高中總復習理科數(shù)學配人教A版(老高考舊教材)配套PPT課件7.4　直接證明與間接證明

1、7.4直接證明與間接證明-2-知識梳理雙基自測211.直接證明 成立 充分 -3-知識梳理雙基自測21-4-知識梳理雙基自測212.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設原命題(即在原命題的條件下,結論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出,因此說明假設錯誤,從而證明的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:反設假設命題的結論不成立;歸謬根據(jù)假設進行推理,直到推出矛盾為止;結論斷言假設不成立,從而肯定原命題的結論成立.不成立 矛盾 原命題成立 2-5-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)綜合法的思

2、維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件.()(2)分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論成立的充要條件.()(3)反證法是指將結論和條件同時否定,推出矛盾.()(4)用反證法證明時,推出的矛盾不能與假設矛盾.()(5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.() -6-知識梳理雙基自測234152.命題“對于任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4 =(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應用了()A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法 答案解析解析關閉 因為證明過程是“從

3、左往右”,即由條件推出結論.故選B. 答案解析關閉B -7-知識梳理雙基自測234153.已知a=lg 2+lg 5,b=ex(xbB.abC.a=bD.ab 答案解析解析關閉當x0時,0ex1,即0bb. 答案解析關閉A -8-知識梳理雙基自測23415 答案解析解析關閉因為“關于x的方程x3+ax+b=0至少有一個實根”等價于“方程x3+ax+b=0的實根的個數(shù)大于或等于1”,所以要做的假設是“方程x3+ax+b=0沒有實根”. 答案解析關閉A4.用反證法證明命題“設a,b為實數(shù),則關于x的方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是()A.方程x3+ax+b=0沒有實根B.方程

4、x3+ax+b=0至多有一個實根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根-9-知識梳理雙基自測234155.用反證法證明“100個球放在90個盒子里,至少有一個盒子里不少于兩個球”應假設. 答案解析解析關閉因為“至少有一個盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所以應填“每個盒子里都少于兩球”. 答案解析關閉每個盒子里都少于兩球-10-考點1考點2考點3考向一數(shù)列中的證明例1設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知3an-2Sn=2.(1)證明an是等比數(shù)列并求出通項公式an;思考哪些問題的證明適合用綜合法?-11-考點1考點2考點3證明:(1)因為3an-

5、2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.所以an是等比數(shù)列.當n=1時,3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以an的通項公式an=23n-1.-12-考點1考點2考點3考向二立體幾何中的證明例2如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1平面ABCD.求證:(1)BDC1C;(2)C1C平面A1BD.思考在用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時還經(jīng)常用到什么數(shù)學方法?-13-考點1考點2考點3證明:(1)連接AC,AA1平面ABCD,AA1BD.四邊形ABCD是菱形,ACBD,又

6、ACAA1=A,BD平面ACC1A1.CC1平面ACC1A1,BDCC1.(2)連接AC和A1C1,設ACBD=E.底面ABCD是菱形,E為菱形ABCD的中心,由棱臺的定義及AB=2A1B1,可得ECA1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1為平行四邊形,CC1A1E.CC1平面A1BD,A1E平面A1BD,CC1平面A1BD.-14-考點1考點2考點3考向三不等式中的證明思考綜合法證明的特點是什么?證明 由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac得a2+b2+c2ab+bc+ca.由題設得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.-15-考點1考點2考

7、點3解題心得1.綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型.2.用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時還經(jīng)常用到轉化法,例如證明線面平行或垂直一般轉化成證明線線平行或垂直.3.用綜合法證明的特點是“由因?qū)Ч?即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結論,直到完成命題的證明.-16-考點1考點2考點3對點訓練1(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=an+1+n-2, nN*,a1=2.證明:數(shù)列an-1是等比數(shù)列,并

8、求數(shù)列an的通項公式;-17-考點1考點2考點3(1)解 因為Sn=an+1+n-2,所以當n2時,Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,兩式相減,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.設cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n2).又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.綜上,對于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列an-1是等比數(shù)列,其首項a1-1=1,公比q=2.-18-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3(2)如

9、圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,AB=AD, BAD=60,E,F分別是AP,AB的中點.求證:直線EF平面PBC;平面DEF平面PAB.-20-考點1考點2考點3(2)證明:在PAB中,因為E,F分別為PA,AB的中點,所以EFPB.又因為EF平面PBC,PB平面PBC,所以直線EF平面PBC.如圖,連接BD.因為AB=AD,BAD=60,所以ABD為正三角形.因為F是AB的中點,所以DFAB.因為平面PAB平面ABCD,DF平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以DF平面PAB.又因為DF平面DEF,所以平面DEF平面PAB.-21-考點1考點2考點3-22-考

10、點1考點2考點3例4已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對邊,思考哪些問題的證明適合用分析法? -23-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3解題心得分析法的適用范圍及證題關鍵:(1)適用范圍:已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接;證明過程中所需要用的知識不太明確、具體;含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導.(2)應用分析法的關鍵是保證分析過程的每一步都是可逆的,它的常用書面表達形式為“要證只需證”或用“”.注意用分析法證明時,一定要嚴格按照格式書寫.-25-考點1考點2考點3(2)已知ab0,求證:2a3-b32ab2-a2b. 證明

11、(1)因為m0,所以1+m0.所以要證原不等式成立,只需證(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)0,即證(a-b)20,而(a-b)20顯然成立,故原不等式得證.-26-考點1考點2考點3(2)要證明2a3-b32ab2-a2b成立,只需證2a3-b3-2ab2+a2b0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0,即(a+b)(a-b)(2a+b)0.ab0,a-b0,a+b0,2a+b0,從而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立,2a3-b32ab2-a2b.-27-考點1考點2考點3例5設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和.(1)求證:數(shù)列S

12、n不是等比數(shù)列.(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么?思考反證法的適用范圍及證題的關鍵是什么?(1)證明 假設數(shù)列Sn是等比數(shù)列,因為a10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,這與公比q0矛盾,所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.-28-考點1考點2考點3(2)解 當q=1時,Sn=na1,故Sn是等差數(shù)列;當q1時,Sn不是等差數(shù)列.假設Sn是等差數(shù)列,則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,這與公比q0矛盾.綜上,當q=1時,數(shù)列Sn是等差數(shù)列;當q1時,Sn不是等差數(shù)列.解題心得反證法的適用范圍及證題的關鍵:(1)適用范圍:當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證.(2)證題