工學第六節(jié)行列式按行列展開課件

1、線性代數(shù)講義設計制作王新心8/4/2022第1頁，共36頁。（一）余子式和代數(shù)余子式1.6 行列式按行（列）展開（二）行列式按行（列）展開8/4/2022第2頁，共36頁。一般而言，第一章 行列式低階行列式比高階行列式的計算要簡單，所以有時會考慮用較低階行列式來表示較高階行列式。 【定義】在階行列式中，將元留下的所在的第行和第列的元素劃去后，階行列式稱為元的余子式，記作稱為元的代數(shù)余子式。（一）余子式和代數(shù)余子式8/4/2022第3頁，共36頁。例如四階行列式第一章 行列式元的余子式和代數(shù)余子式分別為8/4/2022第4頁，共36頁。第一章 行列式 【引理】一個階行列式，的所有元素除元外都為0

2、，那么這個行列如果其中第 行即等于與它的代數(shù)余子式的乘積，證先證的情形，此時（二）行列式按行（列）展開8/4/2022第5頁，共36頁。第一章 行列式有這是上節(jié)例4中當時的特殊情況，再證一般情形又從而此時8/4/2022第6頁，共36頁。第一章 行列式為了利用上面結(jié)論，調(diào)換：對的行列作如下行、第1行對調(diào)，這樣數(shù)就調(diào)成元，將的第行依次與第行、第調(diào)換的次數(shù)為次；再將第列依次與第這樣數(shù)就調(diào)列、第列、第1列對調(diào)，成元，調(diào)換次數(shù)為次?？傊?，經(jīng)次調(diào)換，將數(shù)調(diào)成了元，所得的行列式8/4/2022第7頁，共36頁。第一章 行列式有第1行其余元素都為0，利用前面的結(jié)果，于是而中元的余子式就是中元的余子式。由于的

3、元為，證畢8/4/2022第8頁，共36頁。第一章 行列式 【定理】行列式等于它的任一行（列）的各元素與之對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證8/4/2022第9頁，共36頁。第一章 行列式8/4/2022第10頁，共36頁。第一章 行列式根據(jù)引理得類似地，若按列證明得此定理稱為行列式按行（列）展開法則。利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，行列式的計算?？梢院喕?/4/2022第11頁，共36頁。第一章 行列式解例1計算上節(jié)中行列式8/4/2022第12頁，共36頁。第一章 行列式8/4/2022第13頁，共36頁。第一章 行列式證例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式利用數(shù)學歸納法8/4/2

4、022第14頁，共36頁。第一章 行列式（1）式成立。所以當時，成立，要證（1）式對階范德蒙德行列式成立假設（1）式對于階范德蒙德行列式為此設法將降階，從第行開始，后行減去前行的倍，有8/4/2022第15頁，共36頁。第一章 行列式按第1列展開，并將每列的公因子提出，有8/4/2022第16頁，共36頁。第一章 行列式按歸納法假設，上式右端的行列式是階范德蒙德行列式，它等于所有因子的乘積其中，故證畢8/4/2022第17頁，共36頁。第一章 行列式故例如行列式是一個范德蒙德行列式8/4/2022第18頁，共36頁。第一章 行列式 【推論】行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)

5、余子式乘積之和等于零，即證將行列式按第行展開8/4/2022第19頁，共36頁。第一章 行列式在上式中，可得將換成，8/4/2022第20頁，共36頁。第一章 行列式上式右端行列式中有兩行對應元素第行第行當時，8/4/2022第21頁，共36頁。第一章 行列式相同，故行列式等于零，證畢即得上述證法如按列進行，即可得8/4/2022第22頁，共36頁。第一章 行列式綜合定理3及推論，重要性質(zhì)：或有關于代數(shù)余子式的當當當當其中當當8/4/2022第23頁，共36頁。第一章 行列式按照上述推論中所用的方法，在行列式按第行展開式中，用依次代替，可得8/4/2022第24頁，共36頁。第一章 行列式事實

6、上，將式左端行列式按第行展開，它的元的代數(shù)余子式等于中元8/4/2022第25頁，共36頁。第一章 行列式的代數(shù)余子式，類似地，也可知式成立。用代替中的第列，可得8/4/2022第26頁，共36頁。第一章 行列式例3設求的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，及8/4/2022第27頁，共36頁。第一章 行列式等于即用代替的第1行所得的行列式，解由式可知，8/4/2022第28頁，共36頁。第一章 行列式由式可知8/4/2022第29頁，共36頁。內(nèi)容小結(jié)第一章 行列式1、行列式按行（列）展開8/4/2022第30頁，共36頁。第一章 行列式2、代數(shù)余子式的性質(zhì)或當當當當其中當當8/4/2022第31頁，共36頁。第一章 行列式1、設數(shù)余子式。解求的值，其中為元素的代備用題8/4/2022第32頁，共36頁。第一章 行列式2、設階行列式求第一行各元素代數(shù)余子式之和8/4/2022第33頁，共3