人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)14《等邊三角形》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)(含答案)

1、PAGE 等邊三角形（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定.2. 掌握含30角的直角三角形的一個(gè)主要性質(zhì)3. 熟練運(yùn)用等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：389303 等邊三角形，知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形要點(diǎn)二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60.要點(diǎn)三、等邊三角形的判定等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三

2、角形；（3）有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形要點(diǎn)四、含30的直角三角形含30的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 要點(diǎn)詮釋：這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類型一、等邊三角形1、（秋崇州市期末）如圖，已知ABC為等邊三角形，D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE平分ACD，CE=BD，求證：ADE為等邊三角形【思路點(diǎn)撥】由條件可以容易證明ABDACE，進(jìn)一步得出AD=AE，BAD=CAE，加上DAE=60，即可證明ADE為等邊三角形

3、【答案與解析】證明：ABC為等邊三角形，B=ACB=60，AB=AC，即ACD=120，CE平分ACD，1=2=60，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，又BAC=60，DAE=60，ADE為等邊三角形【總結(jié)升華】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵找出判定三角形等邊的條件舉一反三：【變式】等邊ABC，P為BC上一點(diǎn)，含30、60的直角三角板60角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如圖，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PEAB時(shí)，判斷EPF的形狀.【答案】解： PEAB，B60，因此直角三角形PEB中，BEBPBCPC，BPE30，EPF60，F(xiàn)PBC

4、，BC60，BEPC，PEBFPC90，BEPCPF，PEPF，EPF60，EPF是等邊三角形2、已知：如圖，ABC中，ABAC，ABC60，ADCE，求BPD的度數(shù).【答案與解析】證明：在中，ABAC，ABC60為等邊三角形（有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形） ACBC，AECB60在和中（SAS）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）DPB60.【總結(jié)升華】這道題利用等邊三角形每個(gè)角都是60的性質(zhì)，并借助全等三角形，和三角形的外角性質(zhì)使問題得以解決.舉一反三：【變式】（秋黔西南州期末）ABC為正三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)

5、，且BM=CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，AQN等于多少度？【答案】解：證法一ABC為正三角形ABC=C=BAC=60，AB=BC在AMB和BNC中，AMBBNC（SAS），ANB=C+NBC=60+NBC，MAN=BACMAB=60MAB，又NBC=MAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），ANB+MAN=120，又ANQ+MAN+AQN=180，AQN=180ANBMAN，AQN=180（ANB+MAN），=180120=60，BOM=AQN=60（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）證法二ABC為正三角形ABC=C=BAC=60，AB=BC在AMB和BNC中AMBBNC（SAS）ANB=C+NBC=60+NBCMA

6、N=BACMAB又NBC=MAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ANB+MAN=120又ANQ+MAN+AQN=180AQN=180ANBMABAQN=180（ANB+MAN）=180120=603、（1）如圖，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC，求AEB的大?。唬?）如圖，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小【思路點(diǎn)撥】（1）由于OCD和OAB都是等邊三角形，可得ODOCOBOA，進(jìn)而求出BDA與CAD的大小及關(guān)系，則可求解AEB（2

7、）旋轉(zhuǎn)后，BOD與AOC仍然保持全等，ACOBDO，AEDACODCOCDBBDO60CDB60CDO120，從而得到AEB的值.【答案與解析】證明：（1）O是AD的中點(diǎn)，AODO又等邊AOB和等邊CODAODOCOBO，DOCBOCAOB60CAOACOBDODBO30AEBBDO CAO 60（2）BODDOCBOC，AOCAOBBOC BODAOC 在BOD與AOC中， BODAOC（SAS） ACOBDOAEDACODCOCDBBDO60CDB60CDO6060120 AEB180AED60.【總結(jié)升華】這道題利用等邊三角形每個(gè)角都是60的性質(zhì)，并借助全等三角形，和三角形的外角性質(zhì)使問

8、題加以解決.舉一反三：【變式】如圖，已知ABC和CDE都是等邊三角形，AD、BE交于點(diǎn)F，求AFB 的度數(shù).【答案】解：ABC和CDE都是等邊三角形，ACBC，CECD，又ACBBCDECDBCD，即ACDBCE，ACDBCE，CADCBE，設(shè)AD與BC相交于P點(diǎn)，在ACP和BFP中，有一對(duì)對(duì)頂角，AFBACB60類型二、含30的直角三角形4、（2016春龍口市期末）如圖，E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOB，EDOA，C、D是垂足，連接CD交OE于點(diǎn)F，若AOB=60 （1）求證：OCD是等邊三角形； （2）若EF=5，求線段OE的長(zhǎng).【答案與解析】解：（1）點(diǎn)E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECO

9、B，EDOA，C、D是垂足， DE=CE，在RtODE和RtOCE中， RtODERtOCE（LH）OD=OC，AOB=60，OCD是等邊三角形； （2）OCD是等邊三角形，OF是角平分線，OEDC，AOB=60，AOE=BOE=30，ODF=60，EDOA，EDF=30，DE=2EF=10，OE=2DE=20.【總結(jié)升華】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵。舉一反三：【高清課堂：389303 等邊三角形：例5】【變式】如圖, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂線交BC的延長(zhǎng)線于D，交

10、AC于E, 已知DE2.則 AC的長(zhǎng)為_.【答案】3；提示：連接AD，證ABD為等邊三角形，則DEAE2，CE1，所以AC3.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1 （2016陜西一模）已知：如圖，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，ADBC，E為AD上一點(diǎn)，ABC=60，ECD=40，則ABE=（） A10 B15 C20 D252以下敘述中不正確的是( )A等邊三角形的每條高線都是角平分線和中線； B有一個(gè)內(nèi)角為60的等腰三角形是等邊三角形；C等腰三角形一定是銳角三角形； D在一個(gè)三角形中，如果有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角也相等；反之，在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等3.（秋荔灣區(qū)期末

11、）如圖，若ABC是等邊三角形，AB=6，BD是ABC的平分線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，則BE=（ ）A7B8C9D104. ABC中三邊為、，滿足關(guān)系式 （）（）（）0，則這個(gè)三角形一定為 （ ）A等邊三角形B等腰三角形C等腰鈍角三角形D等腰直角三角形5. 等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A.105 B.120 C.135 D.1506. 如圖，等邊三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，BE平分ABC交AD 于E，若CDE的面積等于1，則ABC的面積等于（ ）A2 B4 C6 D12二.填空題7. （2016黔南州）如圖，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分線ED交AB于點(diǎn)E

12、，交BC于點(diǎn)D，若CD=3，則BD的長(zhǎng)為 8如圖，ABC為等邊三角形，DCAB，ADCD于D若ABC的周長(zhǎng)為12，則CD _ 9. 下列命題是真命題的是_.有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三角形 有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形 有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形 三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形10.ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，則DEF為_三角形. 11如圖所示，ABC為等邊三角形，AQPQ，PRPS，PRAB于R，PSAC于S，則四個(gè)結(jié)論正確的是 P在A的平分線上； ASAR；QPAR；BRPQSP. 12.如

13、圖，是等邊三角形，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)， 于點(diǎn)若，則_ 三.解答題13. 已知：如圖，ABD為等邊三角形，ACB為等腰三角形且ACB90，DEAC交AC延長(zhǎng)線于E，求證：DECE.14.（秋大英縣校級(jí)期末）已知：等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC的三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，ABC的高為h（1）如圖1，若點(diǎn)P在邊BC上，證明：h1+h2=h（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)時(shí)，猜想h1、h2、h3和h有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時(shí)，h1、h2、h3和h有什么關(guān)系？（不需要證明）15. 如圖，直角ACB中，ABC90，BAC30，而ACD和ABE都是

14、等邊三角形，AC，DE交于F.求證：FDFE且CF3AF.【答案與解析】選擇題1. 【答案】C； 【解析】D為BC的中點(diǎn)，ADBC，EB=EC，AB=AC；EBD=ECD，ABC=ACD又ABC=60，ECD=40，ABE=60400=200.2. 【答案】C；【解析】等腰三角形頂角還可能是直角或鈍角.3. 【答案】C；【解析】證明：ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60，BD是ABC的平分線，AD=CD=AC，DBC=ABC=30，CE=CD，CE=AC=3BE=BC+CE=6+3=9故選C4. 【答案】B；【解析】由題意或或，這個(gè)三角形一定是等腰三角形.5. 【答案】B；【解析】等邊AB

15、C的兩條高線相交于O，OABOBA30，故AOB120.6. 【答案】C；【解析】AE2DE，ABC的面積是CDE面積的6倍.二.填空題7. 【答案】6； 【解析】 DE是AB的垂直平分線，AD=BD，DAE=B=30，ADC=60，CAD=30，AD為BAC的角平分線，C=90，DEAB，DE=CD=3，B=30，BD=2DE=6.8. 【答案】2； 【解析】在直角三角形中，30的直角邊等于斜邊的一半.9. 【答案】【解析】一般等腰三角形的兩個(gè)底角的外角都相等；等腰三角形底邊上的高就是底邊的中線.10.【答案】等邊；【解析】利用SAS可以判定EAFFBDDCE，從而可得，EF=FD=DE，即

16、DEF為等邊三角形.11.【答案】；12.【答案】2； 【解析】BEBD；CFDC，（BDDC）2.三.解答題13.【解析】證明：連接DC，ABD為等邊三角形，DABDBA60又ACB為等腰三角形且ACB90，CABCBA45，BDCADC30CBD15，DCB1803015135又ACBC，DCE45DEACDEC為等腰直角三角形DECE14.【解析】解：（1）如圖1，連接AP，則 SABC=SABP+SAPCBCAM=ABPD+ACPF即 BCh=ABh1+ACh2又ABC是等邊三角形BC=AB=AC，h=h1+h2（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：如圖2，連接AP、BP、CP，則 SABC=SABP+SBPC+SACPBCAM=ABPD+ACPF+BCPE即BCh=ABh1+ACh2+BCh3又ABC是等邊三角形，BC=AB=AC