第14講 極值(共12頁(yè))

1、第14講 極值(j zh)一、利用(lyng)圖像及制約關(guān)系求極值利用(lyng)圖像求極值主要是利用函數(shù)圖、矢量圖求極值。利用函數(shù)圖像求極值時(shí)，可利用圖像的交點(diǎn)、斜率、截距和與坐標(biāo)軸所包圍的面積等的物理意義，進(jìn)行分析、推理和計(jì)算。對(duì)速度、力、位移等矢量，還可根據(jù)平行四邊形法則或三角形法則作出矢量圖，簡(jiǎn)便求取極值。另外，很多物理量都有一定的條件要求，利用這點(diǎn)也可求極值。例1、A、B兩汽車站相距s=60km，從A站每隔t=10min，開出一輛汽車，行駛速度為v=60km/h。如果在A站正有汽車開出時(shí)，從B站有輛汽車以同樣大小的速率開往A站。為了在途中遇到從A站開出的車最多，B站的車至少應(yīng)在A站第

2、一輛車開出后多久出發(fā)？途中最多能遇到幾車車？解析：從A站開出的每輛汽車的s-t圖像如圖所示。顯然從B站出發(fā)的車應(yīng)在A站第一輛車開出后1h出發(fā)滿足要求。途中遇到車數(shù)為Nmax=11輛。思考：1、如果B站汽車與A站第一輛汽車同時(shí)出發(fā)，途中最多能遇到幾輛車？（6輛）2、如果B站汽車與A站汽車不同時(shí)開出，途中最多雙能遇到幾輛車？（12輛）例2、物體從A點(diǎn)由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)到B停下，且A、B的間距為s，在這段時(shí)間內(nèi)，物體可以作勻速運(yùn)動(dòng)也可以作加速度為a的勻變速運(yùn)動(dòng)，為了使物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間最短，試分析：物體應(yīng)怎樣運(yùn)動(dòng)？最短時(shí)間是多少？最大速度又是多少？解析：物體可能的兩種運(yùn)動(dòng)方式如圖所示：顯然，下

3、圖對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。，解得：，例3、在“互成角度的兩個(gè)(lin )力的合成”實(shí)驗(yàn)(shyn)中，用A、B兩彈簧秤拉橡皮條的端點(diǎn)，使它伸長(zhǎng)(shn chn)到O點(diǎn)，如圖所示?，F(xiàn)保持O點(diǎn)位置和角的大小不變，當(dāng)角由圖示位置逐漸增大時(shí)，討論彈簧秤A、B示數(shù)的變化情況。（圖示）解析：O點(diǎn)在FA、FB和F三力的作用下平衡，三力必構(gòu)成圖示的矢量三角形。 其中F的大小、方向和FB的方向不變； 角增大，F(xiàn)B不斷增大； FA先變小，后又逐漸變大； 當(dāng)FA與FB垂直時(shí)，F(xiàn)A最小。 例4、一條河的寬度為L(zhǎng)=300m，水的流速為v=50 m/s，并在下游形成瀑布。一艘船從距瀑布S=400 m的上游渡河。為了不致被沖進(jìn)

4、瀑布中，試分析船頭應(yīng)沿什么方向？船對(duì)水的最小速度是多少？這種情況下的過(guò)河時(shí)間為多長(zhǎng)？解析：臨界情況對(duì)應(yīng)水速的船速的的合速度沿OA方向，如圖所示：顯然v船與OA垂直時(shí)滿足要求船頭指向上游，河岸成53O角。例5、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)自傾角為的斜面(ximin)上方定點(diǎn)A，沿光滑斜槽從靜止開始下滑。為了使質(zhì)點(diǎn)在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)斜面，求斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)等于(dngy)多少？解析：如圖所示，從豎直圓的最高點(diǎn)A沿光滑軌道到圓上各點(diǎn)的時(shí)間都相同。由下圖可知：思考：若A點(diǎn)斜面的垂直距離為d，則最短時(shí)間為多少？例6、如圖所示，重為G1=600N的人，站在重G2=400N的平臺(tái)上用手豎直向下拉住繩子保持平衡

5、，則此時(shí)人臺(tái)的壓力為_N，若增加平臺(tái)重力而仍保持平衡，則平臺(tái)的最大重力為_N。解析：對(duì)人和平臺(tái)整體，設(shè)拉力為T，則T+T+2T=G1+G2得T=250N對(duì)人：由T+N=G1 得N=350N 對(duì)平臺(tái)：3T=G2+N即 3G1-G2=4N 因 N0，故G23G1=1800N例7、如圖所示，長(zhǎng)為l=100cm，導(dǎo)熱性能良好的細(xì)玻璃管豎直放置，管內(nèi)有一段高為h=4cm的水銀封閉l0=96cm長(zhǎng)的空氣柱，水銀柱剛好與管口齊平，現(xiàn)向管口再緩慢加入水銀，最多能加入水銀的高度是多少？設(shè)大氣壓強(qiáng)P0=76cnH。解析(ji x)：設(shè)加入(jir)x cm長(zhǎng)的水銀(shuyn)使得氣柱長(zhǎng)度減少y，則（P0+h）l

6、0=（P0+h+x）（l0-y） 代入數(shù)值y=96x /（180+x）由yx 得 9680+x 即x16 cm。二、利用數(shù)學(xué)方法求極值1、利用的性質(zhì)。2、利用判別式。3、利用三角函數(shù)（包括和）。4、利用定積求和與定和求積原理。例8、一間新房要蓋屋頂，為了使下落的雨滴能夠以最短的時(shí)間淌離屋頂，則所蓋屋頂?shù)捻斀菓?yīng)為（設(shè)雨滴沿屋上淌時(shí)，可看作在光滑的斜坡上下滑）： A、60OB、90OC、120OD、150O解析：如圖所示，對(duì)新屋而言，前后間距2d為定值。加速度： 屋面長(zhǎng)：得，當(dāng)時(shí)，t有最小值。答案：B例9、如圖所示，每單位長(zhǎng)重為G0的均勻桿AB，支點(diǎn)在A端，B端用繩子懸掛，使桿水平。在離支點(diǎn)l0處

7、掛一重為G的砝碼。問(wèn)繩子張力的最小值是多大？解析：設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，繩張力為T，則得 0 另解：所以，當(dāng)，即時(shí)，T有最小值。例10、如圖所示，摩托車作騰躍(tn yu)特技表演，以初速度沖上頂部水平的高臺(tái)(o ti)，然后從高臺(tái)飛出。試分析：當(dāng)臺(tái)高h(yuǎn)多大時(shí)，飛出的水平距離最遠(yuǎn)？且最大值是多少？（不計(jì)一切(yqi)摩擦，?。┙馕觯?得當(dāng)時(shí)，當(dāng)然也可由配方法求得。例11、如圖所示，圓柱形容器豎直放置，上方粗管A的橫截面積是下方細(xì)管B的橫截面積的4倍，中間灌有水銀，水銀下方細(xì)管中密封一段空氣柱，水銀上有一活塞（活塞自重及活塞與容器壁間的摩擦均不計(jì)），已知大氣壓強(qiáng)P0=75cmH，靜止時(shí)，粗管A內(nèi)水銀高度h

8、A=5cm，細(xì)管B內(nèi)水銀柱高度hB=10cm，現(xiàn)用一豎直向上的拉力F拉活塞，在活塞慢慢上移的過(guò)程中拉力F先變大后變小，當(dāng)活塞被提高h(yuǎn)/=2cm時(shí)拉力F又變?yōu)榱?，求：?）原來(lái)水銀下方細(xì)管中密封的空氣柱長(zhǎng)度L；（2）當(dāng)活塞約上移多少后水銀對(duì)活塞的壓強(qiáng)最??？解析：（1）初狀態(tài)：H，末狀態(tài)：H，由，得（2）設(shè)活塞上移x，則得所以(suy)當(dāng)時(shí)最小。例12、如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)(y )豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離距離為x的A點(diǎn)，用水平(shupng)恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)，求：（1）推力對(duì)不球所做的功（用x、R、

9、m、g表示）；（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少？最小功為多少？（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小，最小力為多少？解析：（1）由，質(zhì)點(diǎn)從A到C，得（2）由動(dòng)能定理關(guān)系易知，為最小值時(shí)對(duì)應(yīng)最小。而，得時(shí)，（3）由，得，故時(shí)，。例13、如圖所示，銅棒質(zhì)量為0.1kg，靜臥于相距8cm的水平軌道上，二者間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，現(xiàn)從一軌道載送5A電流至另一軌道，欲使銅棒滑動(dòng)，兩軌道間所加的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感的最小值為多少？解析：顯然所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于銅棒，設(shè)F與導(dǎo)軌平面夾角角，棒受力如圖所示。，得當(dāng)時(shí)，三、利用物理(wl)方法求極值利用物理方法求極值(j zh)，經(jīng)常用到下列典型的極值

10、條件：1、速度(sd)為0單向減速運(yùn)動(dòng)的位移達(dá)最大值。2、加速度為0速度有極值。3、合力矩為0角速度有極值。4、力矩一定，力臂最大時(shí)力最小。5、弱力N=0，兩物即將分離。6、豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)速度有要求等等。例14、在X射線管中，電子經(jīng)過(guò)電壓加速后打在靶子上，當(dāng)電子受阻后能量減少就會(huì)釋放出X射線，則此X射線的最短波長(zhǎng)為_m。解析：X射線的波長(zhǎng)最短對(duì)應(yīng)能量最大。 得代入數(shù)值，得例15、（多選）如圖，水平放置的因定圓盤A，帶電為Q，電勢(shì)為零，從盤心O處釋放一質(zhì)量為m、帶電為的小球，由于電場(chǎng)力的作用，小球最高可上升到豎直高度為h的C點(diǎn)，且過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度最大，由此可求出Q形成的電場(chǎng)中（ ）A、B點(diǎn)

11、的場(chǎng)強(qiáng)B、C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)C、B點(diǎn)的電勢(shì)D、C點(diǎn)的電勢(shì)解析：C為最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，由可得值。小球過(guò)B點(diǎn)速度最大，對(duì)應(yīng)的加速度為0。由可得值。答案AD例16、如圖，兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑導(dǎo)軌，豎直放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向跟導(dǎo)軌所在平面垂直，金屬棒兩端套在導(dǎo)軌上且可自由滑動(dòng)，電源電動(dòng)勢(shì)，內(nèi)阻跟金屬棒的電阻相等，其余部分電阻不計(jì)。當(dāng)K2斷開、K1接通時(shí)，棒恰靜止不動(dòng)，現(xiàn)斷開K1，同時(shí)接通K2，金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多少？當(dāng)金屬棒的運(yùn)動(dòng)加速度為時(shí)，棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多少？解析(ji x)：K2斷開(dun ki)、K1接通(ji tn)時(shí)有，得K1斷開、K2接通時(shí)，棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)

12、E最大。，得，由，得例17、拖拉機(jī)前后輪的輪距為L(zhǎng)，重心O的高度是h，重心到前輪的距離是l。試分析：（1）為了使拖拉機(jī)上坡時(shí)不致向后翻倒，斜坡的最大傾角應(yīng)滿足什么條件？（2）為了使拖拉機(jī)下坡時(shí)不致向前翻倒，斜坡的最大傾角又應(yīng)滿足什么條件？解析：（1）極值條件對(duì)應(yīng)重力作用線正好過(guò)后輪與斜面的接觸點(diǎn)，如圖所示：最大傾角滿足（2）由得例18、如圖所示，水平放置的光滑平行長(zhǎng)導(dǎo)軌寬為l，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電阻不計(jì)。導(dǎo)體ab和cd的質(zhì)量均為m，總電阻為R，開始靜止在導(dǎo)軌上。若以水平向右的恒力F拉動(dòng)導(dǎo)體ab，試計(jì)算：（1）導(dǎo)體(dot)ab桿加速度的最小值和cd桿加速度的最大值；

13、（2）兩導(dǎo)體(dot)桿速度差值的穩(wěn)定值。解析(ji x)：（1）ab作加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，cd作加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)。對(duì)系統(tǒng)：得 即為ab加速度的最小值和cd加速度的最大值。（2）對(duì)cd桿，而，得思考：該穩(wěn)定值是最大值還是最小值？例19、物理A以初速v做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間后，在同一地點(diǎn)有另一物體B以初速u做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，欲使A與B最早相遇，問(wèn)應(yīng)為多少？如果要使B盡快與A相遇，又為多少？解析：要使A與B盡早相遇，對(duì)應(yīng)相遇點(diǎn)在B的最高點(diǎn)。則A從最高點(diǎn)下落時(shí)間滿足：故要使B盡快與A相遇，對(duì)應(yīng)A將要著地時(shí)拋出B，則是四、利用邊界條件求極值物理各物理量許多都有條件的限制，據(jù)此可求極值。有時(shí)也可把

14、物理量推向極端求得極值。另外，很多習(xí)題都可以由多種方法求得極值。例20、如圖所示，電源內(nèi)阻不可忽略，當(dāng)開關(guān)S接1時(shí)，理想電流表示數(shù)為0.2A，當(dāng)開關(guān)S接2時(shí)，電流表示數(shù)取值可能在什么范圍內(nèi)_。解析(ji x)：設(shè)電源(dinyun)電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為。則 代入數(shù)值(shz)化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故例21、火車以速率向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)在前方同一軌道上距車頭為s處有另一列火車，正沿相同方向以較小速率作勻速運(yùn)動(dòng)，于是司機(jī)立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)使火車作勻減速運(yùn)動(dòng)，為使兩車不相碰，那么后面列車至少應(yīng)以多大加速度減速？解析：法一：臨界情況對(duì)應(yīng)： 得法二：設(shè)t時(shí)刻兩車相遇，則滿足：0 得 法三：利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)直接

15、得例22、傾角的傳送帶以恒定的速率運(yùn)動(dòng)，皮帶始終是繃緊的，皮帶上、下兩端間的距離?，F(xiàn)將一工件無(wú)初速放在皮帶下端，經(jīng)過(guò)時(shí)間可到達(dá)上端；若增加皮帶的速率，求皮帶速率多大時(shí)，工件從皮帶下端送到上端的時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少？（）解析：法一：若物理一直勻加速，則；由 得 由 得 故 即 ，法二：物體一直(yzh)勻加速，從皮帶下端送到上端的時(shí)間最短： 得 例23、如圖所示，半徑為r、質(zhì)量(zhling)不計(jì)的圓盤面與地面相垂直，圓心處有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在O點(diǎn)正下方離O點(diǎn)處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B，放開盤讓其自由(zyu)轉(zhuǎn)動(dòng)。問(wèn)：（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中小球A向能夠達(dá)到的最大速度是多少？（2）至少給圓盤多大的角速度才能在豎直平使圓盤面內(nèi)作完整的圓周運(yùn)動(dòng)？解析：（1）法一：設(shè)OA轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，A球速度最大：而得其中，由確定。故：法二：當(dāng)即時(shí)，達(dá)到(d do)最大值以過(guò)圓心O的