自動控制原理：第15講（第四章 根軌跡基本概念及其繪制）

1、2022/8/21系統(tǒng)穩(wěn)定性與什么有關(guān)系？在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時，求解特征方程根會遇到什么困難？2022/8/22系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的閉環(huán)特征根唯一確定，在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中，通常需要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)特征根的影響。 用解析法求解高次代數(shù)方程的根并非易事。 當(dāng)系統(tǒng)中的參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)特征方程的系數(shù)會發(fā)生變化，引起特征方程的根也隨之變化，這就需要進行反復(fù)大量的計算，既繁瑣又費時。困難：第15講 根軌跡基本概念及其繪制當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，如何才能方便地知道特征根發(fā)生的變化呢？ 不同研究內(nèi)容所需的傳遞函數(shù)：B(s)E(s)動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定性拉氏反變換求c(t) 動態(tài)性能：用 和這

2、時，不但同開環(huán)傳遞函數(shù)直接相關(guān)，而且也與開環(huán)傳遞函數(shù)中的前向通路傳遞函數(shù)相關(guān)。通過開環(huán)傳函來研究閉環(huán)傳函。動態(tài)性能主要取決于閉環(huán)極點。 穩(wěn)定性：用 分析(求解特征根或用勞斯判據(jù))， 只同開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)；實質(zhì)上是研究閉環(huán)極點在s平面上的分布。 穩(wěn)態(tài)性能：用 (根據(jù)定義式求出e(t)，也是只與開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)；實質(zhì)上是研究系統(tǒng)的型和開環(huán)增益。物理元件典型環(huán)節(jié)開環(huán)結(jié)構(gòu)閉環(huán)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 開環(huán)結(jié)構(gòu)中的典型環(huán)節(jié)直接對應(yīng)著開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(很容易獲得)； 各個典型環(huán)節(jié)中的參數(shù)可以直接反映系統(tǒng)的物理參數(shù)，這一點對分析系統(tǒng)和改造系統(tǒng)非常有利； 由G(s)H(s)可以直接求取穩(wěn)態(tài)誤差； 同各種傳遞函數(shù)（

3、如閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)）有簡單的關(guān)系。 開環(huán)傳遞函數(shù)的特點開環(huán)傳遞函數(shù)(開環(huán)零極點+開環(huán)增益)閉環(huán)零極點全部可能的分布圖分析系統(tǒng)的三大類性能2022/8/29 一、根軌跡的基本概念及其繪制二、廣義根軌跡、系統(tǒng)性能分析三、建模實例第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法2022/8/210系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡上K開環(huán)傳遞函數(shù)相角條件幅值條件根軌跡靜態(tài)速度誤差系數(shù)I型系統(tǒng)規(guī)則穩(wěn)定性、穩(wěn)定域估算系統(tǒng)性能指標(biāo)主導(dǎo)極點常規(guī)、廣義繪制軌跡性能分析本講主要內(nèi)容1、根軌跡基本概念；2、根軌跡方程；3、根軌跡的繪制法則。一、根軌跡的基本概念及其繪制已知一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)1、根軌跡基本概念如果要觀察特征根隨可變參

4、數(shù)K的變化情況，逐一計算這兩個根的所有值是比較麻煩。能否在S平面上畫出這兩個根隨K的變化軌跡呢? 閉環(huán)傳函：特征方程：特征根： 當(dāng)1/2K時，s1和s2為一對共軛復(fù)根，其實部恒等于-1，虛部絕對值隨K*值的增加而增加； 當(dāng)K時，s1和s2的實部都等于-1，虛部趨向無窮遠處 。 當(dāng)K=0時， s1=0，s2=-2（正好是開環(huán)極點）;設(shè)K的變化范圍是0,）： 當(dāng)0Km時，有(nm)條根軌跡分支終止于無限遠零點 沿著漸近線趨于無限遠處； 漸近線也對稱于實軸（包括與實軸重合的漸近線）； 漸近線與正實軸的夾角 漸近線與實軸交點的坐標(biāo)值：（k=0，1，2，）（3）根軌跡漸近線 漸近線就是s值很大時的根軌跡

5、證明式子左邊做長除長除 K*時，s，取前兩項改寫為模和相角的形式兩邊開(nm)次方由于s，二項式定理展開，忽略分母為s的二次冪和二次冪以上各項整理漸近線與實軸的交點漸近線與實軸的夾角2）根軌跡在s時的漸近線為（nm）條與實軸交點為a 、傾角a為的一組射線。說明（k=0，1，2，n-m-1）復(fù)數(shù) 極坐標(biāo)示例1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，確定根軌跡的漸近線。四個開環(huán)極點：一個開環(huán)零點:n-m=4-1=3漸近線與實軸交點：漸近線與實軸正方向的夾角：漸近線說明(3) 漸近線把復(fù)平面（360度）分解為n-m等份；(1) 漸近線共用實軸上某一點為起點的射線；(2) 與實軸對稱；(6) 如果nm，只要把n-m

6、，改為m-n即可；(4) 奇數(shù)條漸近線必然有一條落在實軸上；(5) 偶數(shù)條漸近線，或者實軸上沒有，或者必然有兩條在 正實軸上一條，負實軸上一條；(7) 僅當(dāng)s足夠大時，根軌跡才向漸近線逐漸逼近，K，根軌跡才與漸近線重合。實軸上某一區(qū)段的右邊的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，該區(qū)段實軸必是根軌跡。開環(huán)零點：z1開環(huán)極點：p1、p2、p3、p4、p5在實軸區(qū)段p2，p3上取試驗點s1每對共軛復(fù)數(shù)極點、零點所提供的幅角之和為360s1左邊位于實軸上的每個極點或零點提供的幅角為0s1右邊位于實軸上的每個極點或零點提供的幅角為180等效條件是為奇數(shù),所以s1位于根軌跡的（4）實軸上的根軌跡附加 例題

7、4 已知開環(huán)傳遞函數(shù)，確定實軸上的根軌跡。-1，-2 右側(cè)實零、極點數(shù)=3。-4，-6 右側(cè)實零、極點數(shù)=7。0，0 右側(cè)實零、極點數(shù)=1,(圖上無法表示)。分離點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。 分離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根（實軸上的分離點）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點）。會合點和會合角分離點、會合點、重根點三者等價 定義分離點和分離角分離角：離開重根點的軌跡在重根處的切線與實軸正方向之夾角。 會合角：進入重根點的軌跡在重根處的切線與實軸正方向之夾角。（5）根軌跡上的分離點和分離角 規(guī)律： 若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間存在根軌跡，之間必有

8、分離點； 若實軸上相鄰開環(huán)零點（一個可視為無窮遠）之間存在根軌跡，之間必有會合點； 若實軸上開環(huán)零點與極點之間存在根軌跡，則其間可能既有分離點也有會合點，也可能都沒有。d1-1-40-3-2j 分離點的求取 重根法 特征方程：A(s)=0 具有重根，則：消K*得： 特征方程：s 分離點分離點坐標(biāo)d求解公式： 直接利用公式證明特征方程：開環(huán)傳函：根軌跡在s平面相遇，說明出現(xiàn)重根。設(shè)重根為d，根據(jù)重根條件，有 兩式相除積分后即微分后得s= d示例2：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實軸上的分離點。解：（用重根法）利用分離點公式求得的點并非都是重根點，我們要求的點必須是根軌跡上的點，所以

9、，必須對求得的點做驗證。實軸上容易判斷，不在實軸上的點應(yīng)該還要檢查是否滿足相角條件。判斷：開環(huán)極點有三個 在實軸上 為根軌跡 ，則 s1滿足，為分離點。-2-10-0.423 分離角和會合角的求取設(shè)：d是r條根軌跡的交點，則分離角把平面等分成r份；會合角也把平面等分成r份。分離角和會合角滿足等分原則。設(shè)：分離角用d表示，會合角用d表示。則：或分離角和會合角共同作用把平面等分為360/(2r)定理：若系統(tǒng)有2個開環(huán)極點，1個有限的開環(huán)零點，只要有限零點沒有位于兩個極點之間，且在復(fù)平面存在根軌跡， 則復(fù)平面的根軌跡一定是以該零點為圓心的圓弧。 隨著K* ，根軌跡可能由s左半平面右半平面，系統(tǒng)會從穩(wěn)

10、定不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。勞斯判據(jù)：會出現(xiàn)全零的行（純虛根），代入輔助方程，此處的增益臨界根軌跡增益Kgp 。 令s=j代入閉環(huán)特征方程A(s)=0 ，再令求出、交點坐標(biāo)和K*。（6）根軌跡與虛軸的交點 求解方法（兩種方法）：（7）根軌跡的起始角與終止角 某開環(huán)極點 某開環(huán)零點的起始角從Pa處起始的根軌跡在Pa處的切線與實軸正方向之夾角，起始角又稱出射角，記為：的起始角從za處終止的根軌跡在za處的切線與實軸正方向之夾角，終止角又稱入射角，記為： 相角條件（8）根之和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開環(huán)極點之和=閉環(huán)極點之和=常數(shù) 表明，隨著K*，若閉環(huán)一些特

11、征根增大時，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移動時，另一些分支必向左移動，保持左右平衡。 可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。 對于某一K*，若已知（n-1）個閉環(huán)極點，可求最后一個閉環(huán)極點。示例3：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點為 ，試求其相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點，并求交點處的臨界根軌跡增益K*解：開環(huán)極點之和閉環(huán)極點之和-2-10-0.423向左，、關(guān)于實軸對稱，只能向右移動。 寫出m=?，n=? 各個開環(huán)零點、開環(huán)極點是多少?并把它們標(biāo)在圖上; 寫出實軸上存在根軌跡的區(qū)段并把它們標(biāo)在圖上; 當(dāng)n-m2時，求出漸近線的傾角及與實軸的交點，并把它們標(biāo)在

12、圖上; 求重根點; 當(dāng)然并非所有的根軌跡都存在重根點。如能明確肯定其不存在時也一可不求 當(dāng)有復(fù)數(shù)的開環(huán)極點時，應(yīng)計算起始角(出射角); 當(dāng)有復(fù)數(shù)的開環(huán)零點時，應(yīng)計算終止角(入射角)。 當(dāng)根軌跡與虛軸有交點時，求出交點坐標(biāo)和相應(yīng)點的增益值。 概略繪出根軌跡圖。繪制過程中，要注意到根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸 當(dāng)n-m2時，如果有一些根軌跡分支向左， 則必有另一些根軌跡分支向右。解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個極點,終止于無窮遠處。示例4：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。 (2)該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。三條根軌跡連續(xù)且對稱于實軸。 (3)實軸上

13、的根軌跡為實軸上0到-1的線段和由-2至實軸上負無窮遠線段。系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20s*K*K當(dāng)k=0時漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角。當(dāng)k=1時當(dāng)k=2時系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20s+60-60*K*Kd2=-1.58不在實軸的根軌跡上，舍去；實際的分離點應(yīng)為d1=-0.42。(5)分離點：解方程：(6)無復(fù)數(shù)開環(huán)極點和零點，不存在起始角和終止角。系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-201ds+60-60*K*K其中 是開環(huán)極點 對應(yīng)的坐標(biāo)值，它是

14、根軌跡的起點之一。合理的交點應(yīng)為 。 解虛部方程得 (7)根軌跡與虛軸的交點：用s=j代入特征方程并令方程兩邊實部和虛部分別相等：系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-201ds+60-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K*K*K*K*K*系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-201ds+60-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K*K*K*K*K*2022/8/271【本講小結(jié)】當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，利用根軌跡可以方便地知道特征根發(fā)生的變化。已知開環(huán)傳遞函數(shù)，利用8個繪圖規(guī)則，畫出參數(shù)變化時根軌跡圖。當(dāng)開環(huán)增益K從零到無窮大變化，根軌跡全部到s平面的左半面，系統(tǒng)穩(wěn)定，若K從零到無窮大變化，根軌跡越過虛軸進入右半平面，則相應(yīng)K值下的系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，根軌跡可以確定開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數(shù)以及根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定閉環(huán)極點位