍為樹葉形例4在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)0不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過磁場(chǎng)后都能平行于軸

11、向正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖8所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓】和圓O2為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓02在X軸上方的4個(gè)圓弧odb就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)0為圓心，以R為半徑的圓弧01002。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)知1m2電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)?？勺C明，磁場(chǎng)下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線0卩2）向上平移一段長(zhǎng)度為的距離即圖9中的弧ocb就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場(chǎng)區(qū)域面積：。還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場(chǎng)的下邊界。設(shè)某電子的速度V。與x軸夾角為若離開磁場(chǎng)速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,從圖10中看出，即（x0,y0），這是個(gè)圓方程，圓心在（0,R）處，圓的圓弧部分即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。點(diǎn)評(píng)：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)