2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第7章第4節(jié)垂直關(guān)系

1、第四節(jié)垂直關(guān)系考綱 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中 線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空 間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|知識植理i/i1.直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意二條直線都垂直，那么稱這條 直線和這個平面垂直.(2)定理(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.這條直 線叫作二面角的憶 這兩個半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在 兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線、 這兩條射線所成的角叫作二面角的平 面角.平面角

2、是直角的二面角叫作直二面角.3.平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面 互相垂直.定理文字語百如果一個平聞經(jīng)過另一個半聞判定的垂線,那么這兩個平面互相垂定理直兩個平聞垂直，那么一個半聞內(nèi)性質(zhì)垂直于交線的直線與另一個平定理面垂直符號語言l X a? al. 0l BaX 0l BaA 0= ala學(xué)情自測.(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打X ) TOC o 1-5 h z (1)直線l與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么l，a()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)假設(shè)兩條直線與一個平面所成的角相等，那么這兩條直線平行.(

3、)(4)假設(shè)兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()答案(1)X (2)X (3)X (4)X.(教材改編)設(shè)%B是兩個不同的平面，l, m是兩條不同的直線，且la, m 0()A .假設(shè)U 3那么al. BB.假設(shè)a B,那么UmC .假設(shè)l / 3那么all BD.假設(shè)all &那么l / mA UB, l a, a，氏面面垂直的判定定理)，故A正確.（2021浙江高考）互相垂直的平面 % B交于直線1,假設(shè)直線m, n滿足 ml/ % n 3 那么（）A. m / 1B . m / nC. n1D. mnC aA 0= 1, 10; n & n1.4.如圖7-

4、4-1, PAL平面 ABC, BCXAC,那么圖中直角三角形的個數(shù)為圖 7-4-14 PAL平面 ABC, PAXAB, PAX AC, PAXBC,那么PAB, PAC為直角三角形.由 BCXAC,且 ACAPA=A,.BCL平面 PAC,從而 BCXPC.因此 ABC, APBC也是直角三角形.5.邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，那么折疊后 AC 的長為.【導(dǎo)學(xué)號:57962336】a 如下圖，取BD的中點O,連接AO,CO,那么/AOC是二面角A BD-C 的平面角.即/AOC=90,又 AO = CO = a, . A C =a2a22+萬=a,即折疊后AC的長(A

5、C)為a.明考向題型突破|.上一.線面垂直的I考向1 I促與性質(zhì)一卜例口 如圖7-4-2,在三棱錐A-BCD中，AB，平面BCD, CDXBD.D圖 7-4-2(1)求證：CD，平面ABD;(2)假設(shè)AB=BD = CD=1, M為AD中點，求三棱錐 A-MBC的體積.解(1)證明：因為AB，平面BCD, CD 平面BCD, TOC o 1-5 h z 所以ABLCD.2分又因為 CDXBD, ABABD = B,AB 平面ABD, BD 平面ABD,所以CD,平面ABD.5分(2)由 ABL平面 BCD,得 ABXBD.1 C 1又 AB= BD = 1,所以 Saabd= 2/3,由余弦定

6、理得 CD2=DB2+ BC2-2DB BCcos 30 = 3,所以 CD2+DB2=BC2,即 CDXAO.8 分因為PDL平面ABC, CD 平面ABC,所以PDXCD,由PDA AO=D,得CD,平面FAB,又PA 平面PAB,所12分以 PAX CD.|考向2 |面面垂直的判定與性質(zhì)例（2021鄭州調(diào)研）如圖7-4-4,三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE,分別為AC, BC的中點.圖 7-4-4求證：BD/平面FGH;(2)彳貿(mào)設(shè)CFBC, ABXBC,求證：平面 BCD,平面EGH.證明(1)如下圖，連接DG, CD,設(shè)CDAGF=M, 連接MH.在三棱臺DEF-ABC中，AB=

7、 2DE, G為AC的中點，可得 DF / GC, DF = GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形.那么M為CD的中點，又H為BC的中點，所以 HM / BD,由于HM 平面FGH, BD7平面FGH ,故BD/平面FGH.(2)連接 HE, CE, CD.因為G, H分別為AC, BC的中點，所以 GH / AB.由 ABXBC,得 GHXBC.又H為BC的中點，所以 EF/ HC, EF = HC,因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以 CF / HE.由于CFXBC,所以HEXBC.又 HE, GH 平面 EGH, HEAGH = H.所以BCL平面EGH.又BC 平面BCD,所以平面BC

8、D，平面EGH.12分規(guī)律方法1.面面垂直的證明的兩種思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條 垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明 面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：II判定 判定 3線線垂直告線面垂直二亍面面垂直T 性.度性豆性窟|變式訓(xùn)練2 如圖7-4-5,在三棱錐P-ABC中，平面PAB，平面ABC,PA的中點.圖 7-4-5PAXPB, M, N 分別為 AB,(1)求證：PB/平面MNC;(2)假設(shè)AC=BC,求證：PAL平面MNC.證明(1)因為M, N分別為AB, PA的中點，

9、所以MN/PB,2分又因為MN 平面MNC, PB?平面MNC,5分7分10分所以PB/平面MNC.(2)因為 PAXPB, MN/PB,所以 PAXMN. 因為 AC=BC, AM = BM,所以 CMXAB.因為平面PABL平面ABC,CM 平面ABC,平面PABA平面ABC=AB.所以CM,平面PAB.因為PA 平面PAB,所以CMXPA.12分又MNACM = M,所以PAL平面MNC.1考向3|I：門 事平行與垂直的綜合問題?角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明卜例奧(2021江蘇高考)如圖7-4-6,在直三棱柱ABC-AiBiCi中，D, E分 別為AB, BC的中點，點F在側(cè)棱Bi

10、B上,且BiDLAiF, AiCiXAiBi.圖 7-4-6求證：(i)直線DE/平面AiCiF；(2)平面 BiDEL平面 AiCiF.證明(i)在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AiCi / AC.在 ABC中，因為D, E分別為AB, BC的中點， TOC o 1-5 h z 所以 DE /AC,于是 DE/AiCi.3 分又因為DE?平面AiCiF, AiCi 平面AiCiF,所以直線DE /平面AiCiF.5分(2)在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AiAL平面 AiBiCi.因為AiCi 平面AiBiCi,所以AiAXAiCi.7分又因為 AiCiXAiBi, AiA 平面

11、 ABBiAi, AiBi 平面 ABBiAi, AiAAAiBi = Ai,所以 AiCi，平面 ABBiAi.因為BiD 平面ABBiAi,所以AiCiXBiD.i0分又因為 BiDXAiF, AiCi 平面 AiCiF, AiF 平面 AiCiF, AiCiAAiF=Ai, 所以BiD，平面AiCiF.因為直線BiD 平面BiDE,所以平面BiDEL平面AiCiF.i2分規(guī)律方法i.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進展線線、線面、 面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.?角度2平行垂直中探索開放問題(2021秦皇島調(diào)研)如圖7-4-7

12、(1)所示,在RtzXABC中,/C = 90,D, E分別為AC, AB的中點，點F為線段CD上的一點，將 ADE沿DE折起到AiDE的位置,使AiFXCD,如圖7-4-7(2)所示.(1)(2)圖 7-4-7求證：AiFXBE;線段AiB上是否存在點Q,使AiC,平面DEQ?并說明理由.【導(dǎo)學(xué)號：57962337證明(i)由，得 ACLBC,且 DE/BC.所以 DELAC,那么 DELDC, DEXDAi,因為 DCADAi = D,所以DEL平面AiDC.2分由于AiF 平面AiDC,所以DELAiF.又因為 AiFCD, CDADE = D,所以AiF，平面BCDE,又BE 平面BC

13、DE,所以AiFBE.5分線段AiB上存在點Q,使AiC,平面DEQ.6分理由如下：如圖，分別取AiC, AiB的中點P, Q,連接PQ,那么PQ/ BC.又因為DE / BC,那么DE / PQ.所以平面DEQ即為平面DEQP.9分由(1)知，DE，平面AiDC,所以 DELAiC.又因為P是等腰三角形DAiC底邊AiC的中點，所以 AiCXDP.又 DPA DE=D,所以AiC，平面DEQP.從而AiC，平面DEQ.故線段AiB上存在點Q,使得AiC，平面DEQ.i2分規(guī)律方法i .對命題條件探索性的主要途徑：(i)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索

14、出命題成立的條件，再證明充分性.2.平行(垂直)中點的位置探索性問題：一般是先根據(jù)條件猜想點的位置再 給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個， 也可以根據(jù)相似 知識建點.I考問4|一線面角的求法與應(yīng)用1一四一(202i浙江高考)如圖7-4-8, 三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE，平(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.解(i)證明：延長AD, BE, CF相交于一點K,如下圖.i分因為平面BCFE，平面ABC,且 ACXBC, TOC o 1-5 h z 所以AC,平面BCK,3分因此，BFXAC.又因為EF/BC, BE=EF = FC=1, BC=2,所以4BC

15、K為等邊三角形，且 F為CK的中點，那么BFXCK.所以BFL平面ACFD.5分(2)因為BFL平面ACK,所以/BDF是直線BD與平面ACFD所成的角.8分在 RtABFD 中，BF=3, DF = |,彳# cos/ BDF=p,所以直線 BD 與平面ACFD所成角的余弦值為 零.12分規(guī)律方法1.利用綜合法求空間角的步驟：(1)找：根據(jù)圖形找出相關(guān)的線面角或二面角.(2)證：證明找出的角即為所求的角.(3)算：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，通過解三角形求出所求角.2.線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要 把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.變式訓(xùn)練3 如圖7-4-9,在四棱錐P

16、-ABCD中，PAL底面ABCD,ABAD, ACXCD, /ABC=60, PA=AB=BC, E 是 PC 的中點.圖 7-4-9求PB和平面PAD所成的角的大?。?2)證明：AE，平面PCD.解在四棱錐P-ABCD中，. FA，底面 ABCD, AB 平面 ABCD,故 FALAB.又 ABLAD, PAAAD=A,從而AB，平面PAD,2分故PB在平面FAD內(nèi)的射影為FA,從而/ APB為PB和平面PAD所成的角.在 RtzXPAB 中，AB=PA,故/APB=45.PB和平面PAD所成的角白大小為450.5分證明：在四棱錐P-ABCD中，. PA，底面 ABCD, CD 平面 ABCD,故 CDXPA.由條件 CDXAC, PAAAC = A,CD,平面 PAC.7 分又 AE 平面 PAC, a AEXCD.由 PA=AB=BC,/ABC = 60,可得 AC=PA.E是PC的中點,AEXPC.10 分又 PCn CD=C,故AEL平面PCD.12分名喊微博多思想與方法1.證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與a內(nèi)任一直線都垂直？ a a；m, n a, mA n=A(2)判定定理1 :? U a；Um, ln(3)判定定理