高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：第2章 2.2.3　兩條直線的位置關(guān)系-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)講義

1、2.2.3兩條直線的位置關(guān)系學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1掌握兩條直線相交的判定方法，會(huì)求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(重點(diǎn))2掌握兩條直線平行與垂直的判定方法，注意利用直線方程的系數(shù)和利用斜率判定直線平行與垂直的差別(重點(diǎn))3靈活選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓷l直線的位置關(guān)系(難點(diǎn))1通過學(xué)習(xí)兩直線位置關(guān)系的方法，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)2借助兩直線方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)過山車是一種富有刺激性的娛樂游戲，那種風(fēng)馳電掣、有驚無險(xiǎn)的快感令不少人著迷實(shí)際上，過山車運(yùn)動(dòng)包含了許多數(shù)學(xué)、物理學(xué)原理，人們?cè)谠O(shè)計(jì)過山車時(shí)巧妙地運(yùn)用了這些原理過山車的鐵軌是兩條平行、起伏的軌道，你能感受到過山車中的平行嗎？那么

2、兩條直線的平行用什么來刻畫呢？1兩條直線相交、平行與重合的條件(1)幾何方法判斷若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：設(shè)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1與l2相交k1k2；l1l2k1k2且b1b2；l1與l2重合k1k2且b1b2(2)向量方法判斷設(shè)直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，因?yàn)関1(A1，B1)是直線l1的一個(gè)法向量，v2(A2，B2)是直線l2的一個(gè)法向量l1與l2相交(即只有一個(gè)交點(diǎn))的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2A2B1l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即A1B2A2B

3、1；l1與l2重合的充要條件是，存在實(shí)數(shù)使得eq blcrc (avs4alco1(A1A2，,B1B2，,C1C2.)思考：直線AxByC10與直線AxByC20，平行的充要條件是什么？重合呢？提示平行的充要條件是C1C2，重合的充要條件為C1C22兩條直線垂直對(duì)應(yīng)關(guān)系l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1l2k1k21l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1l2圖示1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行()(2)若l1l2，則k1k2()(3)若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩

4、直線相交()(4)若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)、(4)中兩直線有可能重合，故(1)(4)錯(cuò)誤；(2)可能出現(xiàn)兩直線斜率不存在情況，故(2)錯(cuò)誤；(3)正確2已知A(2,0)，B(3,3)，直線lAB，則直線l的斜率為()A3B3Ceq f(1,3)Deq f(1,3)B因?yàn)閗kABeq f(30,32)3，所以l的斜率為33直線l1與l2的斜率是一元二次方程2 019x22 020 x2 0190的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系為 垂直由題意知一元二次方程2 019x22 020 x2 0190的兩根x1x21，直線l1、l2的斜率之積k1k21，

5、直線l1l24若直線l：xay20平行于直線2xy30，則a eq f(1,2)因?yàn)橹本€l：xay20平行于直線2xy30，所以1(1)2a0，解得aeq f(1,2)5經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，Q(3，a)的直線與傾斜角為45的直線垂直，則a 6由題意知eq f(a1,32)1，所以a6兩條直線相交、平行、重合的判定【例1】已知兩直線l1：xmy60；l2：(m2)x3y2m0，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合思路探究可嘗試根據(jù)兩直線相交、平行、重合的等價(jià)條件，列出方程求參數(shù)的值解直線l1：xmy60，直線l2：(m2)x3y2m0，A11，B1m，C16，A2m2

6、，B23，C22m(1)若l1與l2相交，則A1B2A2B10，即13m(m2)0，即m22m30，即(m3)(m1)0，即m3，且m1故當(dāng)m3，且m1時(shí)，直線l1與l2相交(2)若l1l2，則有eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10，)即eq blcrc (avs4alco1(3mm20，,2m2180，)即eq blcrc (avs4alco1(m22m30，,m29，)即eq blcrc (avs4alco1(m3或m1，,m3且m3，)m1故當(dāng)m1時(shí)，直線l1與l2平行(3)若l1與l2重合，則有eq blcrc (avs4alco1(A1B2

7、A2B10，,B1C2B2C10，)即eq blcrc (avs4alco1(3mm20，,2m2180，)eq blcrc (avs4alco1(m3或m1，,m3或m3，)m3故當(dāng)m3時(shí)，直線l1與l2重合根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定參數(shù)取值時(shí)，因?yàn)樾甭适欠翊嬖诓磺宄羰褂眯甭逝卸?，兩直線位置關(guān)系需分類討論，但使用直線方程一般式的系數(shù)來判定兩直線的位置關(guān)系不必討論.因此使用直線方程一般式系數(shù)來判定兩直線位置關(guān)系更簡(jiǎn)便易行.eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)1l1：9xya20；l2：ax(a2)y10求當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解由題意：A19，B11，C1a2，A2

8、a，B2a2，C21，(1)若l1與l2相交，則A1B2A2B10，即9(a2)a(1)0，aeq f(9,5)故當(dāng)aeq f(9,5)時(shí)，直線l1與l2相交(2)若l1l2，則有eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10，)即eq blcrc (avs4alco1(9a2a10，,1a240，)eq blcrc (avs4alco1(af(9,5)，,ar(3).)當(dāng)aeq f(9,5)時(shí)，l1與l2平行(3)若l1與l2重合，則有eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10，)由(2)知eq blcrc (avs4a

9、lco1(af(9,5)，,ar(3)，)不成立，直線l1與l2不重合綜上所述：當(dāng)aeq f(9,5)時(shí)，兩直線相交，當(dāng)aeq f(9,5)時(shí)，兩直線平行，不論a為何值兩直線不會(huì)重合兩條直線垂直的判定【例2】(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)，B(3，1)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)，N(2,1)，判斷l(xiāng)1與l2是否垂直；(2)已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3，a)，B(a2,3)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值思路探究(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的條件判斷；若一條直線的斜率不存在，再看另一條的斜率是否為0，若為0，則垂直；(2)當(dāng)兩直線的斜率都存在時(shí)，由斜率之積等于1

10、求解；若一條直線的斜率不存在，由另一條直線的斜率為0求解解(1)直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為0，所以l1l2(2)由題意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在當(dāng)l1的斜率不存在時(shí)，3a2，即a5，此時(shí)k20，則l1l2，滿足題意當(dāng)l1的斜率k1存在時(shí)，a5，由斜率公式，得k1eq f(3a,a23)eq f(3a,a5)，k2eq f(a23,12)eq f(a5,3)由l1l2，知k1k21，即eq f(3a,a5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a5,3)1，解得a0綜上所述，a的值為0或5利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐

11、標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；再看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二步(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論提醒：若已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時(shí)，要注意討論斜率不存在的情況eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)2分別判斷下列兩直線是否垂直(1)直線l1的斜率為10，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)(2)直線l1經(jīng)過A(3,4)，B(3,7)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)P(2,4)，Q(2,4)(3)直線l1的斜率為eq f(1,3)，直線l2與直線2x3

12、y10平行解(1)直線l1的斜率為k110，直線l2的斜率為k2eq f(32,2010)eq f(1,10)，k1k210eq f(1,10)1所以直線l1與l2垂直(2)直線l1的斜率不存在，故l1與x軸垂直，直線l2的斜率為0，故直線l2與x軸平行，所以l1與l2垂直(3)直線l1的斜率為k1eq f(1,3)，直線l2的斜率為k2eq f(2,3)，k1k2eq f(2,9)1，所以直線l1與l2不垂直直線平行與垂直的綜合應(yīng)用探究問題1已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判斷ABC的形狀嗎？提示如圖，AB邊所在的直線的斜率kABeq f(1,2)，BC

13、邊所在直線的斜率kBC2由kABkBC1，得ABBC，即ABC90ABC是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形2若已知直角三角形ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值嗎？提示若A為直角，則ACAB，所以kACkAB1，即eq f(m1,25)eq f(11,15)1，得m7；若B為直角，則ABBC，所以kABkBC1，即eq f(11,15)eq f(m1,21)1，得m3；若C為直角，則ACBC，所以kACkBC1，即eq f(m1,25)eq f(m1,21)1，得m2綜上可知，m7或m3或m2【例3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時(shí)針順序

14、依次為O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中t0試判斷四邊形OPQR的形狀思路探究利用直線方程的系數(shù)關(guān)系，或兩直線間的斜率關(guān)系，判斷兩直線的位置關(guān)系解由斜率公式得kOPeq f(t0,10)t，kQReq f(22t,2t12t)eq f(t,1)t，kOReq f(20,2t0)eq f(1,t)，kPQeq f(2tt,12t1)eq f(2,2t)eq f(1,t)所以kOPkQR，kORkPQ，從而OPQR，ORPQ所以四邊形OPQR為平行四邊形又kOPkOR1，所以O(shè)POR，故四邊形OPQR為矩形1將本例中的四個(gè)點(diǎn)，改為“A(4,3)，B(2,5)，C(

15、6，3)，D(3，0)，順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判斷四邊形ABCD的形狀”解由題意A，B，C，D四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，由斜率公式可得kABeq f(53,24)eq f(1,3)，kCDeq f(03,36)eq f(1,3)，kADeq f(03,34)3，kBCeq f(35,62)eq f(1,2)所以kABkCD，由圖可知AB與CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD與BC不平行又因?yàn)閗ABkADeq f(1,3)(3)1，所以ABAD，故四邊形ABCD為直角梯形2將本例改為“已知矩形OPQR中按逆時(shí)針順序依次為O(0，0)，P(1，t)，Q(12t,2t)

16、，試求頂點(diǎn)R的坐標(biāo)”解因?yàn)镺PQR為矩形，所以O(shè)Q的中點(diǎn)也是PR的中點(diǎn)，設(shè)R(x，y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知eq blcrc (avs4alco1(f(012t,2)f(1x,2)，,f(02t,2)f(ty,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2t，,y2.)所以R點(diǎn)的坐標(biāo)是(2t,2)1利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形的形狀的步驟2判定幾何圖形形狀的注意點(diǎn)(1)在頂點(diǎn)確定的前提下，判定幾何圖形的形狀時(shí)，要先畫圖，猜測(cè)其形狀，以明確證明的目標(biāo)(2)證明兩直線平行時(shí)，僅僅有k1k2是不夠的，還要注意排除兩直線重合的情況(3)判斷四邊形形狀，要依據(jù)四邊形的特點(diǎn)，并且不會(huì)產(chǎn)生其他

17、的情況1本節(jié)課的重點(diǎn)是理解兩條直線平行或垂直的判定條件，會(huì)利用斜率判斷兩條直線平行或垂直，難點(diǎn)是利用斜率判斷兩條直線平行或垂直2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)判斷兩條直線平行的步驟(2)利用斜率公式判斷兩條直線垂直的方法(3)判斷圖形形狀的方法步驟3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用斜率判斷含字母參數(shù)的兩直線平行或垂直時(shí)，對(duì)字母分類討論1直線xay70與直線(a1)x2y140平行，則a的值是()A1B2C1或2D1或2B由已知，得a(a1)20，解得a2或a1當(dāng)a1時(shí)，兩直線重合，a22如圖，直線l1的傾斜角130，直線l1l2，則l2的斜率為()Aeq f(r(3),3) Beq f(r(3),3)Ceq r(3) Deq r(3)Ck1tan 30eq f(r(3),3)，又l1l2，k1k21，k2eq r(3)3已知過點(diǎn)A(2，m)和B(m,4)的直線與直線2xy10平行，則m的值為()A8 B0 C2 D10A由已知，得eq f(4m,m2)2，m84已知直線l的傾斜角為45，直線l2的斜率為km23，若l1l