中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)29《創(chuàng)新、開放與探究型問題》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)版）（含答案）

1、PAGE 中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【中考展望】所謂開放探索型問題指的是有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問題的多種方法 由于開放探究型問題對(duì)考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問題開放型等【方法點(diǎn)撥】由于開放探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同

2、學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮： 1利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律2反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致3分類討論法當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正

3、確結(jié)果4類比猜想法即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用【典型例題】類型一、探究規(guī)律1觀察下列各式：，想一想，什么樣的兩數(shù)之積等于這兩數(shù)之和？設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律【思路點(diǎn)撥】 所給各式中的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是分?jǐn)?shù)，一個(gè)是整數(shù)，且分?jǐn)?shù)的分子比分母大1，分子與整數(shù)相等，因此得出規(guī)律.【答案與解析】所給各式中的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是分?jǐn)?shù)，一個(gè)是整數(shù)，且分?jǐn)?shù)的分子比分母大1，分子與整數(shù)相等，因此得到規(guī)律：(n為正整數(shù))【總結(jié)升華】這個(gè)規(guī)律是否正確呢？可將等

4、式左右兩邊分別化簡，即能得出結(jié)論對(duì)于“數(shù)字規(guī)律”的觀察，要善于發(fā)現(xiàn)其中的變量與不變量，以及變量與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，將規(guī)律用代數(shù)式表示出來舉一反三：【變式】（2015秋日照期中）如圖，把一條繩子折成3折，用剪刀從中剪斷，如果剪一刀得到4條繩子，如果剪兩刀得到7條繩子，如果剪三刀得到10條繩子，依照這種方法把繩子剪n刀，得到的繩子的條數(shù)為（）AnB4n+5C3n+1D3n+4【答案】C【解析】解：設(shè)段數(shù)為x則依題意得：n=0時(shí)，x=1，n=1，x=4，n=2，x=7，n=3，x=10，所以當(dāng)n=n時(shí)，x=3n+1故選：C類型二、條件開放型2如圖所示，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F(xiàn)是對(duì)角線

5、AC上的點(diǎn) (1)若_，則DECBFA(請(qǐng)你填上能使結(jié)論成立的一個(gè)條件)；(2)證明你的結(jié)論【思路點(diǎn)撥】（1）已知了一邊AD=BC，和一角（ADBC，DAC=BCA）相等根據(jù)全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合這些條件的都可以（2）按照（1）中的條件根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行證明即可【答案與解析】解：(1)AECF；(OEOF；DEAC，BFAC；DEBF等等)(2)以AECF為例 四邊形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，DCEBAF又AECFACAEACCFAFCE，DEGBAF【總結(jié)升華】 這是一道探索條件、補(bǔ)充條件的開放型試題，解決這類問題的一般方法是：從結(jié)論出發(fā)，由果尋因

6、，逆向推理，探尋出使結(jié)論成立的條件；有時(shí)也采取把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個(gè)分析考察舉一反三：【高清課堂：創(chuàng)新、開放與探究型問題 例1】【變式】如圖，飛機(jī)沿水平方向（A，B兩點(diǎn)所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機(jī)飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離（因安全因素，飛機(jī)不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)求距離MN的方案，要求：（1）指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；（2）用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟【答案】解：此題為開放題，答案不唯一，只要方案設(shè)計(jì)合理，可參照給分如圖，測出飛機(jī)在A處對(duì)山頂?shù)母┙菫?，測出飛

7、機(jī)在B處對(duì)山頂?shù)母┙菫?，測出AB的距離為d，連接AM，BM第一步，在中， ；第二步，在中， ；其中，解得 類型三、結(jié)論開放型3已知：如圖(a)，RtABCRtADE，ABCADE90，試以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連接兩條線段，如果你所連接的兩條線段滿足相等、垂直或平行關(guān)系中的一種，那么請(qǐng)你把它寫出來并證明 【思路點(diǎn)撥】此題需分三種情況討論：第一種相等CD=BE，第二種垂直AFBD，第三種是平行DBCE首先利用全等三角形的性質(zhì)，再利用三角形全等的判定定理分別進(jìn)行證明即可【答案與解析】解：可以寫出的結(jié)論有：CDBE，DBCE，AFBD，AFCE等(1)如圖(b)，連接CD，BE，得CDBE證明：A

8、BCADE，ABAD，ACAE又CABEAD，CADE1ABADCABECDBE(2)如圖(c)，連接DB，CE，得DBCE證明：ABCADE，ADABADBABDABCADE，BDFFBD由ACAE可得ACEAECACBAED，F(xiàn)CEFECBDF+FBDFCE+FEC，F(xiàn)CEDBFDBCE (3)如圖(d)，連接DB，AF，得AFBDABCADE，ADAB，ABCADE90又AFAF，ADFABFDAFBAFAFBD(4)如圖(e)，連接CE、AF，得AFCE同(3)得DAFBAF可得CAFEAFAFBD【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；要對(duì)全等三角形的性質(zhì)及三角形全等的判斷定理

9、進(jìn)行熟練掌握、反復(fù)利用，達(dá)到舉一反三舉一反三：【高清課堂：創(chuàng)新、開放與探究型問題 例2】【變式】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長為，P為邊延長線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N.當(dāng)CP=6時(shí)，EM與EN的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，分別于F，G，如圖，則可得：，因?yàn)?，所?可求出和的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值.(1) 請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由. 【

10、答案】（1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)， 則，.，. ，. （2）證明：作交于點(diǎn)，則，.，.，. 類型四、動(dòng)態(tài)探究型4（2016平南縣二模）已知：在AOB與COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；（2）如圖2，將圖1中的COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（090）連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，將圖1中的COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使COD

11、的一邊OD恰好與AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明【思路點(diǎn)撥】（1）AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系為AD=2OM，位置關(guān)系是ADOM；（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，利用中位線定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；由OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到OM與CF平行，利用兩直線平行同位角相等得到BOM=F，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到F=OAD，等量代換得到BOM=OAD，根據(jù)

12、BOM與AOM互余，得到OAD與AOM互余，即可確定出OM與AD垂直，得證；（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化，理由為：如圖3所示，延長DC交AB于E，連結(jié)ME，過點(diǎn)E作ENAD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到四個(gè)角為45度，進(jìn)而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據(jù)EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN，再利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM【答案與解析】解：（1）線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM，位置關(guān)系是ADOM；（2）（

13、1）的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，理由為：證明：如圖2，延長BO到F，使FO=BO，連結(jié)CF，M為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，MO為BCF的中位線，F(xiàn)C=2OM，AOB=AOF=COD=90，AOB+BOD=AOF+AOC，即AOD=FOC，在AOD和FOC中，AODFOC（SAS），F(xiàn)C=AD，AD=2OM，MO為BCF的中位線，MOCF，MOB=F，又AODFOC，DAO=F，MOB+AOM=90，DAO+AOM=90，即ADOM；（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化，理由為：證明：如圖3，延長DC交AB于E，連結(jié)ME，過點(diǎn)E作ENAD于N，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90

14、，A=D=B=BCE=DCO=45，AE=DE，BE=CE，AED=90，DN=AN，AD=2NE，M為BC的中點(diǎn)，EMBC，四邊形ONEM是矩形NE=OM，AD=2OM故答案為：AD=2OM；ADOM【總結(jié)升華】此題考查了幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，是一道多知識(shí)點(diǎn)探究性試題類型五、創(chuàng)新型5認(rèn)真觀察圖3的4個(gè)圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：圖3 圖4（1）請(qǐng)寫出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征特征1：_；特征2：_（2）請(qǐng)?jiān)趫D4中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征【思路點(diǎn)撥】本題主要考查軸對(duì)稱圖形

15、，中心對(duì)稱圖形的知識(shí)點(diǎn)，以及學(xué)生的觀察能力及空間想象能力【答案與解析】（1）特征1：都是軸對(duì)稱圖形；特征2：都是中心對(duì)稱圖形；特征3：這些圖形的面積都等于4個(gè)單位面積等（2）滿足條件的圖形有很多，只要畫正確一個(gè)，就可以得滿分 圖5【總結(jié)升華】本題為開放型試題，答案并不唯一，只要考生能夠?qū)懗鲆环N符合要求的情景即可，該題為考生提供了一個(gè)廣闊的發(fā)揮空間，但是學(xué)生必須通過前四個(gè)圖形發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的規(guī)律，依照此規(guī)律來畫出自己想象中的美妙圖形中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1若自然數(shù)n使得三個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算“n+(n+1)+(n+2)”產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“連加進(jìn)位數(shù)”

16、例如：2不是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?+3+49不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；4是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?+5+615產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；51是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?1+52+63156產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象如果從0，1，2，99這100個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，那么取到“連加進(jìn)位數(shù)”的概率是()A0.88 B0.89 C0.90 D0.912如圖，點(diǎn)A，B，P在O上，且APB50，若點(diǎn)M是O上的動(dòng)點(diǎn)，要使ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)M有( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3（2016秋永定區(qū)期中）下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第個(gè)圖形有1顆棋子，第個(gè)圖形一共有6顆棋子，第個(gè)圖形一共有16顆棋子，則第

17、個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）A226 B181 C141 D106二、填空題4（2015秋淮安校級(jí)期中）電子跳蚤游戲盤為ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊上的P0點(diǎn)，BP0=4第一步跳蚤跳到AC邊上P1點(diǎn)，且CP1=CP0；第二步跳蚤從P1跳到AB邊上P2點(diǎn)，且AP2=AP1；第三步跳蚤從P2 跳回到BC邊上P3點(diǎn)，且BP3=BP2；跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2015次落點(diǎn)為P2016，則P3與P2016之間的距離為 5下圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A，B，C，D，請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向(如ABCDCBABC的方式)從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，當(dāng)數(shù)到

18、12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是_；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是_；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是_(用含n的代數(shù)式表示)6. (1)如圖(a)，ABCDCB，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：_，使ABCDCB(2)如圖(b)，12，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：_，使ABCADE三、解答題7如圖所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與B，C兩點(diǎn)重合)，EFBD交AC于點(diǎn)F，EGAC交BD于點(diǎn)G(1)求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；(2)請(qǐng)你將上述題目的條件“梯形ABCD中，ADBC，ABDC”改為另一種四邊形，其他條件不變，

19、使得結(jié)論“四邊形EFOG的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證，不必證明8如圖所示，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩條直線，直線的解析式為如果將坐標(biāo)紙折疊，使直線與重合，此時(shí)點(diǎn)(-2，0)與點(diǎn)(0，2)也重合(1)求直線的解析式；(2)設(shè)直線與相交于點(diǎn)M問：是否存在這樣的直線，使得如果將坐標(biāo)紙沿直線折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由9（2015黃陂區(qū)校級(jí)模擬）正方形ABCD中，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，一條直角邊與邊BC交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點(diǎn)F（1）如圖，求證：AE=AF；（2）如

20、圖，此直角三角板有一個(gè)角是45，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點(diǎn)G是否一定是邊CD的中點(diǎn)？請(qǐng)說明你的理由10. （2016天門）如圖，半圓O的直徑AB=6，AM和BN是它的兩條切線，CP與半圓O相切于點(diǎn)P，并于AM，BN分別相交于C，D兩點(diǎn)（1）請(qǐng)直接寫出COD的度數(shù)；（2）求ACBD的值；（3）如圖，連接OP并延長交AM于點(diǎn)Q，連接DQ，試判斷PQD能否與ACO相似？若能相似，請(qǐng)求AC：BD的值；若不能相似，請(qǐng)說明理由【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A；【解析】不是“連加進(jìn)位數(shù)”的有“0，1，2

21、，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12個(gè)P(取到“連加進(jìn)位數(shù)”)2.【答案】D；【解析】如圖，過圓點(diǎn)O作AB的垂線交和于M1，M2以B為圓心AB為半徑作弧交圓O于M3以A為圓心，AB為半徑弧作弧交圓O于M4則M1，M2，M3，M4都滿足要求3.【答案】C；【解析】設(shè)第n個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為an（n為正整數(shù)），觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，an=1+3+5+（2n1）+（2n2）+n=n2+=n2n+1，當(dāng)n=8時(shí)，a8=828+1=141二、填空題4.【答案】1【解析】BC=10，BP0=4，知CP0=6，CP1=6A

22、C=9，AP2=AP1=3AB=8，BP3=BP2=5CP4=CP3=5，AP4=4AP5=AP4=4，BP5=4BP6=BP5=4此時(shí)P6與P0重合，即經(jīng)過6次跳，電子跳蚤回到起跳點(diǎn)20166=336，即P2016與P0重合，P3與P2016之間的距離為P3P0=1故答案為：15.【答案】B； 603； 6n+3【解析】由題意知ABCDCBABCDCBAB，每隔6個(gè)數(shù)重復(fù)一次“ABCDCB”，所以，當(dāng)數(shù)到12時(shí)對(duì)應(yīng)的字母是B；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是2013603；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是(2n+1)36n+36.【答案】答案不唯一(1)如圖(

23、a)中AD，或ABDC；(2)圖(b)中DB，或等 三、解答題7.【答案與解析】 (1)證明：四邊形ABCD是梯形，ADBC，ABCD，ABCDCB又BCCB，ABDC，ABCDCB12又 GEAC，2313EGBGEGOC，EFOB，四邊形EGOF是平行四邊形EGOF，EFOG四邊形EGOF的周長2(OG+GE)2(OG+GB)2OB (2)方法1：如圖乙，已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與B，C兩點(diǎn)重合)，EFBD，交AC于點(diǎn)F，EGAC交BD于點(diǎn)G求證：四邊形EFOG的周長等于2OB圖略方法2：如圖丙，已知正方形ABCD中，其余略8. 【答案與解

24、析】 解：(1)直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)由題意，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)又直線與直線的交點(diǎn)為(-3，3)，直線過點(diǎn)(-1，0)和(3，3)設(shè)直線的解析式為ykx+b則有 解得所求直線的解析式為(2)直線與直線互相垂直，且點(diǎn)M(-3，3)在直線上，如果將坐標(biāo)紙沿直線折疊，要使點(diǎn)M落在x軸上，那么點(diǎn)M必須與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，此時(shí)直線過線段OM的中點(diǎn)將，代入yx+t，解得t3直線l的解析式為yx+39【答案與解析】解：（1）如圖，四邊形ABCD是正方形，B=BAD=ADC=C=90，AB=ADEAF=90，EAF=BAD，EAFEAD=BADEAD，BAE=DAF在ABE和ADF中，ABEADF（ASA）AE=AF；（2）如圖，連接AG，MAN=90，M=45，N=M=