2021-2022學(xué)年廣東省東莞市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年廣東省東莞市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2已知平面向量與為單位向量，它們的夾角為，則（）ABCDD【分析】由向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可由求得結(jié)果.【詳解】，.故選：D.3已知樹人中學(xué)高一年級總共有學(xué)生人，其中男生人，按男生、女生進(jìn)行分層，并按比例分配抽取名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識競賽，已知參賽學(xué)生中男生比女生多人，則（）ABCDB【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)直接計(jì)算.【

2、詳解】由已知可得參賽的男生有人，故參賽的女生有人，參賽人數(shù)共人，所以高一年級總?cè)藬?shù)為人，即，故選：B.4復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的集合對應(yīng)的圖形的面積為（）ABCDC【分析】由題意可知，點(diǎn)的集合對應(yīng)的圖形是一個(gè)圓環(huán)，從而可求出其面積【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，且，所以點(diǎn)的集合對應(yīng)的圖形是一個(gè)內(nèi)半徑為1，外半徑為2的圓環(huán)，所以所求面積為，故選：C5已知某學(xué)校高一年級共有1000名學(xué)生，如圖是該校高一年級學(xué)生某次體育測試成績的頻率分布直方圖，則估計(jì)排名第200名的學(xué)生的體育測試成績?yōu)椋ǎ〢89分B88分C87分D86分B【分析】根據(jù)題意確定出前200名的頻率，進(jìn)而判斷出第200

3、名的區(qū)間，然后根據(jù)頻率求出答案.【詳解】由題意，的頻率為：0.025=0.1，的頻率為：0.055=0.25，則0.10.20.25，則第100名在中，設(shè)分?jǐn)?shù)為x，的頻率為：，所以.故選：B.6已知，是兩條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則D【分析】對ABC，舉反例判斷即可；對D根據(jù)線面平行與線面垂直的性質(zhì)判定即可【詳解】對A，若，則或，故A錯(cuò)誤；對B，若，則或，故B錯(cuò)誤；對C，長方體同一頂點(diǎn)所在的三個(gè)平面滿足，故C錯(cuò)誤；對D，若，則平行于內(nèi)的一條直線，又，故，故成立，故D正確；故選：D7如圖，在鈍角中，角所對的邊分別是，過點(diǎn)作與垂直的單位

4、向量，將與向量表達(dá)式兩邊進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，即，化簡后得到的結(jié)論是（）ABCDA【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可化簡等式得到，由此可得結(jié)論.【詳解】，又，即.故選：A.8一個(gè)袋子中有標(biāo)號分別為，的個(gè)小球，除標(biāo)號外沒有其它差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)小球，記事件“第一次摸出小球的標(biāo)號小于”，事件“第二次摸出小球的標(biāo)號小于”，事件“摸出的兩個(gè)小球的標(biāo)號之和為”，事件“摸出的兩個(gè)小球的標(biāo)號之積小于”，則（）A與相互獨(dú)立B與相互獨(dú)立C與相互獨(dú)立D與相互獨(dú)立B【分析】先利用古典概型的概率公式分別求出，然后再利用相互獨(dú)立事件的概率公式依次判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】由題意可

5、知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.二、多選題9在中，角，所對的邊分別是，則下列結(jié)論一定正確的是（）ABCDBC【分析】對于AB，由于，則，再由正弦定理得，從而可進(jìn)行判斷，對于CD，由正弦定理的變形式判斷即可【詳解】在中，因?yàn)椋?，因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，所以，所以，所以B正確，A錯(cuò)誤，由正弦定理得，所以，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC10已知共面的三個(gè)向量，則下列說法正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若存在唯一實(shí)數(shù)使，則AD【分析】根據(jù)平面向量相等的定義即可判斷A；根據(jù)平面向量共線的定義即可判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可判斷C；根據(jù)平面向量共線定理即可判

6、斷D.【詳解】解：因?yàn)?，所以的方向與模都相同，所以，故A正確；對于B，若，當(dāng)時(shí)，的方向不能確定，所以無法判斷是否共線，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，即，無法判斷是否相等，故C錯(cuò)誤；對于D，若存在唯一實(shí)數(shù)使，則，故D正確.故選：AD.11甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（）A中位數(shù)為3，眾數(shù)為5B中位數(shù)為3，極差為3C中位數(shù)為1，平均數(shù)為2D平均數(shù)為3，方差為2AD【分析】根據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對選項(xiàng)分析判斷即可【詳解】對于A，由于中位數(shù)

7、為3，眾數(shù)為5，所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3個(gè)數(shù)是3，則第4和5個(gè)為5，所以這5個(gè)數(shù)中一定沒有出現(xiàn)6，所以A正確，對于B，由于中位數(shù)為3，極差為3，所以這5個(gè)數(shù)可以是3，3，3，4，6，所以B錯(cuò)誤，對于C，由于中位數(shù)為1，平均數(shù)為2，所以這5個(gè)數(shù)可以是1，1，1，1，6，所以C錯(cuò)誤，對于D，由平均數(shù)為3，方差為2，可得，若有一個(gè)數(shù)為6，取，則，所以，所以這4個(gè)數(shù)可以是4，3，3，3或2，3，3，3，與 矛盾，所以，所以這5個(gè)數(shù)一定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)，所以D正確，故選：AD12如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，是頂點(diǎn)，是所在棱的中點(diǎn)，則在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A與異面B平面C平面平面D與平

8、面所成的角的正弦值是ABD【分析】由展開圖還原得到正方體，根據(jù)異面直線定義可知A正確；利用平行四邊形證得，由線面平行判定可知B正確；假設(shè)兩平面垂直，可知平面，由線面平行性質(zhì)得，可知假設(shè)錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤；由線面角定義可知所求角為，由長度關(guān)系可求得D正確.【詳解】由展開圖還原正方體如下圖所示，其中分別為中點(diǎn)，對于A，平面，平面，與為異面直線，A正確；對于B，連接，分別為中點(diǎn)，又，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面，B正確；對于C，假設(shè)平面平面成立，平面，平面，平面，平面，平面平面，顯然不成立，假設(shè)錯(cuò)誤，平面與平面不垂直，C錯(cuò)誤；對于D，連接，直線與平面所成角即為直線與平面所成角，平面，即為直線與

9、平面所成角，設(shè)正方體棱長為，即直線與平面所成角的正弦值為，D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的線線、線面與面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)展開圖準(zhǔn)確還原正方體，從而確定平面圖中的點(diǎn)的具體位置，結(jié)合平行與垂直關(guān)系相關(guān)判定與性質(zhì)定理得到結(jié)果.三、填空題13已知球的表面積為,則該球的體積為_.【分析】設(shè)球半徑為，由球的表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設(shè)球半徑為，球的表面積為，該球的體積為故答案為解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果14“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的游戲，游戲時(shí)雙方每次任意出“石頭”、“剪刀”、“布”這三種

10、手勢中的一種，那么游戲時(shí)“雙方所出的手勢不同”的概率為_.【分析】首先確定所有手勢的結(jié)果種數(shù)和手勢相同的種數(shù)，根據(jù)古典概型和對立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】游戲時(shí)，雙方所出的手勢共有種；其中“雙方所出的手勢相同”有種；“雙方所出的手勢不同”的概率.故答案為.15若四面體各棱的長是2或4，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能為_（只需寫出一個(gè)可能的值），或，或【分析】根據(jù)題意畫出圖形，求解其表面積即可【詳解】由四面體各棱的長是2或4，且該四面體不是正四面體，如圖四面體各棱中有一條為2，另五條為4，不妨取三條側(cè)棱長均為4，底面邊長，則其表面積為，四面體各棱中有兩條為2，四條為4，由三角形

11、兩邊之和大于第三邊，可知邊長為2的必為對棱，不妨設(shè),則四個(gè)面全等，所以其表面積為，四面體各棱中有三條為2，三條為4，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為2的必在同一個(gè)面內(nèi)，不妨設(shè),所以其表面積為，故，或，或四、雙空題16如圖是正八邊形，其中是該正八邊形的中心，是正八邊形八條邊上的動點(diǎn).若，則該八邊形的面積為_，的最小值為_. 【分析】根據(jù)正八邊形的面積為，根據(jù)三角形的面積公式求出的面積即可；根據(jù)，求出，則要求的最小值，只要求出的最小值即可.【詳解】解：在正八邊形中，所以正八邊形的面積為；因?yàn)?，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，又為定值，所以取最小值時(shí)，即取最小值，設(shè)，所以，所以取最小值時(shí)，即取最小

12、值，又表示向量在向量上的投影，故取最小值時(shí)，點(diǎn)不可能在路徑上（在此路徑上為銳角），所以點(diǎn)在路徑上，延長與，延長線交于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，且，所以，所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，向量在向量上的投影最小，即最小，即，所以，所以.故；.五、解答題17已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根，其中是實(shí)數(shù)(1)求和的值；(2)若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值(1)，(2)【分析】（1）由為方程的根可知是方程的另一根，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡，由純虛數(shù)定義可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】(1)是方程的根，是方程的另一根，.(2)由（1）知：；是純虛數(shù)，解得.18某校組織高一年級1000名學(xué)生參加了跳繩比賽活動，以每

13、個(gè)學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為最終比賽成績.現(xiàn)從中機(jī)抽取50名學(xué)生的比賽成績作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按比賽成績，分組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到比賽成績的頻數(shù)分布表.記比賽成績大于或等于160的為“優(yōu)秀”.比賽成績?nèi)藬?shù)410216315(1)估計(jì)該校高一年級學(xué)生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)；(2)從樣本比賽成績在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人比賽成績都為“優(yōu)秀”的概率.(1)360人(2)【分析】(1)將頻率作為概率即可算出高一年級優(yōu)秀人數(shù)；(2)用枚舉法求出基本事件的樣本空間，再計(jì)算所求事件的種數(shù)，按照古典概型計(jì)算即可.【詳解】(1)由頻數(shù)分布表可知，樣本比賽成績大于或等于160的學(xué)生有3+15=18人，所以估計(jì)該校高一年

14、級學(xué)生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)為1000360人；(2)設(shè)“兩人比賽成績都為優(yōu)秀”為事件M，記比賽成績在的學(xué)生為A1，A2，比賽成績在的學(xué)生為B1，B2，B3，則從這5個(gè)學(xué)生中隨機(jī)抽取2人的樣本空間=（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），M=（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），所以，由古典概型得P（M）；綜上，估計(jì)該校高一年級學(xué)生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)為360，,兩人比賽成績都為優(yōu)秀的概率為 .19如圖，在四邊形中，且(1)用表示；(2)點(diǎn)在線段上，且，求與的

15、夾角的余弦值.(1)(2)【分析】（1）方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；方法二：根據(jù)向量線性運(yùn)算得，整理即可求得結(jié)果；（2）方法一：根據(jù)可求得，從而得到，由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可求得；方法二：由向量線性運(yùn)算得，進(jìn)而得到；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】(1)方法一：由得：；由得：為中點(diǎn)；由得：；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，解得：，.方法二：由得：，則.(2)方法一：由（1）知：，由得：，則，又，.方法二：由得：，由且得：，由得：；，又，.20如圖，在圓柱中，是圓的直徑，和分別是圓柱軸截面

16、上的母線.(1)證明：平面；(2)若，證明平面，并求點(diǎn)到平面的距離.(1)證明見解析(2)證明見解析，【分析】（1）由線面平行的判斷定理證明即可；（2）由線面垂直的性質(zhì)與判定定理可證明線面垂直，由等積法可求點(diǎn)到面的距離【詳解】(1)如圖1，連接，.因?yàn)楹褪菆A柱軸截面上的母線，所以四邊形是平行四邊形，所以且，因?yàn)?，分別經(jīng)過圓心，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?圖1(2)因?yàn)槭菆A柱母線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋侵悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，如圖2，圖2由等體積法可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，即點(diǎn)到平面的

17、距離為.21在中，角所對的邊分別是，且滿足(1)求角；(2)如圖，若外接圓半徑為，為的中點(diǎn)，且，求的周長.(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡已知等式求得，由此可得；（2）利用正弦定理可求得，由余弦定理可得；方法一：根據(jù)，利用余弦定理可得，根據(jù)可求得，進(jìn)而得到三角形周長；方法二：根據(jù)，由向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可左右平方求得，根據(jù)可求得，進(jìn)而得到三角形周長.【詳解】(1)由正弦定理得：，又，即，又，又，.(2)由正弦定理得：，解得：，即，為邊上的中點(diǎn)，由余弦定理得：，即；方法一：在中，在中，；，即，整理得：，由得：，解得：，的周長為. 方法二：由向量加法得：，即，

18、由得：，解得：，的周長為.22將一個(gè)邊長為的正六邊形（圖）沿對折，形成如圖所示的五面體，其中，底面是正方形.(1)求五面體（圖）中的余弦值：(2)如圖，點(diǎn)分別為棱上的動點(diǎn).求周長的最大值，并說明理由；當(dāng)周長最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.(1)(2)，理由見解析；【分析】（1）連接，在和中依次應(yīng)用余弦定理可求得結(jié)果；（2）將面，面，面展開得到平面展開圖；當(dāng)時(shí)，可知分別與重合時(shí)三角形周長最大；當(dāng)與不平行時(shí)，結(jié)合圖形對所有可能的移動路徑進(jìn)行分析，可知分別與重合時(shí)三角形周長最大；綜合兩種情況可得結(jié)果；將問題轉(zhuǎn)化為平面與平面的夾角，設(shè)平面平面，由線面平行的判定與性質(zhì)可知，由線面垂直的判定可知平面，即平面，由面面角定義可知所求角為，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】(1)連接，在中，由余弦定理得：，解得：，在中，由余弦定理得.(2)將面，面，面展開，得到如圖所示平面展開圖，若，則顯然分別與重合時(shí)，周長最大，此時(shí)周長