工學(xué)第5章-常微分方程課件

1、常微分方程及差分方程第一節(jié) 微分方程的概念第二節(jié) 常見的一階微分方程第三節(jié) 高階微分方程第四節(jié) 歐拉方程第五節(jié) 微分方程的應(yīng)用第六節(jié) 差分方程簡介第1頁，共59頁。微分方程簡介 方程：線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等。用微積分描述運動，便得到微分方程。例如描述物質(zhì)在一定條件下的運動變化規(guī)律；某個物體在重力作用下自由下落時距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行的軌道等。微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、

2、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。第2頁，共59頁。微分方程簡介常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。第3頁，共59頁。微分方程簡介利用微分方程可以精確地表述事物變

3、化所遵循的基本規(guī)律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。常微分方程的特點：求通解 與特解 常微分方程的應(yīng)用：自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研 究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就。第4頁，共59頁。第一節(jié) 微分方程的概念一.實例例1. 曲線過(0,1),且曲線上每個點處的切線斜率等于該點的橫坐 標(biāo),求此曲線方程.設(shè)曲線方程為 y = y(x),則例2. 質(zhì)量為m的物體垂直上拋, t =0 時,初始位移和初速度分別為求物體的運動規(guī)律.設(shè)運動

4、方程為S=S(t),則兩次積分分別得出:條件代入:第5頁，共59頁。二. 概念1. 微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.(前例)未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本章內(nèi)容2. 階:未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例1是一階微分方程,例2是二階微分方程.n階方程一般形式:必須出現(xiàn)3. 解:如果將函數(shù) y=y(x) 代入方程后恒等,則稱其為方程的解.如果解中含有任意常數(shù),且個數(shù)與階數(shù)相同通解不含任意常數(shù)的解特解必須獨立n階方程通解一般形式:第6頁，共59頁。4. 定解條件或初值條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個數(shù)要和階數(shù)相同,才能

5、確定唯一特解！.5. 幾何意義:通解積分曲線族特解積分曲線例:驗證 是 的通解對 用隱函數(shù)求導(dǎo)法得:故 是方程的解,且含有一個任意常數(shù).通解第7頁，共59頁。第二節(jié) 幾種常見的一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類型.一階微分方程的一般形式我們研究的形式一、可分離變量的微分方程(1)解法:1.分離變量:2.兩邊積分:3.得出通解:只寫一個任意常數(shù)第8頁，共59頁。例:任意常數(shù),記為C絕對值號可省略定解條件代入:C=2故特解為:第9頁，共59頁。二.齊次方程如果方程(1)可化成:齊次方程解法:令 化成可分離變量方程.例:第10頁，共59頁。*可化為齊次方程的方程 解法：若 則先令 求

6、出解 再作變量代換 于是原方程化為齊次方程.若作變量代換，原方程化為可分離變量的方程.第11頁，共59頁。 例 解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0.解得x0=1,y0=1第12頁，共59頁。三.一階線性方程一般形式:(2)(3)一階線性齊次方程一階線性非齊次方程自由項方程(3)是可分離變量方程,其通解為:方程(2)的通解常數(shù)變易法設(shè)(2)的通解:代入方程(2):第13頁，共59頁。則方程(2)的通解:(4)注:1. 一階線性非齊次方程的通解可用常數(shù)變易法或公式(4) 計算皆可;.2. 公式(4)中不定積分只求一個原函數(shù)即可;3.非齊次方程的特解齊次方程的通解非齊次方程解的

7、結(jié)構(gòu)例:第14頁，共59頁。例: 求方程 滿足初始條件 的特解.將 y 視為自變量,可以變成關(guān)于 x 的線性方程:由 得:故所求特解為:第15頁，共59頁。四.伯努利方程一般形式:當(dāng) n= 0 或1時,這是線性方程.當(dāng) 時,可以化成線性方程:兩端同除以令則關(guān)于 z 的線性方程求出通解后再還原回 y第16頁，共59頁。例:兩端同除以令代入通解為第17頁，共59頁。五.全微分方程對于微分方程則通解為全微分方程注:(1).當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且時,上述方程為全微分方程.(2).(3). 對于非全微分方程,有時可以找到函數(shù) , 使得全微分方程積分因子(4). 觀

8、察法往往很實用.第18頁，共59頁。例:因為全微分方程取解法一:解法二:第19頁，共59頁。例:非全微分方程由于則 是積分因子,同乘以積分因子并積分得通解:易知 也是積分因子例:非全微分方程變形則 是積分因子,第20頁，共59頁。注意:其他類型的微分方程往往可以化成上述類型例:視 x 為 y 函數(shù),可化成線性方程通解為:第21頁，共59頁。思考第22頁，共59頁。第23頁，共59頁。第24頁，共59頁。第三節(jié) 高階微分方程一、可降階的微分方程-變量代換法兩邊積分:連續(xù)積分n次得出含有n個任意常數(shù)的通解.1. 型方程再積分:例:逐次積分得:第25頁，共59頁。2. 型方程令 ,則方程變?yōu)?解出這

9、個一階方程的通解:則原方程的通解為:例:令 ,則方程變?yōu)?解得:第26頁，共59頁。例:令 ,則因為則因為所求特解為:第27頁，共59頁。3. 型方程令 ,方程變?yōu)?解出這個以 y 為自變量的一階方程的通解:則原方程的通解為:例:則令 ,則方程變?yōu)?即:或者第28頁，共59頁。的通解為:其通解為:即其通解為:例:令 ,則方程變?yōu)?即:此題看作類型二和類型三皆可,經(jīng)過嘗試用前者簡單第29頁，共59頁。練習(xí)第30頁，共59頁。第31頁，共59頁。二、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:當(dāng) 時,當(dāng) 時,n階線性非奇次方程n階線性奇次方程下面以二階方程為例,討論高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).第32頁，共5

10、9頁。1. 二階線性奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:顯然, y = 0 是(2)的解.平凡解討論非平凡解:定理. 如果 是(2)的兩個解,則 也是(2)的解,其中 為任意常數(shù).證明:由于 是(2)的兩個解,所以將 代入(2)的左端:第33頁，共59頁。則 也是(2)的解.注意: 不一定是通解.例如:是(2)的解,則 也是(2)的解.此時不是通解函數(shù)的線性相關(guān)和線性無關(guān)設(shè) 為定義在 I 上的 n 個函數(shù),如果存在n個不全為零的常數(shù) ,使得線性相關(guān)否則,線性無關(guān)第34頁，共59頁。例如:線性相關(guān)在任意區(qū)間I上:取線性無關(guān)要使 ,必須對于兩個函數(shù):如果它們之比為常數(shù),則線性相關(guān);否則,線性無關(guān)定理5.3.

11、1 若 是(2)的兩個線性無關(guān)的特解,則 是(2)的通解, 為任意常數(shù).例如:是它的特解,線性無關(guān)通解第35頁，共59頁。2. 二階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:定理5.3.2 若 是(3)的一個特解, 是(3)對應(yīng)的奇 次方程(2)的通解,則 是(3)的通解.則 是(2)的通解.而 是(3)的一個特解證明:由于Y是(2)的的通解,所以將 代入(3)的左端:注意: Y 中含有兩個任意 常數(shù),因此 y 是通解.第36頁，共59頁。注:當(dāng)(3)式的自由項為幾項之和時,特解如何求出?證明:定理5.3.3 若 分別是 的特解,則 是方程的特解.將 代入(4)的左端:則 是(4)的解.第37頁，共59

12、頁。第38頁，共59頁。3. 二階常系數(shù)線性奇次方程一般形式:p,q為常數(shù)分析由方程特點假設(shè)將 代入(1)得:當(dāng) 滿足(2)時, 是(1)的一個特解.特征方程特征根根據(jù)特征根的三種不同情形,方程(1)的通解有三種情形.第39頁，共59頁。1.特征根為相異實根 :是(1)的兩個線性無關(guān)的特解,則(1)的通解為2.特征根為二重根 :是(1)的一個特解,求另一個線性無關(guān)的特解.設(shè) 代入方程(1):取得到另一個線性無關(guān)的特解則(1)的通解為第40頁，共59頁。線性無關(guān)特解3.特征根為共軛復(fù)根:是(1)的兩個特解,則(1)的通解為例:則通解為第41頁，共59頁。例:則通解為則特解為例:則通解為第42頁，

13、共59頁。注:上述解法可推廣到 n 階常系數(shù)線性奇次方程:特征方程第43頁，共59頁。例:則通解為4. 二階常系數(shù)線性非奇次方程一般形式:p,q為常數(shù)由解的結(jié)構(gòu)可知, (4)的通解是:故只要求出(4)的一個特解 .待定系數(shù)法n 次多項式與指數(shù)函數(shù)乘積待定多項式第44頁，共59頁。(1).當(dāng) 不是特征根時:因此取(2).當(dāng) 是特征單根時:因此 是 m次多項式, 是m+1次多項式,第45頁，共59頁。例:求 的一個特解. 由于 不是特征根,則設(shè)將 代入方程得:則一個特解為(3).當(dāng) 是特征重根時:因此 是 m次多項式, 是 m+2 次多項式,第46頁，共59頁。由于 是特征單根,則設(shè)將 代入方程得

14、:則一個特解為因此通解為:例:求 的通解. 則對應(yīng)的奇次方程的通解為第47頁，共59頁。2. 型此時設(shè)特解為:不是特征根是特征根證明略m 次多項式第48頁，共59頁。例:求 的一個特解. 則設(shè)將 代入方程得:則一個特解為例: 求 的通解. 則對應(yīng)的奇次方程的通解為第49頁，共59頁。由于 是特征根,則設(shè)將 代入方程得:則一個特解為因此通解為:第50頁，共59頁。題型解析第51頁，共59頁。第52頁，共59頁。第53頁，共59頁。第54頁，共59頁。第55頁，共59頁。第56頁，共59頁。第四節(jié) 歐拉方程和常系數(shù)線性微分方程組1.歐拉（Euler）方程的解法形如 其中為常數(shù).特點：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)恰等