反常積分(廣義積分)課件

1、第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第1節(jié) 定積分的概念，存在條件與性質(zhì)第2節(jié) 微積分基本公式與基本定理第3節(jié) 兩種基本積分法第4節(jié) 定積分的應(yīng)用第5節(jié) 反常積分第6節(jié) 幾類簡單的微分方程2013年01月04日1南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系第1頁，共23頁。5.1 無窮區(qū)間上的積分5.2 無界函數(shù)的積分定積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣廣義積分第5節(jié) 反常積分(廣義積分)第2頁，共23頁。2解功元素所求功為如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處說明:第3頁，共23頁。3第5節(jié) 反常積分5.1 無窮區(qū)間上的積分-無窮積分5.2 無界函數(shù)的積分-瑕積分5.3 無窮區(qū)間上積分的審斂準(zhǔn)則5.4 無界函數(shù)積分的審

2、斂準(zhǔn)則第4頁，共23頁。4定義5.1 設(shè)則稱極限為f (x)在無窮區(qū)間a,+)上的積分,簡稱無窮積分,記作稱無窮積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱無窮積分發(fā)散 .5.1 無窮區(qū)間上的積分如果上述極限存在,稱此極限為f 在a,+)上的積分值.第5頁，共23頁。5同時存在其中c為任意實數(shù)第6頁，共23頁。6注意只要有一個極限不存在 , 就稱發(fā)散 .第7頁，共23頁。7 性質(zhì)1.1(線性性質(zhì)) 設(shè)a , b R, 則根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì). 性質(zhì)1.2第8頁，共23頁。8引入記號則有類似牛萊公式的計算表達(dá)式 :第9頁，共23頁。9例1. 計算廣義積分解:思考: 分析:原積分發(fā)散 !注意

3、: 對無窮積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會出現(xiàn)錯誤 .第10頁，共23頁。10證第11頁，共23頁。11例3 計算積分解第12頁，共23頁。125.2 無界函數(shù)的積分-瑕積分引例:曲線所圍成的與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 第13頁，共23頁。13就稱瑕積分發(fā)散 .如果上述極限存在,定義5.2中的a稱為瑕點（奇點）稱瑕積分收斂 ;如果上述極限不存在,稱此極限為f 在(a, b 上的積分值.第14頁，共23頁。14收斂 ;只要有一個極限不存在 , 就稱發(fā)散 .右邊兩個極限均存在 , 就稱第15頁，共23頁。15收斂 ;其中只要有一個極限不存在 , 就稱發(fā)散 .右邊兩個極限均存在 , 就稱第16頁，共23頁。16注意: 若瑕點的計算表達(dá)式 : 則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點, 則若 a 為瑕點, 則若 a , b 都為瑕點, 則則可相消嗎?第17頁，共23頁。17下述解法是否正確: , 積分收斂例4. 計算廣義積分解: 顯然瑕點為 a , 所以原式例5. 討論廣義積分的收斂性 . 解:所以廣義積分發(fā)散 .第18頁，共23頁。18證第19頁，共23頁。19第20頁，共23頁。20EX 計算由此，求數(shù)列的極