電磁場與電磁波 復習 王家禮 第三版

1、Vx2 + v2 在點1,2)處沿 標量場方向?qū)?shù)。例13求數(shù)量場，2 氣 + 22, +2弓.方向的方向?qū)?shù)解：有向的方向余弦為1 2cos a- cos p =-33而 du = 2x du = 2t_dx z d)f Z數(shù)量場在z方向的方向?qū)?shù)為du du du - du 1 2x 2 2y 2 x2 + j=cosa + cos0 + cosy = -81 8x切，彼、點那處沿仿向的方向?qū)?shù)些 SZ例1-5求,在Af(101)處沿Z二政.+ 22,. +2瓦的方向?qū)?shù)基解：r的梯度Sradr Vr = -(xex + yey +z弓)|證明見例1-4 | r點M處的坐標為x=L j=0

2、, z=l,且r = J、 +J。+亍=4i2 cos / =-du _ -(x2 +yV8z13 Z 3 z 3 z122 22二.二一w 333 43所以尸在M點的梯度為 印姑=0=令弓+之= Vr-ZM尸曲/點沿，方向的方向?qū)?shù)為2_ 91=-122而 / =口 =一瓦十一弓+一可-一|/| 3 * 3 3，所以81矢量單位化方法1 1 A 21 21= . +(I + .=“ m 3+ 3十血3皿 TOC o 1-5 h z 例19原點處點電荷q產(chǎn)生電位移矢量D=-rQ =-r 試求電位移矢量斤的散度。二解：n=-f? +Ze,+ 5.1 注意，二必+寸+4勿 I 尸 r3 5 r3

3、)n _ qx n - ? n _ q乙D, D , D. t4勿尸 4勿/,4勿/dDx _ q r2 -3x2= q r2-3y2 dDz _ q r2-3z2dx 4ti 尸 Sy 4) r5 dz 4 兀尸片。以外空間均為無源場一 -dD 8Dv dD. divD = ND= + +- dr dy dzq 3f2-3(x2+j2+z2) = u4ttr例1-10球面S上任意點的位置矢量為r = xex + yey + z瓦 求我產(chǎn)據(jù)解：根據(jù)散度定理知/無=JU/VMY而散度為dx 8) azdx dy dz所以處 rdS=y-rdV= 3dV =3-ttR3 =4tiR33R為球面半徑

4、e=Jo R2 sin2+Jo (2 + Rcos9)Rcos6de=j：T”(si + cos2 e)*2jffcos。初=”(&2 +2RcosO)dO =&tR2例1-12求矢量場A=x(zy)ex y(x-zey十如-如在點 M(l, 0, 1)處的旋度以及沿亓=2弓+昭+3弓方府的 環(huán)量面密度。M解：矢量場的旋度Vx.4例1-11求矢量A = -yex + xey + c?._ (是密數(shù))沿曲線 (x-2)2-y2=R z=0 的環(huán)量解：由于在曲線/z=o,所以dz=o。=(-)心+咐)(2 + Rcos e)(Rsin 3)二f” 一氏 sin 伽(2 +1? cos ) +f 2

5、 JU , af 2 7T_ dx dy dt x(z-y) y(x-z) z(y-x)=(z + y)ex +(x 十 z)ey 十(j + x)ez在點M(L 0, 1)處的旋度Vx頊=ex + 2e+e, TOC o 1-5 h z Ijf X 。萬方向的單位矢量舟二(2知+昭+ 3勺)=C 翌W 十 62+3277 環(huán)量面密度 =亓。2 6 . 3 177 777例1.13在坐標愿點處放置一點電荷q,在自由空間產(chǎn)生 的電場強度為E - 一 J r -七。(xex + ye + ze.)求自由空間任意點(rO)電場強度的旋度例3.1設(shè)同軸線的內(nèi)導體半徑為僅、外導體內(nèi)半徑方，其 間媒質(zhì)的電

6、導率為。，求同軸線單位長度的漏電電導。解，漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導體到外導體， 如令沿軸線方向單位長度從內(nèi)導體流向外導體電流為I, 則媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為例3.2 一個同心球電容器的內(nèi)、外半徑為僅、b,其間媒 質(zhì)的電導率為，求該電容器的漏電電導。解，媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導體流向外導體， 設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為則媒 質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為例3-1設(shè)同軸線的內(nèi)導體半徑為、外導體內(nèi)半徑5,其 間媒質(zhì)的電導率為“，求同軸線單位長度的漏電電導。解，漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導體到外導體， 如令沿軸線方向單位長度從內(nèi)導體流向外導體電流為 則媒質(zhì)內(nèi)任一點的

7、電流密度和電場為例4.7橫截面為如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽 相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為。X8,槽體的電位為 零，蓋板的電位為o，求此區(qū)域內(nèi)的電位。V(p =0 x = 0.饑0,0 = 0(1)x = a9(p(a9y) = 0(2)y =。,(p(N, 0) = 0(3).q,饑x,8) = Z7o (4)用分離變量法求解過程:解：導體槽內(nèi)為無源區(qū)，故電位 滿足拉普拉斯方程和邊界條件：CD待定當 A/O時:(X(x) = A sin(/cv) 4-B cos(A:v) Y (j) = Csh(ky) + Dch(ky)U們=A sin(Xcv) + B cos(Zlv) Cs/z

8、(勺)+ Dch(ky)由于三角函數(shù)具有周期性，因此解中的分離變量k可以 取一系列特定的值切=1,2,3）,即。=也 sin（/t“x）+耳 cos（灼對/咖羅）+。（勾j，） w = 1,2,3將所有特解的線性組合起來，得到電位函數(shù)的通解o=(4)x+8o)(Gy+q)+8Zl A sin(x) + B cos(x) Cnsh(kny)+Ddtkny)71=1解中所有未知系數(shù)和分離變量穌由邊界條件確定已知邊界條件： TOC o 1-5 h z F = 0,次0, j) = 0(1)x =饑o,j，)= 0(2)7 = 0. (p(x9 0) = 0(3)、- = b,(p(x,b) = Uo

9、 (4)以)+114油(a)+8” cos(A“.刈I t仰)+以浦儂療) n-1由條件得：心=0,4=0由條件(2)得：4 = na (& = L2,)由條件(4)得:由條件。)得E。齊多畔Y(4=gTt a a將此式按傅立葉級數(shù)展開，即等式兩邊同乘以sin(x) 再對x從0到但積分，得a(ar7 . fTT等式左邊=Uo - (1 - COS 7H7T) mn利用三角函數(shù)的正交性質(zhì)fT inn 、.廣兀 sin(x)sm(x) dx =nt豐m - nJo aa所以，接地導體槽內(nèi)部電位分布為4耳1.心、/兀丁9 =X 頃)sh兀=】.3.瑚(嗎f/ a例5-1計算銅中位移電流密度和傳導電流

10、密度的比值。 設(shè)銅中電場sino/ ,銅電導率b = 5.8xlOS/z, 5%銅中位移電流密度大小為解：銅中傳導電流密度大小為|人=血=血以dDdEE-COS G)tdta0因此，位移電流密度與傳導電流密度的振幅比值為b5.8 xlO7= 9.6x10 19 /.丞= (VxO) .丞左邊為(fc J + H c a/JdS = Ic+Id=I=O 證畢例5-2證明通過任意封閉曲面的傳導電流和位移電流的 總量為零。解：根據(jù)全電流定律Vx#=J + &可知，通過任意封閉曲面的傳導電流和位移電流為上式右邊應用散度定理可以寫為s(VxJj. = LV.(Vx)Q/=O例5.4在無源的自由空間中，己

11、知磁場強度H =弓2.63 x 10 cos(3 xlO9/ - 10z)(刀 / m) 求：&移電流密度。解：無源自由空間中了 = 0所以ppp。 。 。XyZ- 瀝 L -J.=Vxjff =_5d dtdx dy dz0 Hy 0由Vx百+隼Vx號=-ex =一氏 2.63 x 10 sin(3 x 10 七10z)(刀 / 廣) . dz例5-6在無源的自由空間中，E = E0cos（d?/-z）其中, 0為常數(shù)，求磁場強度解：畝謂無源亍=0, p = 0代入麥氏方程（5-28b）得VxjE =dSvd d _ dH =XAi世 dz dt006弓油（仞-/?z）=-丹瓦（瓦+弓耳+

12、ezHz）由上式可以寫出H =0二0-外 W = Zo0siii（5-0z）二）互 UIFH = ecos(故-(5z)解：如圖，取長度為Z的長直導線，其軸線二軸重合，有將其沿導線段表面積分，有表明，從導線表面流入的電磁能流等于導線內(nèi)部歐姆熱 損耗功率，驗證了坡印廷定理例5.7設(shè)z=0平面為空氣與理想導體的分界面，zvO為理 想導體，分界面處= evHQ sinav cos(6/ - ay)求：理想導體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面 處的電場強度解：根塑邊界條件，求得理想導體表體半電流分布為 Js =nxH = eHQ sinavcos-oj1)由分界面上電流連續(xù)性方程(5-40)有aH

13、=-sinov cos(6/ - ay) - cos ay=彖【 sinav cosS - ay) =sin ax sin(6?/ -明，)ps sin ax:cos(ay)+c(x y)(D假設(shè)U0/ s=0,由邊界條件n D = ps-sin ax cos(創(chuàng)-奸)-cos ay得：瓦= e例5.10試求一段半徑為3,電導率為。，載有直流電流1 的長直導線表面的坡印廷矢量，并驗證坡印廷定理。一 1 w J 一 1=E= = e.7ib a “ mbP在導線表面u=e Eb因此，導線表面的坡印廷矢量-_ I1S = ExH =匕 ，2(T7l2bZ例5-11 一同軸線內(nèi)導體半徑為a,外導體內(nèi)

14、半徑為b,內(nèi)、外導體間為空氣，內(nèi)、外導體均為理想導體，載有直流電流L內(nèi)、 外導體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可得一 U 一IE =% H=假,(arr+ Y)E = eJE.ejkz_71解:二 ReqEo次*)次0 = exEQ cos(6?/-fc + )E = exEQ cos(6?/ -kt) + .20 sin(d-kz)解：微盤)=ReRge網(wǎng)* 一弓2/即土F)E(xz) = (ex-ey2j)Ek例5.13將場矢量的復數(shù)形式寫為瞬時值形式E = exEQ sin(Avx)sin(frvj)解：E ReRE。sin(/r V.v) sin(k yy)ejkzejG)t =ezEQ sin(幻 *) sin(與j) cos(初一kzz)=eJ20sin=(x+y)2-z通過點3/(1, 0, 1)的等值面 方程。解：點M的坐標是x()=l叩o=O, %=1，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=Oo其等值面方程為II(x+v)2-z = 0或， z = (* + j，)2 1.1場的樨念例12求矢量場A = xyex x2yey +*禮的矢量線方程解：矢量線應滿足的微分方程為dxdydzxy2x2y y2z從而有dx _ dyxy2 y2zG和C2是積分常數(shù)o例5.3坐標原點附近區(qū)域內(nèi)傳導電流