二元二次方程組的解法

1、二元二次方程的解法一.內(nèi)容綜述：1,解二元二次方程組的根本思惟和辦法解二元二次方程組的根本思惟是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元降掰”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的根本辦法.是以，控制好消元和降次的一些辦法和技能是解 二元二次方程組的癥結(jié).2.二元二次方程組平日按照兩個方程的構(gòu)成分為“二 一”型和“二二：W離成為I型和R型“二一”型是由一個二元二次方程和一個二元一次方程構(gòu)成的方程組；“二二”型是由兩個二元次方程構(gòu)成的方程組. 一”型方程組的解法(1)代入消元法(即代入法)代入法是解“二 一”型方程組的一般辦源體步調(diào)是：把二元一次方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式暗

2、示；把這個代數(shù)式代入二元二次方程，得到一個一元二次方程；解這個一元二次方程，求得一個未知數(shù)的值；把所求得的這個未知數(shù)的值代入二元一次方程，求得另一個未知數(shù)的值；假如代入二元二次 方程求另一個未知數(shù)，就會消失“增解”的問題所得的一個未知數(shù)的值和響應的另一個未知數(shù)的值分離組在一路，就是原方程組的解.(2)逆用根與系數(shù)的關(guān)系x+y -a對“二 一”型二元二次方程組中形如=*的方程組，可以依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 把x.y看做一元二次方程z2az+b=0的兩個根，解這個方程，求得的z1和z2的值，就是x.y的值.當 x1=z1時,y1=z2；當x2=z2時,y2=z1,所以原方程組的解是兩組“對

3、稱解”留意：不要丟失落一個解.此辦法是解“二 一”型方程組的一種特別辦磔實用于解“和積情勢”的方程組以上兩種是比較經(jīng)常應用的解法.除此之外，還有加減消元法.分化降次法.換元法等，解題時要留意剖析方程的構(gòu)造特點，靈巧選用適當?shù)霓k法留意：(1)解一元二次方程.分式方程和無理方程的常識都可以應用于解“二 一”型方程組(2)要防止漏解和增解的錯誤.“二二”型方程組的解法(i)當方程組中只有一個可分化為兩個二元一次方程的方程時，可將分化得到的兩個二元一次方 程分離與原方程組中的另一個二元二次方程構(gòu)成兩個“二 一”型方程組，解得這兩個“二 一”型方程組 所得的解都是原方程組的解.(ii)當方程組中兩個二元

4、二次方程都可以分化為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次方程 分化所得到的每一個二元一次方程與第二個二元二次方程分化所得的每一個二元一次方程構(gòu)成新 的方程組,可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都是原方程的解.留意：“二 一”型方程組最多有兩個解，“二二”型方程組最多洵釁如寸，即不要漏解，也不要增解.例題剖析: TOC o 1-5 h z 丁十3=31)例1 .解方程組口剖析：細心不雅察這個方程組，不難發(fā)明，此方程組除可用代入法解外，還可用根與系數(shù)的關(guān)系 經(jīng)由過程構(gòu)造一個以x, y為根的一元二次方程來求解.解法一：由(1)得 y=8x(3)把(3)代入(2),整頓得x28

5、x+12=0.解得 x1=2, x2=6.把 x1=2 代入(3)，得 y1=6.把 x2=6 代入(3)，得 y2=2.所以原方程組的解是解法二：依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：x, y是一元二次方程, z28z+12=0的兩個根，解這個方程，得z1=2, z2=6.pi =2 卜口=6所以原方程組的解是：;.留意：“二 一”型方程組中的兩個方搬如是以兩數(shù)和與兩數(shù)積的情勢給出的，如許的方程組 用根與系數(shù)的關(guān)系解是很便利的.但要特別留意最后方程組解的寫法，不要漏失落.j十辦=4 m例2.隔=一21解.方程是x與2y的和，方程是x與2y的積，.x與2y是方程z24z21=0的兩個根解此方程得:z1=3,

6、z2=7,勺三一口%=7尸一乙廠7 或臼=7原方程的解是7h = 23然=3解釋:此題屬于號氣特別型的方程組，可用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解.Jt + / -a J! -jj - a 1i此外1V二 上士二型的二元二次方程組，也都可以經(jīng)由過程變形用輕便的特別解法7晝+叩U L07二0 解(1)解法一(用代入法)由得：y=W叼11-知口-3黑即1-泡把代入得：x2 +4( ,: )2+x-2=0.整頓得:4x221x+27=09. x1=3 x2=-.把x=3代入得:y=1917把x=”代入得:y= 3pi -3Ln =1原方程組的解為：解法二(用因式分化法)方程(1)可化為(x2y)2+

7、(x2y)2=0即(x2y+2)(x2y1)=0 x2y+2=0 或 x2y1=0原方程組可化為:p-2/+2 = 0 4和彳+-11 =07i =1分離解得:9=一417T解釋:此題為I型二元二次方程組，一般可用代入法求解，當求出一個未知數(shù)的值代入求另一個 未知數(shù)的值時，必定要代入到二元一次方程中去求，若針對二元二次方程的特色，采取特別解法，則較 為輕便.y+1=口.例4 . k為何值時，方程組L (1)有兩組相等的實數(shù)解；(2)有兩組不相等的實數(shù)解；(3)沒有實數(shù)解.剖析：先用代入法消去未知數(shù)y,可得到關(guān)于x的一元方程，假如這個一元方程是一元二次方 程，那么就可以依據(jù)根的判別式來評論辯論.

8、解：將(2)代入(1),整頓得 k2x2+(2k4)x+1=0I a n (1)當L 一時，方程(3)有兩個相等的實數(shù)根.即-她解得:上.Ok=1.”=1時，原方程組有兩組相等的實數(shù)根.I(2)當1A%。時，方程(3)有兩個不相等的實數(shù)根(2Jt-4)a-4t3 0即U解得:野口=k1 且 kw0.當k1且kwo時，原方程組有兩組不等實根.(3)因為在(1) . (2)中已知方程組有兩組解，可以肯定方程(3)是一元二次方程，但在此問 中不克不及肯定方程(3)是否是二次方程，所以需兩種情形評論辯論.i打口(i)若方程(3)是一元二次方程，無解前提是，i. fe|k1.工(ii)若方程(3)不是二

9、次方程，則k=0,此時方程(3)為4x+1=0，它有實數(shù)根x=4 .分解(i)和(ii)兩種情形可知，當k1時,原方程組沒有實數(shù)根.留意：應用判別式的前提前提是能肯定方程為一元二次方程,不是一元二次方程不克不及 應用A . TOC o 1-5 h z 3jj = 1j(1)El AtJ ? .rCDZlzr- J J 3=0Q)例5.解萬程組L 1/ 剖析：解二元二次方程組的根本思惟是先消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再降次轉(zhuǎn)化為一元一次方 程解之.本題用代入法消元.解：由(1)得丫= 3 (3)-L 2jt -1-1將式(3)代入式(2)，得 2x23x( 3 )+( 3 )24x+3( 3 )3=

10、0,化簡，得 4x213x35=0,即(x5)(4x+7)=07x1=5, x2=.將 x1=5 代入(3)，得 y1=3,了2將x2=4代入(3)，得y2=2 ._7-42(1)3 3 - = Cl產(chǎn) +jj3 =25(2)色5bi =3方程組解是：32- 期-勺3-5十=0(1)例6.解方程組一十/二郎剖析：此方程組是由兩個二元二次方程構(gòu)成的方程組，在(1)式的等號左邊分化因式后將二元 次方程轉(zhuǎn)化為解：將式(1)分化因式 布(x+y)(3x4y)(3x4y)=0即(3x4y)(x+y1)=03x4y=0,或+y1=0.故只需解下面兩組方程組：3(1)由 3x4y=0,得 y= 4 x,代入

11、 x2+y2=25, g得 x2+x2=25, x2=16, x= 4, x 1=4, x2=4,將 x1 和 x2 代入 y=x,得 y1=3, y2=3.(2)由 x+y1=0，得 y=1x,代入 x2+y2=25,得 x2+(1x)2=25,整頓，得 x2x12=0,即(x4)(x+3)=0,x3=4, x4=3.x3=4 時，y3=3;當 x4=3 時,y4=4.勺=4故原方程組的解為:%-j =17例7.解方程組二一皿x-y = V解：原方程組可化為手二.兜，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，知x, y是方程z217z+30=0的兩個根.解此方程 居z1=2, z2=15.卜=2丁口 = 15故

12、原方程組的解為 TOC o 1-5 h z 工，-1 例8.解方程組了尸J）T 口剖析：不雅察方程（2），把（xy）算作整體，那么它就是關(guān)于（xy）的一元二次方程，是以可分化為 （xy3）（xy+1）=0,由此可得到兩個二元一次方程 xy3=0和xy+1=0.這兩個二元一次方程分離和方程（1）構(gòu)成兩個“二 一”型的方程組:H-?3和=i14U 1J jj 3 = 0工一+1=0分離解這兩個方程組，就可得到原方程組的解.解：由（2）得（兀-尸一可叮-1）=.）丫3=0或乂丫+1=0.原方程組可化為兩個方程組:用代入消元法解方程組（1）和（2）,分離得:5r1 = 5% = -1原方程組的解為錯誤

13、剖析：留意不要將（1）式錯誤分化為（x+y） （xy）=1,故而分化為（xy） =1或者（x+y）=1,如許做是錯的，因為當右邊W0時，可以分化出無限多種可能，例如（x+y） （xy）=1還可以分化為1x+y=2,xy=之等等.例9.解方程組剖析：方程（1）的右邊為零，而左邊可以因式分化，從而可達到降次的目標.方程（2）左邊是完整平 方法,右邊是1,將其雙方平方，也可以達到降次的目標.解：由（1）得（I以皿，x4y=0或 x+y=0.由(2)得(x+2y)2=1x+2y=1 或 x+2y=1原方程組可化為以下四個方程組:j -4jj = ClI +2” 1 f = Q 12/=1又一 4/=工十打u T工+=Qx=-1解這四個方程組 將原方程組的四個解是:留意：不要把統(tǒng)一個二元二次方程分化出來的兩個二元一次方程構(gòu)成方程組，如許會消失增解問題，同時也不要漏解.例10 .解方程組X，+/ =52(1)中+工 + 7= 34.,(2)剖析：此方程組是“二二”型方程綱為方程(1)和(2)都不克不及分化為兩個二元一次方程，所 以須要查找其它解法.我們先斟酌可否換元法.因為及+ =(工+川-2.所以，方程(1)可化為 d - 2號二盤,顯然此方程組具備換元前提，可以用換元法來解.解：由(1)