《大學物理教學課件》第7章

1、大學物理學熱力學系統(tǒng)的熱現象及其規(guī)律。 研究對象熱力學系統(tǒng)：由大量微觀粒子構成的有限的宏觀系統(tǒng)。熱現象：一切與溫度有關的現象。 第7章 氣體動理論第1頁，共52頁。 第7章 氣體動理論本章主要內容：1、氣體動理論的基本概念2、理想氣體的壓強和溫度的微觀解釋3、能量按自由度均分定理 理想氣體的內能4、麥克斯韋分布律和玻爾茲曼分布律5、氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程第2頁，共52頁。 根據對熱現象研究方法的不同，熱學又可分為宏觀理論和微觀理論兩部分。微觀模型宏觀熱現象微觀本質力學規(guī)律統(tǒng)計方法宏觀熱現象宏觀熱現象的規(guī)律觀察實驗邏輯推理微觀理論統(tǒng)計物理學宏觀理論熱力學統(tǒng)計平均 描寫宏觀物質整體特征

2、的量。如體積、溫度、壓強和內能等。宏觀量 描寫單個微觀粒子特征的量。如分子質量、位置、速度、能量等。微觀量導 論第3頁，共52頁。第4頁，共52頁。7.1 氣體動理論的基本概念一、物質的微觀結構模型3、分子力觀點：分子間有相互作用力。當 時，分子力主要表現為引力。當 時，分子力主要表現為斥力；當 時，分子處于平衡狀態(tài)，分子力為零；1、分子、原子觀點:宏觀物體由大量微觀粒子（分子、原子)組成 。2、分子運動的觀點：組成物質的分子在永不停息地作無規(guī)則的熱運動。第5頁，共52頁。二、理想氣體的微觀結構模型與統(tǒng)計假設1）理想氣體分子可視為質點，運動遵循牛頓運動定律。 2）理想氣體分子間、分子與器壁間的

3、碰撞是完全彈性的。3）除碰撞瞬間外，理想氣體分子間無相互作用。1）理想氣體分子是均勻分布（分子數密度相等）的。2、統(tǒng)計假設: （平衡態(tài)）2）在平衡狀態(tài)下，理想氣體分子沿各方向運動的概率相同。分子沿各個方向運動的速度分量的各種平均值應該相等。分子運動速度1、理想氣體的微觀結構模型：第6頁，共52頁。三、統(tǒng)計規(guī)律的基本概念1、偶然事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。例：伽爾頓板實驗2、統(tǒng)計規(guī)律：大量偶然事件的總體所具有的規(guī)律性 。 對單個小球而言，其運動規(guī)律完全是偶然的。 大量小球或一個小球重復投入許多次的分布具有必然性； 即系統(tǒng)的宏觀性質是大量微觀粒子運動的統(tǒng)計平均結果，宏觀量與相應的

4、微觀量的統(tǒng)計平均值有關。 求統(tǒng)計平均值尋找統(tǒng)計規(guī)律的方法第7頁，共52頁。 設系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)A時，測量值是MA的次數為NA；系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)B 時，測量值是MB的次數為NB，實驗總次數為 。定義M 的統(tǒng)計平均值。 定義 系統(tǒng)處于微觀狀態(tài) A 的次數NA除以實驗總次數 N 所得 的比值，在N時的極限值，稱為系統(tǒng)處于微觀狀態(tài) A的概率，即統(tǒng)計平均值描述隨機事件出現的可能性大小的量4、漲落：宏觀量的實際測量值與統(tǒng)計平均值的偏差。 歸一化條件系統(tǒng)處于一切可能狀態(tài)的概率總和等于1。3、統(tǒng)計平均值與概率第8頁，共52頁。四、狀態(tài)參量、平衡狀態(tài)與非平衡狀態(tài) 由大量分子、原子組成的宏觀物質稱為熱力學系統(tǒng)或系

5、統(tǒng)。1、系統(tǒng)與外界 系統(tǒng)以外且與系統(tǒng)發(fā)生物質、能量交換的物質系統(tǒng)稱為外界。根據系統(tǒng)和和外界的關系，可將系統(tǒng)分為以下幾種類型： 系統(tǒng)與外界之間的界面叫做系統(tǒng)的邊界 。孤立系統(tǒng)：與外界不發(fā)生任何物質和能量交換的系統(tǒng) 。封閉系統(tǒng)：與外界只有能量交換沒有物質交換的系統(tǒng) 。開放系統(tǒng)：與外界同時發(fā)生能量交換和物質交換的系統(tǒng)。第9頁，共52頁。常見的熱力學系統(tǒng)的狀態(tài)參量是壓強、體積和溫度等。2、狀態(tài)參量壓強 p ：垂直作用于容器壁單位面積上的壓力。（力學描述）體積V ：氣體所能達到的最大空間。（幾何描述）溫度T ：描述系統(tǒng)冷熱程度的物理量 ，標志系統(tǒng)內部分子 無序運動的劇烈程度。（熱學描述）描述熱力學系統(tǒng)狀

6、態(tài)的宏觀物理量，稱為狀態(tài)參量。熱力學溫標 T ：單位為K（開爾文）單位：單位：攝氏溫標與熱力學溫標的關系為： 攝氏溫標 t ：單位為0C（攝氏度）。標準大氣壓：第10頁，共52頁。3、平衡態(tài)1）單一性，狀態(tài)參量處處相等。2）穩(wěn)定性，狀態(tài)參量與時間無關。3）平衡態(tài)是熱動平衡。4、平衡過程平衡態(tài)可用 p -V 圖上的一點表示。 在沒有外界作用的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質不隨時間變化的狀態(tài)，稱為平衡態(tài)。 準靜態(tài)過程pVOpaVapbVba平衡態(tài)b平衡態(tài) 準靜態(tài)過程是無限緩慢的狀態(tài)變化過程，是實際過程的抽象，是理想的物理模型 準靜態(tài)過程可用 p-V 圖中的連續(xù)曲線表示。 若從一個平衡態(tài)到另一個平衡態(tài)的過程

7、中所有狀態(tài)都無限接近平衡態(tài)，則此過程為平衡過程或稱準靜態(tài)過程。pVOabpaVapbVb平衡態(tài)平衡態(tài)說明第11頁，共52頁。五、理想氣體的狀態(tài)方程1mol, NA= 6.02310 23/ mol 阿佛加德羅常數描述理想氣體在任一平衡態(tài)下各宏觀狀態(tài)量之間的關系。 玻爾茲曼常量第12頁，共52頁。7.2 理想氣體的壓強和溫度的微觀解釋一、理想氣體的壓強公式及其統(tǒng)計意義 微觀本質密集的雨點持續(xù)地傾瀉在傘面上，對傘面產生一個持續(xù)的壓力，由此產生作用于傘面上的壓強 。容器中數目巨大的氣體分子頻繁碰撞器壁，會對器壁產生持續(xù)的壓力，從而產生器壁上的壓強 壓強：大量分子碰撞器壁單位時間內、作用于器壁單位面積

8、 的平均沖量。大量分子不斷碰撞器壁，對器壁單位面積的平均沖力。第13頁，共52頁。研究對象：立方容器l 1、l2、l3 ；總分子數 N；分子質量為m 。 單個分子遵循力學規(guī)律分子碰撞A1前后動量變化：分子碰撞 1次給A1的沖量為：兩次碰撞A1的時間間隔：單位時間施予A1 的總沖量： 單位時間內與A 1 碰撞的次數：單位時間施予A1 的平均沖力：第14頁，共52頁。N 個分子單位時間給A1 的平均作用力：壓強：又因為：在平衡態(tài)下，有：故： 大量分子總效應：第15頁，共52頁。氣體分子的平均平動動能2 ) p 是大量分子碰撞器壁的平均結果，對單個分子或 少數分子，無壓強可言。 揭示了壓強統(tǒng)計意義的

9、微觀本質。理想氣體的壓強說明第16頁，共52頁。二、理想氣體的溫度公式及其微觀意義得則1）處于平衡態(tài)時的理想氣體，其分子平均平動動能與 氣體的溫度呈正比。2）溫度的微觀本質是分子平均平動動能的量度；是 表示氣體分子無規(guī)則熱運動激烈程度的物理量。3）溫度是大量分子熱運動的集體表現，因而溫度對 個別分子也毫無意義。由狀態(tài)方程和壓強公式討論第17頁，共52頁。三、理想氣體分子的方均根速率是大量分子的速率平方平均值的平方根，稱為方均根速率。在0時，常見的幾種氣體的方均根速率根據 和 ，可得氫氣氧氣氮氣空氣氣體第18頁，共52頁。 例題7-3 若氣體分子的平均平動動能等于1eV（電子伏特），問氣體的溫度

10、為多少？當溫度為27C時，氣體分子的平均平動動能為多少？ 解：已知 由理想氣體的溫度公式得 當溫度為27C時，氣體分子的平均平動動能為例題7-4 試計算0C時氫分子的方均根速率。 解：已知 則： 第19頁，共52頁。 例題補充 體積為V = 110-3 m3的容器中，貯有的氣體可視為理想氣體，其分子總數為N = 11023，每一個分子的質量為m0= 5 10-26kg，分子方均根速率為400m/s ，試求該理想氣體的壓強、溫度以及氣體分子的總平均平動動能。解 根據理想氣體的壓強公式有代入已知數據，可得根據理想氣體狀態(tài)方程，可得氣體分子的總平均平動動能第20頁，共52頁。7.3 能量按自由度均分

11、定理 理想氣體的內能一、自由度1、定義：確定一個物體空間位置所需要的獨立坐標的數目。 用 i 表示.自由運動剛體的自由度：轉軸：2 (，)繞軸轉動：1 （）質點的自由度：空間：3 個獨立坐標質心：3 （x，y，z ) ： t = 3平面：2直線：1第21頁，共52頁。2、 氣體分子運動自由度單原子分子：剛性多原子分子：i = 3 + 3 = 6多原子分子： 3 個平動自由度， 2 個轉動自由度。3 個平動自由度, i = 3 剛性雙原子分子：i = t + r = 53 個平動自由度，3 個轉動自由度，第22頁，共52頁。二、能量按自由度均分定理分子的平均平動動能： 氣體處于平衡態(tài)時，分子任何

12、一個自由度的平均能量都相等，均為k T / 2。推廣：能量按自由度均分原理：對自由度為 i 的分子，其平均總能量應為：第23頁，共52頁。2 ）室溫下只有平動和轉動，高溫下才有振動。 一般不說明，都按剛性分子處理，即無振動。 3 ）該原理也適用于液體和固體。三、理想氣體內能 E1、一般熱力學系統(tǒng)內能：系統(tǒng)內部各種能量的總和。2、理想氣體內能： （若無化學反應、無核反應，）系統(tǒng)內能指所有分子的各種形式的動能、振動勢能和分子間勢能的總和。 理想氣體（剛性分子）的內能，是系統(tǒng)內全部分子的平動動能和轉動動能之和。 1）能量按自由度均分定理是關于分子熱運動動能的 統(tǒng)計規(guī)律，對單個分子無意義。說明第24頁

13、，共52頁。每個分子的平均動能1mol 理想氣體的內能 mol理想氣體的內能1mol 理想氣體的內能i = 6i = 5i = 3自由度剛性多原子剛性雙原子單原子第25頁，共52頁。當溫度發(fā)生微小變化dT 時，內能的變化為：當溫度由T 變到T +T，則2 ) T 是狀態(tài)量，與過程無關，因而內能也是狀態(tài)量與過程 無關。 一個過程中理想氣體內能的變化僅與初末態(tài)溫度 變化有關，與過程無關。（對一定的理想氣體）1 ) 一定的理想氣體，內能只是溫度的單值函數 , E T。 mol理想氣體的內能說明第26頁，共52頁。 例題7-5 1mol氦氣與2mol氧氣在室溫下混合，試求當溫度由27C升為30C時，該

14、系統(tǒng)的內能增量。解 由內能公式對氦氣 i = 3 , 對氧氣 i = 5 則內能為：內能的增量為：第27頁，共52頁。由于氣體分子數目巨大且碰撞頻繁，故單個分子速率取值是任意偶然的。由理想氣體的溫度公式：知: 溫度T 一定時, 大量分子的方均根速率是確定的。說明：平衡態(tài)時雖然單個分子的速率取值偶然， 但大量分子的速率滿足一定的統(tǒng)計規(guī)律。引 言 麥克斯韋速率分布律。第28頁，共52頁。 在平衡態(tài)下，氣體分子速率的大小各不相同。由于分子的數目巨大（共有N個分子），速率可以看作在0 之間連續(xù)分布的。將 的速率區(qū)間劃分成一系列等間距的小區(qū)間。 ：分子總數 N：速率在v v + v 區(qū)間內的分子數。一、

15、速率分布函數7.4 麥克斯韋分布律第29頁，共52頁。速率分布函數表示速率在 區(qū)間的分子數占總分子數的百分比 . 表示在溫度為 T 的平衡態(tài)下，速率在 v 附近單位速率區(qū)間的分子數占總數的百分比。 單個分子來說，表示單個分子的速率出現在 v 值附近單位速率區(qū)間內的概率，即概率密度。表示速率在v v + v區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比。物理意義第30頁，共52頁。二、麥克斯韋速率分布律 麥克斯韋速率分布函數速率分布在區(qū)間 v v + dv 的分子數占總分子數的比率為： 1859年，麥克斯韋首先從理論上導出了平衡態(tài)下理想氣體分子速率分布函數的數學形式： 麥克斯韋速率分布律第31頁，共52頁。

16、對于任意一個以 v 為變量的物理量A = A（v），其統(tǒng)計平均值等于系統(tǒng)處于各個可能狀態(tài)的概率與相應的A（v）乘積的總和。 由概率論可知 求解與分子速率相關的各種物理量的統(tǒng)計平均值的基本關系式 例： 分子的平均平動動能 分子的平均速率 第32頁，共52頁。麥克斯韋速率分布曲線 曲線從原點出發(fā)，隨著速率增大而上升，在速率較小時上升較陡；達到極大值后，又隨著速率的增大而緩慢下降，并逐漸接近于橫坐標軸。這表明氣體分子的速率可以取大于零的一切可能有限值，但處于不同的速率區(qū)間的分子數在總分子數中所占的比例是不同的，速率很大和速率很小的分子，其概率都很小，而具有中等速率的分子，其概率卻很大。 第33頁，共

17、52頁。麥克斯韋速率分布曲線1）速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數占總分子數的比率：由速率分布曲線可得到2）速率在 v v + d v區(qū)間內分子數占總分子數的百分比： （曲線下窄條的面積）第34頁，共52頁。麥克斯韋速率分布曲線3）速率在v1 v2區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比： （v1v2 區(qū)間內曲線下的面積）4）總面積：歸一化條件：第35頁，共52頁。三、三種統(tǒng)計速率平均速率 ：大量氣體分子的速率的平均值。方均根速率 ： 在研究氣體分子的碰撞頻率的問題時，要用到平均速率。 在討論分子無規(guī)則熱運動的平均平動動能時，要用到方均根速率。 是大量分子的速率平方平均值的平方根。第36頁，共52

18、頁。三種速率的比較：最概然速率 (最可幾速率) v p與分子速率分布函數曲線的極大值所對應的速率。v P 附近單位速率區(qū)間內的分子數占系統(tǒng)總分子數的比率最大 。在討論分子按速率的分布狀況時要用到最概然速率。 第37頁，共52頁。f ( v ) 與 T 和 m 的關系當T 升高時, 速率分布曲線的峰值點向右下移, 分布變平坦.當 m 減小時，速率分布曲線的峰值點向右下移，分布變平坦. N2 分子在不同溫度下的速率分布同一溫度下不同氣體的速率分布第38頁，共52頁。四、 麥克斯韋速度分布律 麥克斯韋速度分布函數 在平衡態(tài)下，當氣體分子之間的相互作用可忽略時，速度區(qū)間 ，即速度分量 v x 在區(qū)間v

19、 x v x+ d v x，v y 在區(qū)間v y v y+ d v y，v z 在區(qū)間 v z v z+ d v z內的分子數占總分子數的比率為：第39頁，共52頁。 例題7-7 若某種氣體在溫度T1 = 300K時的方均根速率等于溫度為T2 時的平均速率，求T2 = ？ 解 常溫下氣體可看作理想氣體，而方均根速率和平均速率分別為由已知條件 得： 第40頁，共52頁。例題7-9 有N個粒子，其速率分布函數為 （1）畫出速率分布曲線；（2）由N和v0求常數c ；（3）求粒子的平均速率；（4）求粒子的方均根速率。 解 （1）速率分布曲線如右圖所示。（2）速率分布函數必須滿足歸一化條件，即（3）第4

20、1頁，共52頁。 用總分子數N,氣體分子速率v,分子質量m,分子數密度n和速率分布函數 f(v) 表示下列各量:(1)分子速率大于v0的概率 。(2)速率大于v0的分子數 (3)速率大于v0的分子數密度 。(4)分子的平均速率 。(5)所有分子的平均平動動能 。(6)速率大于v0 的分子的平均速率 。隨堂討論第42頁，共52頁。(6)速率大于v0 的分子的平均速率：不對！正確解答第43頁，共52頁。7.5 玻耳茲曼分布律一、重力場中粒子按高度的分布設平衡氣體壓強隨高度變化的函數為 p = p（ z ）在氣體中取一柱體，面積 ，高度為d z。無外場 氣體的密度在空間分布均勻。有外場 氣體的密度在

21、空間分布不均勻。討論：平衡氣體在重力場中分子數密度隨高度的變化。氣柱上下端面所受壓力分別為:氣柱的質量：氣柱上下端面所受壓力差與氣柱所受重力相等整理得：第44頁，共52頁。由狀態(tài)方程 假定在 z = 0 處的分子數密度n 0，積分上式可得任一高度 z 處的分子數密度n ：由上式可得高度 z 處氣體的壓強為：等溫氣壓公式用它可近似估算大氣壓強隨高度的變化 若測知地面處的壓強及所在處的大氣壓強和溫度，可估算所在處的高度。第45頁，共52頁。二、玻耳茲曼分布律重力場中在其他外場的情況如何？玻耳茲曼密度分布律麥克斯韋速度分布律描繪分子在位形空間的分布描繪分子在速度空間的分布動能 + 勢能 = 能量描繪分子按能量的分布規(guī)律 玻耳茲曼能量分布律 從統(tǒng)計觀點來看，分子總是處于低能狀態(tài)的概率大些，而處于高能狀態(tài)的概率小些。 第46頁，共52頁。7.6 氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程一、分子的平均碰撞頻率d 稱為分子的有效直徑，數量級為10-10m。 分子在運動中相互靠近，并在分子力作用下發(fā)生短時間相互作用。若用 d 表示兩個分子質心距離的平均值，分子的碰撞相當于兩個直徑為d 的彈性球相碰撞 。1、分子碰撞實質第47頁，共52頁。2、分子的平均碰撞頻率平均碰撞頻率：