分形和分形維數(shù)及其在多孔介質(zhì)研究中的應(yīng)用

1、分形和分形維數(shù)及其在多孔介質(zhì)研究中的應(yīng)用華北科技學(xué)院常浩宇1分形、分形幾何學(xué)和分形維數(shù)分形分形是指自然界中的一些形體，它們 具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情 況下，甚至具有無窮層次，也就是說適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小事物的幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變。一些經(jīng)典的分形如：一、三分康托集1883年，德國數(shù)學(xué)家 康托(G.Cantor)提出了如今廣為人知的三分康托集，或稱 康托爾集。三分康托集是很容易構(gòu)造的，然而，它卻顯示出許多最典型的分形特 征。它是從單位區(qū)間出發(fā)，再由這個 區(qū)間不斷地去掉部分子區(qū)間的過程三分康托集的構(gòu)造過程構(gòu)造出來的(如右圖)。其詳細(xì)構(gòu)造過程是：第一步，把 閉區(qū)間0，1平均分 為三段，去掉

2、中間的1/3部分段，則只剩下兩個閉區(qū)間0，1/3和2/3，1。 第二步，再將剩下的兩個閉區(qū)間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區(qū)間段，這時剩下四段閉區(qū)間：0，1/9，2/9，1/3，2/3，7/9和8/9，1。第三步， 重復(fù)刪除每個小區(qū)間中間的1/3段。如此不斷的分割下去，最后剩下的各個小區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集?！癒och曲線”幾何圖形它和三分康托集一樣，是一個典型的 曲線也有很多種，比如三次Koch曲 曲線為例，介紹Koch曲線的構(gòu)造方二、Koch曲線。Koch曲線大于日二維。KochKoch1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯赫構(gòu)造了 一維，具有無限的長度，但是又小于 分形。根據(jù)分形的次數(shù)不同，生成的

3、 線，四次Koch曲線等。下面以三次 法，其它的可依此類推。Koch曲線的生成過程三次Koch曲線的構(gòu)造過程主要分為三大步驟：第一步，給定一個初始圖形 一條線段；第二步，將這條線段中間的1/3處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的1/3處向外折起。這樣無限的進(jìn)行下去， 最終即可構(gòu)造出Koch曲線。其圖例構(gòu)造過程如右圖所示（迭代了 5次的圖形）。自然界中如生長得枝枝岔岔的樹木，高低不平的山脈，彎彎曲曲的河流與海 岸線。棉絮團(tuán)狀的云煙和冬天里美麗的雪花等都可以看成是分形結(jié)構(gòu)。分形幾何學(xué)研究分形的幾何學(xué)稱為分形幾何學(xué)。分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。相對于傳統(tǒng)

4、幾何學(xué)的研究對象為整數(shù)維數(shù)，如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體乃 至四維的時空。分形幾何學(xué)的研究對象為分?jǐn)?shù)維數(shù)，如0.63、1.58、2.72。因為它的研究對象普遍存在于自然界中，因此分形幾何學(xué)又被稱為“大自然的幾何學(xué)”。分形維數(shù)fractal dimension主要描述分形最主要的參量。簡稱分維。通常歐幾里德 幾何中，直線或曲線是1維的，平面或球面是2維的，具有長、寬、高的形體是 3維的；然而對于分形如海岸線、科赫曲線、射爾賓斯基海綿等的復(fù)雜性無法用 維數(shù)等于1、2、3這樣的數(shù)值來描述。科赫曲線第一次變換將1英尺的每邊換成3個各長4英寸的線段，總長度變?yōu)? X4X4/3=16英寸；

5、每一次變換使總長 度變?yōu)槌艘?/3，如此無限延續(xù)下去，曲線本身將是無限長的。這是一條連續(xù)的 回線，永遠(yuǎn)不會自我相交，回線所圍的面積是有限的，它小于一個外接圓的面積。 因此科赫曲線以它無限長度擠在有限的面積之內(nèi)，確實是占有空間的，它比1維要多，但不及2維圖形，也就是說它的維數(shù)在1和2之間，維數(shù)是分?jǐn)?shù)。同樣， 謝爾賓斯基海綿內(nèi)部全是大大小小的空洞，表面積是無限大，而占有的3維空間是有限的，其維數(shù)在2和3之間。維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨(dú) 立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維， 而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點是零

6、維的，還可以引入高維 空間，對于更抽象或更復(fù)雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應(yīng)， 也容易 確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等 理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。維數(shù)和測量有著密切的關(guān)系，下面我們舉例說明一下分維的概念。當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為 直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是0,因為直線中 不包含平面。那么，用怎樣的

7、尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同 維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。對于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個與“寇赫島”曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有 限值，而這個維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是小數(shù)了，所以存在分維。經(jīng) 過計算“寇赫島”曲線的維數(shù)是1.2618,2多孔介質(zhì)多孔介質(zhì)是指由固體骨架（sofidmalrix） 和相互連通的孔隙、裂縫或各種類型的毛細(xì)管所組成的材料。多孔介質(zhì)廣泛存在于自然界、工程材料和生物體內(nèi)

8、，常見的多孔介質(zhì)有土壤、孔隙或裂隙巖石、陶瓷、纖維聚合物、過濾紙、砂過濾器、 金屬泡沫以及動物的臟器等。這些物體都具有若干可以把它們歸結(jié)為多孔介質(zhì)的 共同特征，即:i）孔隙中含有一相或多相物質(zhì)（液相或氣相物質(zhì)等）;ii）多孔介質(zhì) 的每一單位體積內(nèi)均有作為骨架的固體相物質(zhì)，且具有較高的比表面積，多孔介 質(zhì)中的孔隙較小;ili）構(gòu)成孔隙空間的某些孔洞應(yīng)當(dāng)是互相連通的，液體能在連 通的孔隙中流動。3分形與多孔介質(zhì)研究多孔分形介質(zhì)的意義流體在多孔介質(zhì)中的流動阻力的研究對石油開采，改良土壤的滲透率和研究農(nóng)作物生長，以及航空材料的設(shè)計等都不可缺少的重要的參數(shù)。但在實際工程設(shè)計和理論計算時，為求解連續(xù)性方程

9、、動量方程和能量方程，常把多孔介質(zhì)看作 為連續(xù)介質(zhì)，忽略了多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)。方程中的物性參數(shù)的選用，往往采用經(jīng) 驗公式，如厄根方程，這勢必造成誤差。因為即便在相同的孔隙率下，各種多孔 介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)不同，因而造成物性參數(shù)的很大差異。 所以，對于多孔介質(zhì)內(nèi)流動 阻力的研究，不僅有其應(yīng)用價值，而且有著重要的理論價值。由于多孔介質(zhì)的結(jié) 構(gòu)非常復(fù)雜，例如孔隙的界面和大小各異，迄今尚未有有效的方法將其精確地表 示。所以幾十年來人們主要用實驗直接測量和數(shù)值模擬計算來近似確定多孔介質(zhì) 的滲透率，然而，上面的方法有其不足，例如所得結(jié)果往往綜合成經(jīng)驗關(guān)系式， 但這些經(jīng)驗關(guān)系式常包含有一個或多個沒有明確物理意義的常數(shù)，如25/12 ,3.5等等。而實驗測量常常是既花時間，又花經(jīng)費(fèi)。所以，研究和開發(fā)理論模型就成 為具有挑戰(zhàn)性的課題。分形理論在多孔介質(zhì)研究中的意義流體在隨機(jī)/天然多孔介質(zhì)中流動時，流線通常是彎曲的，且具有分形特征， 已有大量文獻(xiàn)報道說，多孔介質(zhì)具有分形特征，所以分形理論與方法有可能被用 來分析多孔介質(zhì)輸運(yùn)性質(zhì)，華中科技大學(xué)的郁伯銘教授較全面地論述了多孔介質(zhì) 輸運(yùn)性質(zhì)的分形分析