電磁場(chǎng)與電磁波第4章課后答案

1、第四章習(xí)題4-1、電量為500。的點(diǎn)電荷，在磁場(chǎng)E = 1.22(7)中運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4,5)速度為500a + 20007h/5 o求電荷在該點(diǎn)所受的磁場(chǎng)力。解：根據(jù)洛侖茲力公式戶=花 x 萬(wàn)=500 x IO x (500父+ 2000 y) x 21.2 = -y3 xlO-4 + x!2 xlO-4 N= (4x-y)3xl04 N4-2、真空中邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路，電流為I,求回路中心的磁場(chǎng)。解：設(shè)垂直于紙面向下的方向?yàn)閦方向。長(zhǎng)為a的線電流I在平分線上距離為a/2的點(diǎn)上的 磁感應(yīng)強(qiáng)度為B =K1 扁因而，邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路在中心點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為o今4丹/o = 4

2、功=Z j=】2血題4-2圖4.3、真空中邊長(zhǎng)為a的正三角形導(dǎo)線回路，電流為I,求回路中心的磁場(chǎng).解：設(shè)垂直于紙面向下的方向?yàn)閦方向。由例4-1知，長(zhǎng)為a的線電流I在平分線上距離為 b的點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為瓦=2學(xué)萬(wàn)= 27.88x*加44、真空中導(dǎo)線繞成的回路形狀如圖所示，電流為I。求半圓中心處的磁場(chǎng)。題4.4圖 解：設(shè)垂直于紙面向內(nèi)的方向?yàn)閦方向。由例4.2知，半徑為a的半圓中心處的磁場(chǎng)為=Z4。（1）因?yàn)樵谳d流長(zhǎng)直導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上磁場(chǎng)為零，因此B =2%4a（2）由例4-1知，本題半無(wú)限長(zhǎng)的載流長(zhǎng)直導(dǎo)線在距離為a處的磁場(chǎng)為反=2*- 4血因此本題磁場(chǎng)為半圓環(huán)的磁場(chǎng)與兩半無(wú)限長(zhǎng)的直導(dǎo)線的磁場(chǎng)之

3、和月=一2世（勿+2）4瓶z（3）本題磁場(chǎng)為電流方向相反的兩不同半徑的半圓環(huán)的磁場(chǎng)之和，即4 a b45、在真空中將一個(gè)半徑為a的導(dǎo)線圓環(huán)沿直徑對(duì)折，使這兩半圓成一直角。電流為I, 求半圓弧心處的磁場(chǎng)。解：本題磁場(chǎng)為兩相同半徑但平面法線垂直的半圓環(huán)的磁場(chǎng)之和4。、）分別為兩半圓環(huán)平面的法向單位矢。4-6、在氫原子中，電子繞半徑為5.3x10-”?的圓軌道運(yùn)動(dòng)，速度為2200 m/s,求圓 軌道的圓心點(diǎn)的磁場(chǎng)。2200解：分子電流/ = x- = ex = 1.6xl019_ =1.06x10-6 AL 2 血。-“式中。為電子的電量，V為電子運(yùn)動(dòng)速度，匕為圓軌道運(yùn)動(dòng)的周長(zhǎng)。半徑為。，電流強(qiáng)度為

4、 I的圓環(huán)電流在軸線上的磁場(chǎng)為B = 2 2（/+丁產(chǎn)在圓心點(diǎn)的磁場(chǎng)為B = . = 2xl0-7xi = 2xl07 1 06x10 = 1.256 xl02 T2aa5.3 xlO-114-7、對(duì)于以速度T運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷，證明 =其中為此點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：以速度V運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q ,可以看成一電流元Idi = JdV = pvdV = qv電流元的磁場(chǎng)為E _ o Idi x R 一 1” 一 三B（r）=；=/ov x q = /.iQsQv x E 4知 R2 04/ R= 0 04-8、.半徑為a的均勻帶電圓盤上電荷密度為P。,圓盤繞其軸以角速度刃旋轉(zhuǎn)，求軸線上 任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)

5、度。解：帶電圓盤繞其軸以角速度口旋轉(zhuǎn)，其上電流密度為Js=p0 = PJCD如在帶電圓盤上 取寬度為dr的小環(huán)，電流為dl = pqrdr,由例4-2知，在軸線上產(chǎn)生的磁場(chǎng)為旋轉(zhuǎn)帶電圓盤在軸線上產(chǎn)生的磁場(chǎng)為心3膈=, LP& +2z _2刃2(，二 + 丁)心 廠嘉 + 二4.9、寬度為w的導(dǎo)電平板上電流而密度為云= J$,如圖所示，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。題4-9圖解：在空間取場(chǎng)點(diǎn)(x,z),在導(dǎo)電平板上X位置取寬度為dY的細(xì)長(zhǎng)電流，在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的磁 場(chǎng)為志 4。山.叩odx . r/ I* dB = -一 yxp = 廠7- y x 0_ F)x+ zz導(dǎo)電平板上的電流產(chǎn)生的總場(chǎng)為J 2勿 J/2(a

6、-x)- +z5 心(x + W/2)2+z2 , W/2 sW/2=z m -_-+ x2(arctgarctg) 2)(x_w/2)-+-ZZ4-10.計(jì)算半徑為a、電流為I的電流圓環(huán)在其軸線Z軸上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的線積分XBzdzo-X解：半徑為0,電流強(qiáng)度為/的圓環(huán)電流在軸線上的磁場(chǎng)為2(O)gW汝=J-X-Xdz2(/r + r)4-1K 如果 B = 12xx + 25yy + czz ；求：c 解： 萬(wàn)= 12 + 25 + c = 0,c = 36 4.12、真空中半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒上電流均勻分布，電流面密度為人，沿軸向流動(dòng)。 求圓筒內(nèi)外的磁場(chǎng)。解：由題意，電流具有軸對(duì)稱

7、分布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布。因此無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒內(nèi)的磁場(chǎng)為零；無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒外的磁場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì)算。困繞無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒做一半徑為Q 的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律杼頊=財(cái)I在圓環(huán)上磁場(chǎng)B = B相等，1 = 2叫,因此B _財(cái)_ 。以。2平 p4-13、如果上題中電流沿圓周方向流動(dòng)，求圓筒內(nèi)外的磁場(chǎng)。解：由于導(dǎo)電圓筒內(nèi)為無(wú)限長(zhǎng)，且電流沿圓周方向流動(dòng)，因此導(dǎo)電圓筒外磁場(chǎng)為零，導(dǎo)電圓 筒內(nèi)磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且方向沿導(dǎo)電圓筒軸向，設(shè)為z方向。利用安培環(huán)路定律，取閉合 回路為如圖所示的矩形，長(zhǎng)度為L(zhǎng),則J&di = B：LII = JXL因此 Bz =/0J,4.14、真空中一半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體中，電

8、流沿軸向流動(dòng)，電流分布為，=凱, CT求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由題意，電流具有軸對(duì)稱分布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布，因此無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)電圓柱的磁 場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì)算。圍繞無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱軸線做一半徑為的圓環(huán)，利用安培環(huán)路 定律左邊右邊演oP*2cr 磯r 、4cr 叩 pa因此有電流分布為7 = 04-15.在真空中, 0paa pb求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由題意，電流具有軸對(duì)稱分布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布，因此磁場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì) 算。圍繞z軸線做一半徑為Q的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律擴(kuò)行=“。/左邊腆cff = B2tp0;0 p a2勿（夕3-/）右邊I = a pb 3b因此有0;0 p aA0（P2 一

9、。3）,apb3b4-16、在真空中，有一無(wú)限長(zhǎng)、半徑為10cm的圓柱導(dǎo)體內(nèi)電流沿軸向流動(dòng)，電流密度軸 對(duì)稱分布為項(xiàng)=z200eQ5pA/m2,計(jì)算空間任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：解：由題意，電流具有軸對(duì)稱分布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布，因此無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)電圓柱 的磁場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì)算。圍繞無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱軸線做一半徑為q的圓環(huán)，利用安培 環(huán)路定律抒萬(wàn)=。/左邊 f&di = B2tpIp右邊 / = JJ7d =200廠2軍=磯尸乙因此有4。-叩*; p a4q4-17.己知無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱半徑為a,其內(nèi)部有一圓柱形空腔半徑為b,導(dǎo)體圓柱的軸線與圓柱形空腔的軸線相距為c,如圖所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電

10、流密度為項(xiàng)=*2，試求空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：利用疊加原理，空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度力為萬(wàn)=+瓦萬(wàn)1為電流均勻分布的實(shí)圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度；M為與此圓柱形空腔互補(bǔ)而電流密度與實(shí)圓柱 的電流密度相反的載流圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度。利用安培環(huán)流定律如=-峰 P、S=-嶺 2x0、-2- -2-式中分別為從圓柱中心軸和圓柱空腔中心軸指向場(chǎng)點(diǎn)的矢量。因此月=號(hào)2x（念一企）=號(hào)2x3C為從圓柱中心軸指向圓柱空腔中心軸的矢量。4-18、己知真空中位于xy平面的表面電流為1 =持,求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于在無(wú)限大的平面上有均勻電流，因此產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)。磁場(chǎng)方向在y方向，跨電流面取一長(zhǎng)為L(zhǎng)的矩形回路，利用安培環(huán)路定律得B2L =

11、 ,I?？?o因此 B = 2寫成矢量形式為題4-18圖4-19. 一長(zhǎng)螺線管，每亳米繞兩圈，在螺線管內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.57求線圈上的電流 強(qiáng)度。解：& =止J s=Nl = 20001I = B = 4勿x 10-7 x 0.5/2000 = 3.14x1 O10 A 20004-20、壁很薄的、半徑為10”的導(dǎo)體圓筒導(dǎo)體圓筒上的電流面密度上的電流在圓筒外產(chǎn)生 的磁場(chǎng)為萬(wàn)=蛙所/m,求導(dǎo)體圓筒上的電流面密度。P解：當(dāng)導(dǎo)體圓筒上的電流面密度為=待，由安培環(huán)路定律百. di =妃 I當(dāng)/為以導(dǎo)體圓筒上的電流面密度的軸線為中心，半徑為Q的圓時(shí)瓦瓦=心汨S。B = 0，S0_ 1。0p P 因此

12、 ，so = 1 A/74-21、真空中邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路，電流為I,求回路中心的矢量磁位。解：首先計(jì)算載電流為I、長(zhǎng)度為偵+ L2的直線在距離為d處的矢量磁位。設(shè)電流方向?yàn)? , 如圖所示。題4-21圖仲；L112矢量磁位為I 財(cái) f dl ；財(cái) % dt泌/ . L + Jl；+c/24兀J R4兀！上盧+尸4/r _L2+K+r當(dāng) L = L、= d =。/ 2 時(shí)，4/r -1 + V2正方形導(dǎo)線回路的回路中心的矢量磁位為反=A +瓦+瓦+瓦=04-22、真空中邊長(zhǎng)為a的正三角形導(dǎo)線回路，電流為I,求回路中心的矢量磁位。. 解：由上題可知，三角形導(dǎo)線的回路中心的矢量磁位也為0。4

13、-23、兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，平行放置，每個(gè)長(zhǎng)度為107,攜載相等的電流10A,方向相反，間 距為2取坐標(biāo)系，使兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線在哭面，且平行于Z軸，原點(diǎn)在兩根長(zhǎng)直導(dǎo) 線之間的中點(diǎn)。右側(cè)的導(dǎo)線電流為Z向，左側(cè)的導(dǎo)線電流為-Z向。計(jì)算在點(diǎn) (3,4,0)?的(1)矢量磁位：(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：長(zhǎng)度為L(zhǎng)的電流在(p,0,Z)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度和矢量磁位分別為B = Z + 2/2 2+(Z + L/2)2p2 + (z-L/2)2X = j 財(cái) h】(七/2 z) + J(L/2 z)- + p4 -(2 + Z)+J(/2 + z) 仃在(3,4,0)點(diǎn)B、= gB2=-zxp2L/2L/2】財(cái)L+ /= =

14、 Z x Q,(匕/2尸S+(L4小+印L/2L/2 一財(cái) L+ /= =fxp、2 +(L/2)2yp22 +(L/2)2L/2L/2+B =色塵 2 x p1 -饑.1 = -0.036i - 04ypTs5 +印 一+印云 一,。/11(匕/2)+J(L/2?+Q1 斯 _(L/2)+(L/2)2+ 商4 f 妃 i (L/2) + J(L/2 + p：4 = -l111 r 4 勿 一(L/2)+J(匕/2尸+7o12) + -J(L/22 + p(L/2) + -J(L/22 + p2A = z hi - hi 4 汗 -(L/2) + yl(L/2)2 +一 ( 2) +2 + /

15、?= 25.86x106 r=J(3_0)2+(4-1)2 =面,&=3 + 3S， p2 = Je-O)? +(4 + 1尸=V34 , p2 = 3 + 5?乙= 10？，/ = 10 A4. 24電流強(qiáng)度為10A的導(dǎo)線緊繞50圈，形成面枳為20c廣的線圈，線圈中心在坐標(biāo)原點(diǎn), 線圈面的法向?yàn)? 求此線圈的磁矩。解此線圈的磁矩為府= N/S2 = 50 x10 x 20 x1072 = 24-25、一塊半徑為a長(zhǎng)為d的圓柱形導(dǎo)磁體沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為歷=M2，求磁 化電流及磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于均勻磁化，圓柱形導(dǎo)磁體中的磁化體電流為零。圓柱形導(dǎo)磁體側(cè)面的磁化面電流

16、密 度為了 s=xh = M在圓柱形導(dǎo)磁體表面取一寬度為女的電流環(huán)帶，先計(jì)算此電流環(huán)帶在軸線上的磁場(chǎng)，然后 對(duì)衣積分4財(cái)廣M?2a+(zF*積分得 B =/二2 ylf+a2 J(z-疔+4-26、一段截面為。X。長(zhǎng)為d的方柱形導(dǎo)磁體沿長(zhǎng)度方向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為 M ,求磁化電流及磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于均勻磁化，圓柱形導(dǎo)磁體中的磁化體電流為零。方柱形導(dǎo)磁體側(cè)面的磁化面電流密 =,，為方柱形回路的方向。4/郵條十時(shí)一-友+方仁1物必應(yīng)奪 A辰芬5 破一成B= L 171浦土成+弓)，4-27、在某種媒質(zhì)中，當(dāng)H = 300A/H1時(shí)，B = L2T ；當(dāng)H增加到15004/

17、;?時(shí)，B增 加到1.57；求對(duì)應(yīng)的磁化強(qiáng)度的變化值。解：萬(wàn)=。(方+費(fèi))一 B 一M =H Ao(1.5 -L2)-(l500-300) = 238853.5-1200 = 237653.5 A 4/rxlO-4-28. 一鐵磁芯環(huán)，內(nèi)半徑為30cm,外半徑為40cm,截面為矩形，高為5cm,相對(duì)磁導(dǎo) 率為500.均勻繞線圈500匝，電流強(qiáng)度為1人。分別計(jì)算磁芯中的最大和最小磁感應(yīng)強(qiáng)度, 以及穿過(guò)磁芯截面的磁通量。解：在鐵磁芯環(huán)中取半徑為R的同心圓環(huán)，對(duì)于該圓環(huán)回路利用安培環(huán)路定律，得2函九=N1H =N12ttRB = (ppN1當(dāng)R = 30 cm,磁感應(yīng)強(qiáng)度最大5. NI .5x10-

18、7x500 x500 x1 八 *由B = (pu=(p= 0.1667 T2ttR2;rx 30 x10-2當(dāng)/? = 40 cm ,磁感應(yīng)強(qiáng)度最小-.NI .47x107x500 x500 x1 十十B =(pu =(p；= 0.125 T2 林2x40 x10-穿過(guò)磁芯截面的磁通量為-dR =應(yīng) 1ii- = 2x10-7 x500 x500 x0.05x0.2877 =7.2x10-4 Wb03 2就2汗 34-29. z = 0是兩種媒質(zhì)的分界而。在z0,=1, B = 1.5x+0.Sy + 0.6zfnT ,求(1)在Z 0, 0=200, H = 40 x+50y + nikA

19、/m ,求在 z0, /r = 1000 中的磁場(chǎng)強(qiáng)度。解：根據(jù)邊界條件(1)iix (瓦一方2) = Js2 x (Hlxx + Hlyy + Hlzz) - (H 2xx + %頂)=A-H2xy + H2yx = 12ky-Hlxy + HlyxH2x = HLx - 12k = (40 12狄=28k= Hiy = 50k(2) Bln = B2ii 外 5H2=(2Sx + 5Qy + 12/5z)kA/m4-31. 磁導(dǎo)率為|的媒質(zhì)1及磁導(dǎo)率為2的媒質(zhì)2中，距邊界面為h處，分別平行于邊 界平面放置相互平行的電流匕、L，如圖所示，求單位長(zhǎng)度的載流導(dǎo)線所受的力。丁。1112 t-el2

20、題4.31圖解：用鏡像法。在計(jì)算媒質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，在2區(qū)的鏡像位置放置鏡像電流/、；在計(jì)算媒 質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，在1區(qū)的鏡像位置放置鏡像電流利用邊界條件Hlt = H、3偵=B* , 可得方程+心)=2(兒+L)解此方程得+ /2 人 + /A M+外 _電流匕所受的力為穴=ij x反=冬圭(/；)-4林電流人所受的力為尺=/x瓦=竺乙，（頊）4油一力為引力方向。4.32、證明在兩種媒質(zhì)界面上的磁化電流面密度為7 =方x（E 一反）/“ 解：跨兩種均勻媒質(zhì)的分界面取矩形回路/,如圖所示，對(duì)矩形回路當(dāng)/?（）時(shí)，得由此得八=（8” - BQ0寫成矢量形式就是Js = nx - B2）/ fl。4-

21、33、如圖所示的磁路，圖中所標(biāo)尺寸為厘米，厚度均為2厘米，=2000。線圈為1000匝，導(dǎo)線電流為0.24。求磁路中的磁通。食。2入題4.33圖解：根據(jù)磁路的歐姆定律nt1=1N1J工匚L L4 十rr 禹 S. S. 54= 1.96x10-4Vb_5x10-7x2000 x1000 x 0.270+ 2x+ 0.02 x 0.020.04 x 0.02 0.06 x 0.024.34、緊繞的矩形線圈有N匝，如圖所示，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中以角速度口旋轉(zhuǎn)。求感應(yīng)電動(dòng) 勢(shì)。題4-34圖解：與回路電流交鏈的磁鏈為=NSB = 2NBDR cos 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 = a）2NBDRs0（l）dt4.35、N

22、匝矩形線圈放在一對(duì)平行傳輸線之間，如圖所示，求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：矩形線圈放在一對(duì)平行傳輸線之間距兩導(dǎo)線距離相等，可以看出，兩導(dǎo)線上的電流在矩 形線圈中產(chǎn)生的磁鏈相同，但方向相反，因此總磁鏈為零，那么線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也就為 零。4.36、一寬度為w、厚度為d的矩形導(dǎo)體條放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，磁場(chǎng)垂直穿過(guò)導(dǎo)體寬度為w 的導(dǎo)體面，如果流過(guò)導(dǎo)體條的電流強(qiáng)度為/,導(dǎo)體條中的載流子密度為，每個(gè)載流子電量 為e,證明矩形導(dǎo)體條寬邊兩側(cè)的霍耳電壓為V = 地。ned解:電子垂直于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，單位正電荷受到磁場(chǎng)力為E = vxB = vBxI = JS = Jwd = envwclv =enwdEIB .E = VDX =Xenwd矩形導(dǎo)體條寬邊兩側(cè)的電壓為U 3 小 18V =E-xdx =-* en