全距、四分位距、百分位距

1、第一節(jié)全距、四分位距、百分位距、全距(Range)1、槪念全距是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，故又稱兩極差.簡稱極差。用符號R表示。它是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最簡單、最易理解的一種差異量數(shù)。2、計算全距計算比較簡單。對干原始數(shù)據(jù)求全距的方法是:找出最大值、最小值.然后用公式:R=最大值一最小值二對于頻數(shù)分布表求全距的方法：最大一組與最小一組組中值之差；或者是最大一組上限與最小一組下限之差。注意：如果數(shù)據(jù)是連續(xù)型，必須用精確上下限。極差(槪念要點及計算公式)一紐數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡貝測度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布7QO47PO1計算公式為未分組數(shù)據(jù)R=niax(Xi)-m

2、in(Xi)紐距分組數(shù)據(jù)R=最高組上限-最低組下限全距3應(yīng)用條件及優(yōu)缺點全距槪念清楚、意義明確，計算簡總.是其明顯的優(yōu)點一但因它僅由最大值與最小值求得.易受兩極端數(shù)柱的影響如果兩極端有偶然性或?qū)佼惓Ｖ禃r，全距不穩(wěn)定、不可靠。它不考.慮中間數(shù)值的差異，即其它數(shù)據(jù)未起作用.反應(yīng)不靈敏。它明顯地受取樣變動的影響。由于上述原因，全距只是一種低效的差異量數(shù)，只能作為差異量的粗略指標(biāo)。它的用處一般只用干研究的預(yù)備階段.用它檢查數(shù)據(jù)的大槪散布范國.以便確定統(tǒng)計分組。即在編制頻數(shù)分布表時決定全距范國之用。二、四分位距(四分差)1、四分位距的概念為了避免全距受兩極端數(shù)值影響的缺點，則用按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中

3、間部位50%個頻數(shù)距離的一半作為差異量指標(biāo)，即四分位距，又稱四分差，用Q表示。若將從小到大排列的一組數(shù)據(jù)分成頻數(shù)相等的四段，第一與第二段的分界點稱第一個四分位數(shù)(Q1)。第三與第四段的分界點稱第三個四分位數(shù)(Q3)。則四分位距就是第三個四分位數(shù)(第75%百分位數(shù))與第一個四分位數(shù)(第25%百分位數(shù))差的一半。用公式表示為:Q=(Q3-Ql)/2四分位差(槪念要點)離散程度的測度往之一也稱為內(nèi)距或四分間距5I第3四分位數(shù)與第1四分位數(shù)之差QD=Q3-Q1QlQmQu反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用干衡量中位數(shù)的代表性主要用干定序數(shù)據(jù).也可用干數(shù)血型數(shù)據(jù)，但不能用干定類數(shù)據(jù)2、計算

4、方法原始數(shù)據(jù)計算法先將原始數(shù)據(jù)從小到大排列好；然后根據(jù)求中位數(shù)的方法求出第一個四分位數(shù)和第三個四分位數(shù)；利用公式求四分位距DQ=(Q3-Ql)/2頻數(shù)分布表計算法先求出第一個四分位數(shù)及第三個四分位數(shù)；然后將它們代入公式il算四分位距，即可。Q=(Q3-Ql)/22、計算方法討-瓦o_00=2+7山幺二心+冷厘_丄丿q*-*&2Lb該分四分點所在紐的精確下限fQl與fQ3二該四分點所在組的次數(shù)N匸數(shù)據(jù)個數(shù)Fb該分?jǐn)?shù)所在組以下的累加次數(shù)1紐距數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)（計算示例）【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù)表蕓車間50名工人日加工寒件數(shù)分幼表胺響件數(shù)分紐頻救1:人）累權(quán)

5、頻敕10511033UM1558115-120816120-1251430125-1301040130-135646135-140450舎計50例Q位置50/4=12.52三115+x5三1178K個）8Q/立還=3x50/4=37.53x50“30aw1鈣+_jL_一x5=12S.75（個）分瞰*次數(shù)i目下而上的矢釈次數(shù)自上而下的累積次數(shù)打95100&4$490-9554495590105919$0笳8292775TQe21337075515羽5370斗10426053645556023冊刃一551148組別efj訃算方迭面一礎(chǔ)!1571口UlLtJUL；4U65丿60-6d415655-5

6、9152Q的位置：寺耳=邂衛(wèi)=了5c5（1adg16鶉18iIV臥*407424仁2=24.54-3.4235393d28=2ft.323D眈23ft-39.S1117,瓷一叫9L&館=31U1位2024sISid1127-w43.6l916力43.61-28.J215.29“10K77Q2-2一匚因48T-10Q20X5=723X4S29q=&5十X5口88J10遽尹.十O1106492915450795316315diS52742Hi494165Ki2286418641-一四分位差計算案例2、計算方法注意：Q的位置-=41,則Q在第三組，即70-80組3Y164又0$的泣置二?；=123則

7、03在第五組.即90-00組0=704x10口50=7240（千克）e3=90+3x1644-11527=90+2.96=92.96（千克）:qd.=q3-qx=92.96-72.40=20.56（千克）也有人認(rèn)為：四分位距就是75%百分位數(shù)與25%百分位數(shù)閭的距離.它代表分布中間50%的距離.四分位距(IQR)=Q3-Q1senu-interquaitilerange:四分位距的半(interquartilerange).SIQR=(Q3-Ql)/23、四分位距的應(yīng)用及優(yōu)缺點優(yōu)點：四位位距簡明易懂.il算簡便，較少受兩極端數(shù)值的影響，比全距可靠得多。缺點：但它忽路了左右共50%數(shù)據(jù)的差異.又

8、不適合代數(shù)運(yùn)算.因而限制了它的應(yīng)用。使用：當(dāng)一組數(shù)據(jù)用中位數(shù)表示集中量時，就要用四分位距表示差異量。因為它們同屬干百分體系。四分位距與中位數(shù)一樣.適用干有特大或特小兩極端數(shù)值，有個別數(shù)血不確切、不清楚，以及用等級的數(shù)據(jù)等情況。三、百分位距1、槪念：百分位點位置百分位數(shù)二二數(shù)值百分位差二二段距離百分位距是指兩個百分位數(shù)之差。常用的百分位距有兩種：一種是第90與第10百分位數(shù)之差.用P90-P10表示。即按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中間部位80%個頻數(shù)的距離。一種是:第93與第7百分位數(shù)之差，用P93-P7表示。是按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中間部位86%個頻數(shù)的距離。2、計算方法:先il算百分位數(shù)百分位

9、數(shù)的計算方法我們第二章講中位數(shù)時.涉及到了百分位數(shù)的il算方法。然后計算百分位距:百分位距的計算方法很簡單.即P90-P10或P93-P7II算。1)百分位數(shù)的計算其中:Pp表示百分位數(shù)P表示與百分位數(shù)相對應(yīng)的比數(shù)N表示總頻數(shù)Lp表示百分位數(shù)所在組的下限n表示小于百分位數(shù)所在組下限的頻數(shù)總和fp表示百分位數(shù)所在組的頻數(shù)1表示組距例俎別1ith數(shù)算方廉關(guān)Y911騎珂0Pq.98-1680152157x10%=15-.ro創(chuàng)54$XG45191667X9JJti-HG-0胡122xs-u.6+2.2；-3S.72353B3dy30-34!G4陷=U.5+“晉_滋=14.5*丄83也33抽一如11U

10、27P-尸側(cè)5牛凹罟13aX5-4B,5+2.DC-51.EE1530S孔5=55+0.1=54.51J01477D目=2）百分位差P90-P10=P80-P20=PxPy=3、適用條件用幾個百分位距能較好地反映一組數(shù)據(jù)的差異程度。在計算頻數(shù)分布峰態(tài)量時.要用到上述的百分位距。四二百分等級（相對地位數(shù)）概念在一個團(tuán)體中，不管人數(shù)多少，如果我們要問：某一個人在一百個人中勝過多少人;或者間假使把這一團(tuán)體分為一百等，這一個人占第幾等?；卮疬@樣的間題，用一個人的原分?jǐn)?shù)或等第都不行。因為在一班學(xué)生中的成績丫1獨(dú)一個原來的分?jǐn)?shù).最多只能表示分?jǐn)?shù)的高低.不能表示他在全班中的地位。例如某個學(xué)生名列第十五名.我

11、們不能知道他的成績究竟如何，要了解他的成績在班上的地位.還必須知道他同班同學(xué)有多少人。如果全班有60名學(xué)生，他名列第十五名.其成績還是比枚好的。如果全班只有30名學(xué)生.第十五名就是中等成績。如果全班只有20名學(xué)生，第十五名就是較差的?？梢?普通等第是看不出優(yōu)劣的。平時所用的等第，也只能表示一個學(xué)生成績的高低次序，而不能表示他在全班中的地位。而百分等級則不同.它能表示一個分?jǐn)?shù)在它所屆團(tuán)體中的地位。如一個學(xué)生的分?jǐn)?shù)之百分等級為70,就是表示這個學(xué)生的分?jǐn)?shù)超過他所在團(tuán)體的70%。所以百分等級是一種相對地位量數(shù)，是教育、心理研究中佼常用的一種量數(shù)。在按分?jǐn)?shù)高低大小順序排列的情況下，它可以表示任何一個分

12、數(shù)在該團(tuán)體中酌相對地位。什么是百分等級呢？所謂百分等級就是把一班學(xué)生的得分依高低次序排列.然后算岀一個人在一百人中超過多少人.或算出這個人以下占多少百分比.表示這種關(guān)系的量數(shù).在統(tǒng)計學(xué)中.就稱為百分等級。換言之，百分等級是把全班人數(shù)按照一百來計算，從他所得的分?jǐn)?shù)決定他在全班所占的地位。分?jǐn)?shù)的百分等級越大，代表等級越高。百分等級越小，代表等級越低。如某學(xué)生的分?jǐn)?shù)之百分等級為90,表示比他差的有90%.如果百分等級為20,表示比他差的只有20%。百分等級的符號為PR。二）百分等級的計算1.未分組數(shù)據(jù)汁算百分等級的方法是：將團(tuán)體中各個體，按他們所得分?jǐn)?shù)之高低排列成等第。如第一名、第二、J以R代表之，

13、第一名，R=1;第二名，R=2;曲余類推。以全體人數(shù)除100.即100/N,表示百分量表上毎人應(yīng)占的分?jǐn)?shù)。第一名占第一個100/N,第二個占第二個100/N.故求第幾名百分等級，即以100R/N代表。無論是第幾名百分等級.都應(yīng)以每個分?jǐn)?shù)的占位適的中點來代表它，所以把毎段的距離減去半段.即減去50/N,而成(100R/N)(50/N)=(100R50)/N(100R-50)/N是每個分?jǐn)?shù)在百分表上的位置，這個位置是按一般等第排列的.其成績越高，代表等第的數(shù)字越??；其成績越差，其代表的數(shù)字越大。故須從100減去(100R-50)/N.成成為：100-(100R-50)/N未分組數(shù)據(jù)計算百分等級的公

14、式是：P2?=100-(100R-50)ZN其中：庶表示某個分?jǐn)?shù)的百分等級R表示某個分?jǐn)?shù)所在團(tuán)體中按大小排列的等第。N個數(shù)。例匸10名學(xué)生的作文成績依次排列為:5&、64、68、69、73、75、78、79、83、86分，試求得分為78分的百分等級。作文成績得78分的學(xué)生是第4名，故R=4,總?cè)藬?shù)N=10,代入公式得：PR=100-(100R-50)/N=100-(100 x4-50)/10=65即該生的百分等級為65.即在100名學(xué)生中該生的作文成絨勝達(dá)65名學(xué)生。例二試分別訂算20名學(xué)生、S0名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第1名、第2名和第15名的百分等級。20名學(xué)生時：P7=100-(100 x1-5

15、0)/20=98P2=100-(100 x2-50)/20=92P75=100-(100 x15-50)/20=2580名學(xué)生時:P7=100-(100 x1-50)/80=99P2=100-(100 x2-50)/80=98P75=100-(100 x15-50)/80=82根據(jù)以上計算，我們說在20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中，第一名的百分等級為98.第二名的百分等級為92,第十五名的百分等級為2&。而在80名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中.第一名的百分等級為99,第二名的百分等級為9&第十五名的百分等級為82?？梢姡瑘F(tuán)休的總?cè)藬?shù)不同，同一等第的百分等級并不一樣。2.分組資料(頻數(shù)分布表)計算百分等級PR二百分等

16、級N總頻數(shù)Fb該分?jǐn)?shù)所在組以下的次數(shù)和f該分?jǐn)?shù)所在組的頻數(shù)X給定的原始分?jǐn)?shù)Lb該分?jǐn)?shù)所在組的精確下限1組距例二156名學(xué)生的誥文考試成纟貢分布如表.求66分的百分等級。分?jǐn)?shù)(X)次st累積次數(shù)(CumJ)&59911569D94415585-896151*0-84814575旳16137707424r12L$56930fi70642657百55912141-50-5第1Q2045497101001581221565(67+IflO156(7+9=4fc,7解釋:在156名學(xué)生中有48.7%的學(xué)生的分?jǐn)?shù)在66分以下。例二表中原始分?jǐn)?shù)為52的百分等級組別f聚積次數(shù)65-69115760644156

17、5559615250548145T91&138404424122353934983034216425-2916432024112715199161017A=157xl42100157n百分等級也可以從累加百分曲線圖上求得。只要把上面確定百分位數(shù)的過程倒轉(zhuǎn)過來即可。如分布中.P1O亦即第10百分位之值為19.33分，那么.我們就可以把19.33分或其成績?yōu)?9.33分的學(xué)生.說成是居干第10百分位的位置；P90亦即第90百分位之值為51.50分.我們就可以把51.56分說成是居干第90百分位的位置。統(tǒng)計學(xué)中習(xí)慣上都把這個百分位置稱為某某分?jǐn)?shù)的百分等級.如說19.33的百分等級為10.00,51.

18、56分或得51.56分的學(xué)生其百分等級為90.00,等等。其它任何一個給定的分?jǐn)?shù)也都可以轉(zhuǎn)化為百分等級。3求一組的百分等級一組的百分等級是以毎組的組中值的百分等級來代表，其方法是；先分別求出毎組精確上、下限的百分等級，然后將上、下限百分等級相加.以2除之，即為每組組中ff的百分等級。求毎組精確上、下限的百分等級的方法是：首先將次數(shù)分布表由下而上求出各組的累積次數(shù);然后從最低組起計算毎組精確上限的百分等級。即以總次數(shù)(N)除100.再乘以累枳次數(shù)。用公式表示為：PR=100fcp/N其中：PR表示毎組上限的百分等級fcp表示每組的累加次數(shù)N表示總數(shù)例二求各組的百分等級分轂g組中推(Cum*f)1百分等級(D組上眼的組下眼商組中值的8987150|100S89984822般198S40675T97?447i19496go7JFi從dSj8676656&er3B7G60665645230Q401505559s?i$204028U5054521428.20244S*494714.2012404443i261?3ie36sa3?34a2&SC