二階與三階行列式(83)課件

1、3.3 行列式的性質線性代數第1頁，共29頁。3.3 行列式的性質1 行列式與其轉置行列式的值相等. 即D=DT.2 交換行列式的兩行（或兩列）元素，行列式的值僅改變符號. 3 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.第2頁，共29頁。 4 行列式具有分行（列）可加性.即 =第3頁，共29頁。5 行列式的某行(列)的各元素乘以同一數k加到另一行(列)對應的元素上去，不改變行列式的值.即第4頁，共29頁。 例5.3 計算解 從倒數的二行開始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去.第5頁，共29頁。同理，可得第6頁，共29頁。 例5.4 計算解 把所有列都加到第一列上去，然后，從

2、第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行.第7頁，共29頁。第8頁，共29頁。 例5.5 設 試證D=D1D2.第9頁，共29頁。證明 對D1作運算krj+ri,可把D1化為下三角行列式,即設amm0,作運算 將D中第m列前m-1個元素全化為0，如此繼續(xù)下去就可以將其化為下三角行列式對D2作運算kci+cj,也可把D2化為下三角行列式，設為第10頁，共29頁。于是，對D的前m行作運算krj+ri,對D的后n列作運算kci+cj，把D化成下三角行列式故Dp11p22pmmq11q22 qnn=D1D2.第11頁，共29頁。例5.5可簡記為其中D1是m2個元素aij排成m行m列； D2是n

3、2個元素bij排成n行n列；*是任意nm個元素cij排成n行m列;O是mn個數0排成m行n列.利用性質3.1與例5.5的結果可得 注意：以上的幾個式子可作為公式用.第12頁，共29頁。 例5.6 證明范蒙得（Vandermonde）行列式 其中記號“”表示全體同類因子的乘積. 證 用數學歸納法.因為所以當n=2時(1)成立.(1)第13頁，共29頁。 現(xiàn)在假設(1)對于n1階Vandermonde行列式，即 我們來證明對n階Vandermonde行列式也成立.第14頁，共29頁。 例5.7 計算第15頁，共29頁。例5.8計算4階行列式 解顯然當x=0或y=0時，D0，當x0和y 0時，利用展

4、開定理，第16頁，共29頁。這種計算方法叫做加邊法，此方法適用于主對角線兩側元素都相同的行列式在第二步計算的行列式是個字行列式，其計算方法如上(第5列乘以(-1/y)加到第1列、第4列乘以(1/y)加到第1列、第3列乘以(-1/x)加到第1列、第2列乘以(1/x)加到第1列)第17頁，共29頁。3.4 行列式的展開第18頁，共29頁。在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數余子式例如 的余子式和代數余子式余子式與代數余子式第19頁，共29頁。 回顧性質3.2： n階行列式對任一行按下式展開，其值相等.即其中Aij為D中元素 aiJ的代數余子式.第20頁，共29頁。定理4.1 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.即 證 設或第21頁，共29頁。把D按第j行展開,有 在上式兩端用ai1,ai2, ,ain代替aj1,aj2, ,ajn,得第22頁，共29頁。顯然,等式左端行列式有兩行相同,故行列式等于零,即. 同理可得有關列的結果.第23頁，共29頁。綜合性質3.2有其中 第24頁，共29頁。第25頁，共