人教版八年級數(shù)學(xué)上冊11《等腰三角形性質(zhì)及判定》知識講解+鞏固練習(xí)(提高版)（含答案）

1、PAGE 等腰三角形性質(zhì)及判定（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直2. 掌握等腰三角形的判定定理3. 熟練運(yùn)用等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角

2、（或直角）.A1802B，BC .【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識要點(diǎn)】要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸要點(diǎn)三、等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也

3、相等（簡稱“等角對等邊”）. 要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數(shù)為( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答(1)頂角為銳角如圖，按題意頂角的度數(shù)

4、為60； (2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0不符合題意； (3)頂角為鈍角如圖，則頂角度數(shù)為120，故此題應(yīng)選D【總結(jié)升華】這是等腰三角形按頂角分類問題，對于等腰三角形按頂角分：等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，故解此題按分類畫出相應(yīng)的圖形再作答.舉一反三：【變式】（2015杭州校級二模）等腰三角形有一個外角是100，這個等腰三角形的底角是 【答案】50或80解：若100的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180100=80，則其底角為：（18080）2=50；若100的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180100=80；故這個等腰三角形的底角為

5、：50或80故答案為：50或80類型二、等腰三角形的操作題2、根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡，在圖中標(biāo)注分割后的角度）；并根據(jù)每種情況分別猜想：A與B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時才能完成以上作圖？（1）如圖ABC中，C90，A24；猜想：（2）如圖ABC中，C84，A24；猜想：【思路點(diǎn)撥】在等腰三角形中，“等邊對等角”與“等角對等邊”，本題應(yīng)從角度入手進(jìn)行考慮.【答案與解析】（1）作圖：猜想：AB90，（2）作圖：猜想：B3A. 【總結(jié)升華】對圖形進(jìn)行分割是近年來出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況以及動手實踐

6、能力，本類題目的答案有時不唯一.舉一反三：【變式】直角三角形紙片ABC中，ACB90，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、F，探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中的B的度數(shù)是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形【答案】解：若CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設(shè)B為度 145，2A90當(dāng)BDBE時 3 ，4590180，30 . 經(jīng)計算EDEB不成立.當(dāng)DEDB時3180245901802180，45.綜上所述，B30或45.類型三、等腰三角形性質(zhì)判定綜合應(yīng)用3、（2015秋東

7、西湖區(qū)期中）如圖，ABC中，C=2A，BD平分ABC交AC于D，求證：AB=CD+BC（用兩種方法）【思路點(diǎn)撥】方法一：先在AB上取BE=BC，根據(jù)SAS證出CBDEBD，得出CD=ED，C=BED，再證明A=ADE，得出AE=DE=CD，最后根據(jù)AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延長BC至F，使CF=CD，得出F=CDF，再利用AAS證出ABDFBD，得出AB=BF，最后根據(jù)BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案【答案與解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，BD平分ABC交AC于D，CBD=EBD，在CBD和EBD中，CBDEBD（SAS），CD=ED，C=BED，C=2A，B

8、ED=2A，BED=A+ADE，A=ADE，AE=DE，AE=CD，AB=BE+AE，AB=CD+BC；方法二：延長BC至F，使CF=CD，則F=CDF，ACB=F+CDF，ACB=2F，ACB=2A，A=F，在ABD和FBD中，ABDFBD（AAS），AB=BF，BF=BC+CF，BF=BC+CD，AB=BC+CD【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)是三角形的外角、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形舉一反三：【變式】如圖，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求證：ACBF【答案】 證明：延長AD至點(diǎn)

9、G，使DGAD，連接BG.ABCDEFG 4、如圖，ACBC，ACB90，A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BEAD于點(diǎn)E.求證：BEAD.【答案與解析】 證明：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)F.12，AEAE，AEBAEF90，AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390F2，BCAC,BCFACD（ASA）BFAD，BEAD.【總結(jié)升華】在幾何解題的過程中，當(dāng)遇到角分線或線段垂線時?？紤]使用翻折變換，可保留原有圖形的性質(zhì)，且使原來分散的條件相對集中，以利于問題的解決舉一反三：【變式】已知，如圖，AD為ABC的內(nèi)角平分線，且ADAB，CMAD于M. 求證：AM(ABAC) 【答案】證明：延長A

10、M至點(diǎn)E，使MEAM，連接CE. 【鞏固練習(xí)】一.選擇題1如圖，在ABC中，若ABAC，BCBD，ADDEEB，則A等于( )A30 B36 C45 D542. 等腰三角形兩邊、滿足0，則此三角形的周長是（ ）A7B5C8D7或53.（2015春宜陽縣期末）如圖，ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，EFBC，EF經(jīng)過點(diǎn)O，若AB=10，AC=15，則AEF的周長是（）A10B15C20D254. （2015秋西城區(qū)期末）如圖，在ABC中，BD平分ABC，與AC交于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，若BC=5，BCD的面積為5，則ED的長為（） A B1 C2 D55如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸

11、上找點(diǎn)P，使得PAB、PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）A1個 B3個 C5個 D無數(shù)多個6. 如圖所示，矩形ABCD中，AB4，BC，點(diǎn)E是折線段A-D-C上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)、在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，使PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有（）A、2個 B、3個 C、4個 D、5個二.填空題7已知一個等腰三角形的頂角為度,則其一腰上的高線與底邊的夾角_度（用含的式子表示）. 8. 已知等腰三角形的兩邊長分別為2和3，則其周長為_.9.（2016春淄博期中）等腰三角形的周長為14，其中一邊長為4，則另外兩邊長為 10. 如圖，在ABC中，高AD、B

12、E交于H點(diǎn)，若BHAC，則ABC_11如圖，鈍角三角形紙片ABC中，BAC110，D為AC邊的中點(diǎn)現(xiàn)將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，折痕與BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)C的落點(diǎn)記為F若點(diǎn)F恰好在BA的延長線上，則ADF _12.（2015黃島區(qū)校級模擬）如圖，已知AB=A1B，在AA1的延長線上依次取A2、A3、A4、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，An1Cn1=An1An，若B=30，則An= 三.解答題13.（秋海陵區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （5，0），試在第一象限內(nèi)網(wǎng)格的格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上找一點(diǎn)B，使其與點(diǎn)O、A構(gòu)成等腰三角形，請寫

13、出圖中所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)14已知，如圖，ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF,試判斷BECF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.15.在中，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與重合），以AD 為一邊在AD 的右側(cè)作，使，連接（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則_；（2）設(shè)， 如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由； 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論 【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】C；【解析】設(shè)A，則由題意ADE1802，EDB，BDCBCD90，因為ADEEDBBDC180，所以45.2. 【答案】A； 【解析】2=0且2311=0，解得1，3，選A；

14、B選項不滿足兩邊之和大于第三邊，構(gòu)不成三角形.3. 【答案】D； 【解析】解：BO平分CBA，EBO=OBC，CO平分ACB，F(xiàn)CO=OCB，EFBC，EOB=OBC，F(xiàn)OC=OCB，EBO=EOB，F(xiàn)OC=FCO，BE=OE，CF=OF，AEF的周長AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，AB=10，AC=15，CAEF=25故選D4. 【答案】C； 【解析】作DFBC交BC的延長線于F，BC=5，BCD的面積為5，得出DF=2，又BD平分ABC，DEAB，DFBC，得DE=DF=2。故選C5. 【答案】C； 【解析】如圖所示：A、B中垂線與的交點(diǎn)為P點(diǎn)；分別以A、B為圓

15、心，AB長為半徑畫弧，與交于4個P點(diǎn)；6. 【答案】C； 【解析】P點(diǎn)在以B為圓心，AB為半徑的圓上，作BC的中垂線（綠色），與B交于兩點(diǎn)為，點(diǎn)，以C為圓心，BC為半徑畫圓，與B交于兩點(diǎn)為，點(diǎn).有4個P點(diǎn)，則能找到4個E點(diǎn). 二.填空題7. 【答案】； 【解析】無論等腰三角形的頂角是銳角還是鈍角，一腰上的高線與底邊的夾角都是.8. 【答案】7或8； 【解析】2或3都可能是腰，要分情況討論.9. 【答案】5，5或6，4； 【解析】當(dāng)4為底邊時，另外兩邊為5，5，因為4+55，所以能構(gòu)成三角形；當(dāng)4是腰長時，另外兩邊為6，4，因為4+46，所以能構(gòu)成三角形；故答案為：5，5或6，410.【答案】4

16、5； 【解析】ADCBDH，ADBD，所以ABC45.11.【答案】40； 【解析】ADFD，F(xiàn)ADAFD70，所以ADF40.12.【答案】； 【解析】解：在ABA1中，B=30，AB=A1B，BA1A=75，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=37.5；C1A3A2=18，75，C2A4A3=9.375，An=，故答案為：三.解答題13.【解析】解：如圖，OA是腰長時，以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)A的長為半徑作圓，交第一象限內(nèi)網(wǎng)格的格點(diǎn)有2個點(diǎn)（紅色的點(diǎn)）分別為：（3，4）、（4，3）、可以作為點(diǎn)B，以A點(diǎn)為圓心，以O(shè)A的長為半徑作圓，交第一象限內(nèi)網(wǎng)格的格點(diǎn)有4個點(diǎn)（藍(lán)色的點(diǎn)）分別為：（5，5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作為點(diǎn)B，OA是底邊時，OA垂直平分線上的點(diǎn)均不在格點(diǎn)上，所以，此時不存在滿足條件的點(diǎn)B所以，滿足條件的B的個數(shù)是2+4=6，分別為：（5，5）、（3，4）