高中總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配人教A版(老高考舊教材)配套PPT課件7.4　直接證明與間接證明

1、7.4直接證明與間接證明-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)211.直接證明 成立 充分 -3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)21-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)212.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.不成立 矛盾 原命題成立 2-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)綜合法的思

2、維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件.()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.()(4)用反證法證明時(shí),推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾.()(5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.() -6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.命題“對(duì)于任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4 =(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應(yīng)用了()A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法 答案解析解析關(guān)閉 因?yàn)樽C明過程是“從

3、左往右”,即由條件推出結(jié)論.故選B. 答案解析關(guān)閉B -7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.已知a=lg 2+lg 5,b=ex(xbB.abC.a=bD.ab 答案解析解析關(guān)閉當(dāng)x0時(shí),0ex1,即0bb. 答案解析關(guān)閉A -8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 答案解析解析關(guān)閉因?yàn)椤瓣P(guān)于x的方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3+ax+b=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”,所以要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根”. 答案解析關(guān)閉A4.用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則關(guān)于x的方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程

4、x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.用反證法證明“100個(gè)球放在90個(gè)盒子里,至少有一個(gè)盒子里不少于兩個(gè)球”應(yīng)假設(shè). 答案解析解析關(guān)閉因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所以應(yīng)填“每個(gè)盒子里都少于兩球”. 答案解析關(guān)閉每個(gè)盒子里都少于兩球-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一數(shù)列中的證明例1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知3an-2Sn=2.(1)證明an是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an;思考哪些問題的證明適合用綜合法?-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:(1)因?yàn)?an-

5、2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.所以an是等比數(shù)列.當(dāng)n=1時(shí),3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以an的通項(xiàng)公式an=23n-1.-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二立體幾何中的證明例2如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1平面ABCD.求證:(1)BDC1C;(2)C1C平面A1BD.思考在用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時(shí)還經(jīng)常用到什么數(shù)學(xué)方法?-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:(1)連接AC,AA1平面ABCD,AA1BD.四邊形ABCD是菱形,ACBD,又

6、ACAA1=A,BD平面ACC1A1.CC1平面ACC1A1,BDCC1.(2)連接AC和A1C1,設(shè)ACBD=E.底面ABCD是菱形,E為菱形ABCD的中心,由棱臺(tái)的定義及AB=2A1B1,可得ECA1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1為平行四邊形,CC1A1E.CC1平面A1BD,A1E平面A1BD,CC1平面A1BD.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三不等式中的證明思考綜合法證明的特點(diǎn)是什么?證明 由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac得a2+b2+c2ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考

7、點(diǎn)3解題心得1.綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.2.用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時(shí)還經(jīng)常用到轉(zhuǎn)化法,例如證明線面平行或垂直一般轉(zhuǎn)化成證明線線平行或垂直.3.用綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an+1+n-2, nN*,a1=2.證明:數(shù)列an-1是等比數(shù)列,并

8、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)解 因?yàn)镾n=an+1+n-2,所以當(dāng)n2時(shí),Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,兩式相減,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.設(shè)cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n2).又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.綜上,對(duì)于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列an-1是等比數(shù)列,其首項(xiàng)a1-1=1,公比q=2.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)如

9、圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,AB=AD, BAD=60,E,F分別是AP,AB的中點(diǎn).求證:直線EF平面PBC;平面DEF平面PAB.-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)證明:在PAB中,因?yàn)镋,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EFPB.又因?yàn)镋F平面PBC,PB平面PBC,所以直線EF平面PBC.如圖,連接BD.因?yàn)锳B=AD,BAD=60,所以ABD為正三角形.因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所以DFAB.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD,DF平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以DF平面PAB.又因?yàn)镈F平面DEF,所以平面DEF平面PAB.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-22-考

10、點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例4已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,思考哪些問題的證明適合用分析法? -23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得分析法的適用范圍及證題關(guān)鍵:(1)適用范圍:已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接;證明過程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體;含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo).(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵是保證分析過程的每一步都是可逆的,它的常用書面表達(dá)形式為“要證只需證”或用“”.注意用分析法證明時(shí),一定要嚴(yán)格按照格式書寫.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)已知ab0,求證:2a3-b32ab2-a2b. 證明

11、(1)因?yàn)閙0,所以1+m0.所以要證原不等式成立,只需證(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)0,即證(a-b)20,而(a-b)20顯然成立,故原不等式得證.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)要證明2a3-b32ab2-a2b成立,只需證2a3-b3-2ab2+a2b0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0,即(a+b)(a-b)(2a+b)0.ab0,a-b0,a+b0,2a+b0,從而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立,2a3-b32ab2-a2b.-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例5設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.(1)求證:數(shù)列S

12、n不是等比數(shù)列.(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么?思考反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵是什么?(1)證明 假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列,因?yàn)閍10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,這與公比q0矛盾,所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)解 當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,故Sn是等差數(shù)列;當(dāng)q1時(shí),Sn不是等差數(shù)列.假設(shè)Sn是等差數(shù)列,則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,這與公比q0矛盾.綜上,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列Sn是等差數(shù)列;當(dāng)q1時(shí),Sn不是等差數(shù)列.解題心得反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵:(1)適用范圍:當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來證.(2)證題