新高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題《圓錐曲線》第3講 長(zhǎng)度問(wèn)題（解析版）

1、第3講 長(zhǎng)度問(wèn)題一解答題（共19小題） 1已知橢圓，與軸不重合的直線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（1）若直線的斜率為1，求直線的斜率；（2）是否存在直線，使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）由已知可知，又直線的斜率為1，所以直線的方程為，設(shè)，由解得或，所以中點(diǎn)，于是直線的斜率為（2）假設(shè)存在直線，使得成立當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)，所以，矛盾；故直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，得，設(shè)，則，于是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，得，設(shè)，則，由題知，即，化簡(jiǎn)，得，故，所以直線的方程為，2已知橢

2、圓的離心率為，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上（）求橢圓的方程；（）若，求直線的方程【解答】解：（）設(shè)橢圓焦距為，由已知可得，且，所以，即有，則橢圓的方程為；（）由題意可知直線斜率存在，可設(shè)直線，由消，并化簡(jiǎn)整理得，由題意可知，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)，都在線段上，且，所以，即，所以，即，所以，解得，即所以直線的方程為或3已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)、，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上【解答】解：（）由已知，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這

3、與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾，所以直線的斜率存在令，將直線的方程代入橢圓方程得：，同理由得，此時(shí)，直線，即點(diǎn)的定直線上4已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為4，四邊形的面積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為1證明：存在定點(diǎn)，使得為定值【解答】（1）解：由題意知，即，即，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：當(dāng)定點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，為定值5證明如下：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，代入可得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，而，化簡(jiǎn)得，即，綜上所述，存在定點(diǎn)，當(dāng)為原點(diǎn)時(shí)，可使為定值5已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的

4、左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍【解答】解：（1）易知，得，則，而，又，得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時(shí)，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時(shí)，由（1）知，設(shè)，、，直線的方程為，則直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，同理得，所以，令，則，設(shè)，所以，所以，則綜合可知，的取值范圍是6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)都在軸上，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個(gè)

5、（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的兩直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，和點(diǎn)，且，比較與的大小【解答】解：（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的的方程為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個(gè)，在軸上方使成立的點(diǎn)是橢圓的短軸的端點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)時(shí)，由已知可得，解得，橢圓的方程為，（2）若直線的斜率為0或不存在時(shí)，且，或，且，由，若的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，由可得，設(shè)，則，同理可得，綜上所述7已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為過(guò)且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若（1）求橢圓的方程； （2）動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別交直線和直線于、兩點(diǎn)，試求的值【解答】解：（1）易知，所以，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)直線與橢圓的切點(diǎn)為點(diǎn)，則直

6、線的方程為，且有，可得，直線與直線交于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)所以，因此，8已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過(guò)垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為1（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：由已知得，解得，（3分）橢圓，（4分）設(shè)，由已知得，（5分）由消去得（6分）則（7分）又（9分）又，（10分），（11分）的取值范圍是（12分）9已知橢圓的離心率為，一個(gè)短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（）求橢圓的方程；（）已知直線，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得恒成立，并說(shuō)明理由【解答】解：（）由題意可知：，

7、解得：，橢圓的方程為 （4分）（） 設(shè)直線的方程為，有解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，（5分）將直線代入橢圓方程得：，由韋達(dá)定理，得，（7分）所以（11分）存在實(shí)數(shù)，使得恒成立（12分）10已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，為其右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且與軸垂直，（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，若以為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最大值【解答】解：（1）由已知得，又，橢圓的方程為（5分）（2）當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為零時(shí)，易知；（7分）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，直線，互相垂直且由圖象的對(duì)稱(chēng)性知，直線，為橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)作弦長(zhǎng)所得的值相等設(shè)直線方程為：聯(lián)立：解得：不妨取，同理取則

8、，綜上 可知：（12分）11已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是有一個(gè)角為的等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）斜率為2的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得成立，并求的值【解答】解：（）由已知，則橢圓的方程為，聯(lián)立方程組得方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo) （4分）（）由已知可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得所以點(diǎn)坐標(biāo)為， （6分）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，由方程組可得方程的判別式為，由，解得由得（8分）所以，同理，所以，（10分）故，存在常數(shù)，使得成立（12分）12已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端

9、點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)證明：存在常數(shù)，使得，并求的值【解答】解：（）依題意可知，可設(shè)橢圓方程為，即，代入，整理得，由，得，故橢圓的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為（）設(shè)直線，設(shè)，由，得，故由，得，則，同理，故存在常數(shù)，使得13已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，（）當(dāng)，時(shí)，求的面積；（）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解答】解：（）方法一、時(shí)，橢圓的方程為，直線的方程為，代入橢圓方程，整理可得，解得或，則，由，可得，由，可得，整理可得，由無(wú)實(shí)根，可得，即有的面積為；

10、方法二、由，可得，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由可得直線的斜率為1，直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，則的面積為；（）直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，即有，由，可得，整理得，由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，即有，即有，可得，即的取值范圍是，14如圖，設(shè)橢圓，動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限（）已知直線的斜率為，用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（）若過(guò)原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為【解答】解：（）設(shè)直線的方程為，由，消去得由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，故，故，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，（）由于直線過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直，故直線的方

11、程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得：，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為15過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中，另一條過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不與，重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合過(guò)作軸的垂線分別交直線，于，（1）求點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程；（2）比較線段和線段的長(zhǎng)度關(guān)系并給出證明【解答】解：（1）由題意可得直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，由可求，（2）線段和線段的長(zhǎng)度為證明：當(dāng)與軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)與，兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)，的方程為由，消去，整理得則，由已知，則直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)把代入得由已知，則直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)把代入得，將代入到中，即，

12、即16已知，當(dāng)，分別在軸，軸上滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡記為（1）求曲線的方程：（2）設(shè)斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，求【解答】解：（1）設(shè)，由得由，得，從而，曲線的方程為；（2），設(shè)，將代入到的方程并整理，可得，所以和的中點(diǎn)重合，聯(lián)立可得，故17已知橢圓，點(diǎn)（）求橢圓的短軸長(zhǎng)和離心率；（）過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，判斷與的大小，并證明你的結(jié)論【解答】解：（）橢圓，化為：，故，有，（3分）橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為（5分）（）結(jié)論是：（6分）設(shè)直線，若不存在，直線化為，此時(shí)，滿(mǎn)足：，整理得：（8分）故，（10分）（11分）（12分）故，即點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，故（13分）18已知橢圓，它的上，下頂點(diǎn)分別為，左，右焦點(diǎn)分別為，若四邊形為正方形，且面積為2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，它們與橢圓分別交于點(diǎn)，且四邊形是菱形求證：直線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；求出該菱形周長(zhǎng)的最大值【解答】（1）解：由題意可知，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)的方程為，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，由，得，；同理，四邊形是菱形，又，可得直線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，四邊形是菱形，即，化簡(jiǎn)