2021-2022學(xué)年河南省鶴壁市浚縣?？h高一下學(xué)期7月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年河南省鶴壁市?？h?？h高一下學(xué)期7月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知，且，則的值是（）A5B6C3D4A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示進行求解.【詳解】因為，所以故選：A.2設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及直線的方向向量、平面的法向量定義再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得：，則“”是“”的必要條件，而不一定有，也可能，則“”不是“”的充分條件.故選：B.3如圖，在四面體中，點在棱上，且滿足，點，分別是線段，的中點，則用向量，表示向量應(yīng)為（）ABCDA【分

2、析】利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運算進行求解即可【詳解】解：因為，所以，因為點，分別是線段，的中點，所以，所以故選：A4如圖在長方體中，設(shè)，則等于（）A1B2C3DA利用向量加法化簡，結(jié)合向量數(shù)量積運算求得正確結(jié)果.【詳解】由長方體的性質(zhì)可知，所以.故選：A5下列關(guān)于傾斜角的說法中正確的是（）A任意一條直線有唯一的傾斜角B一直線的傾斜角可以為C若直線的傾斜角為0，則該直線與軸重合D若直的傾斜角為，則A【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義，對四個選項逐一分析，即可得出答案.【詳解】任意一條直線都有唯一的傾斜角，選項A正確；直線傾斜角的取值范圍是，所以直線的傾斜角不可以為，故選項B錯誤；若直線的

3、傾斜角為0，則該直線與軸重合或平行，故選項C錯誤；因為直線的傾斜角的取值范圍是，所以，故選項D錯誤.故選：A6已知點、，若線段的垂直平分線的方程是，則實數(shù)的值是（）ABCDC【分析】分析可知，直線的斜率為，且線段的中點在直線上，可列出關(guān)于實數(shù)的等式組，由此可得出關(guān)于實數(shù)的值.【詳解】由中點坐標(biāo)公式，得線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，所以，解得.故選：C.7如果且，那么直線不通過（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C【分析】根據(jù)且，得，則直線方程可化為斜截式，再根據(jù)的符號，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，所以直線方程可化為因為且，所以同號，異號，從而有，所以直線

4、的斜率為負(fù)，且在y軸上的截距為正，所以直線不經(jīng)過第三象限故選：C8已知若不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)的值為（）A0BC9DD【分析】由題意得出共面，由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】不能構(gòu)成空間的一個基底，共面，則，其中x，yR，則(7，5，)=(2x，-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，解得故選：D.9二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于已知，則該二面角的大小為ABCDC【分析】將向量轉(zhuǎn)化成，然后等式兩邊同時平方表示出向量的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量與的夾角，而向量與的夾角就是二面角的補角【

5、詳解】由條件，知=62+42+82+268cos，cos，即=120，所以二面角的大小為60，故選C本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題10在九章算術(shù)中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）ABCDC畫出四面體，建立坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.【詳解】四面體是由正方體的四個頂點構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為因為異面直線夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為故選：C本題主要考查了利用向量法求

6、異面直線夾角的余弦值，屬于中檔題.11在正四棱柱中, ，動點 分別在線段上，則線段 長度的最小值是ABCDC【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4), 當(dāng)且僅當(dāng)時，PQ取最小值 ，選C.二、多選題12如圖，已知在長方體中，點為上的一個動點，平面與棱交于點，則下列說法正確的是（）A四棱錐的體積為B存在唯一的點，使截面四邊形的周長取得最小值C當(dāng)點為的中點時，在直線上存在點，使得D存在唯一一點，使得平面，且ABC【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項的正誤；將長方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面，可判斷B選項的正誤；利用勾股定理求出的長，可判斷C選項的

7、正誤；利用空間向量法可判斷D選項的正誤.【詳解】長方體中，對于A，平面，平面，故平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，過點在平面內(nèi)作，如圖1所示，平面，平面，則，平面，且，故，同理可得，所以，A對；對于B選項，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長為，將長方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面內(nèi)，如圖2所示，則的最小值為展開面中的長度，此時點為與的交點，所以四邊形的周長的最小值為，B對；對于，即，所以，解得，C對；對于D選項，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)，則，因為平面，則，解得，即，D

8、錯.故選：ABC.三、填空題13已知點，則在上的投影向量的長度為_.【分析】計算，根據(jù)投影公式得到答案.【詳解】由已知得，又，所以在上的投影向量的長度為.故答案為.14將直線繞其與x軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到直線，則在y軸上的截距為_【分析】根據(jù)的方程可以求出的傾斜角，及與軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)與傾斜角的關(guān)系確定的傾斜角，利用直線點斜式寫出方程即可判斷直線在y軸上的截距.【詳解】易知的傾斜角為，所以的傾斜角為，又由題意知過點，所以的方程為，即，從而可知在y軸上的截距為故15已知，直線，且 ，則的最小值為_8【分析】先根據(jù)直線垂直關(guān)系得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因為，所以，即

9、.因為，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故816在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G為的重心，則PG與底面ABCD所成角的正弦值為_首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出PG的方向向量及面ABCD的法向量，然后代入公式計算即可，【詳解】如圖，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，則重心，因而，設(shè)PG與底面ABCD所成的角為，則.四、解答題17求滿足下列條件的直線方程：（1）已知、，求的邊上的中線所在的直線方程；（2）過點，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.（1）；（2）或.【分析】（1）先計算中點的坐標(biāo)，再利用兩點式寫出直線方程，

10、即得結(jié)果；（2）分類討論直線是否過原點兩種情況，分別設(shè)直線方程，再將點P代入計算，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知，的中點坐標(biāo)為，又點，所以的邊上的中線所在的直線方程為：，即；（2）當(dāng)直線過原點時，設(shè)方程為，過點，直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為，過點，直線方程為，即.故所求直線的方程為或.18如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM2A1M，C1N2B1N設(shè)，（1）試用，表示向量；（2）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的長（1）；（2）.【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及

11、向量模的求法即可求解.【詳解】解：（1）（），又，（2）ABACAA11，|1BAC90，0BAA1CAA160，|2（）2（222），|19已知向量.（1）若，求的值;（2）以坐標(biāo)原點為起點作，求點到直線的距離.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算與平行滿足的性質(zhì)求解即可；（2）先求在上的投影，再根據(jù)勾股定理求解即可【詳解】（1）， ，即，解得.（2）由條件知，故在上的投影為 ，又點到直線的距離.20已知直線（1）求證：無論為何實數(shù)，直線恒過一定點；（2）若直線過點，且與軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸圍成三角形面積最小，求直線的方程（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）解方程組，可得定

12、點的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，分析可得，求出該直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，可得出三角形面積關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最小值，利用等號成立可求得的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）證明：將直線的方程化為，解方程組，解得，故直線恒過定點；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時直線的方程為，即.21如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內(nèi)

13、；（2）方法一：以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）方法一【最優(yōu)解】：利用平面基本事實的推論在棱上取點，使得，連接、，如圖1所示.在長方體中，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，因此點在平面內(nèi).方法二：空間向量共線定理以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示設(shè)，則所以故所以，點在平面內(nèi)方法三：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以故所以點在平面內(nèi)方法四：根據(jù)題意，如圖3，設(shè)在平面內(nèi)，因為，所以延長交于G，平面，平面，所以

14、平面平面延長交于H，同理平面平面由得，平面平面連接，根據(jù)相似三角形知識可得在中，同理，在中，如圖4，在中，所以，即G，H三點共線因為平面，所以平面，得證方法五：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點O，則O為的中點聯(lián)結(jié)，由長方體知識知，體對角線交于一點，且為它們的中點，即，則經(jīng)過點O，故點在平面內(nèi)（2）方法一【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、，設(shè)平面的一個法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.方法二：定義法在中，即，所以在中，如圖6，設(shè)的中

15、點分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角在中，所以，則方法三：向量法由題意得，由于，所以如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，則與的夾角即為二面角的大小由，得其中，解得，所以二面角的正弦值方法四：三面角公式由題易得，所以設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個面角公式，得，所以【整體點評】（1）方法一：通過證明直線，根據(jù)平面的基本事實二的推論即可證出，思路直接，簡單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實三通過證明三點共線說明點在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實以及平行四邊形的對角線和長方體的體對角線互相平分即可證出（2

16、）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出22如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求證：AA1平面ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（）證明：在線段BC1存在點D，使得ADA1B，并求的值.（）見解析（）（）【分析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作證求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（）題，求解有難度，可以空間向量完成.（）因為為正方形，所以.因為平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C，所以平面ABC.