流體力學(xué)課程教學(xué)課件(精華版)74p

1、第六章 理想不可壓縮流體的運(yùn)動6.1 理想不可壓縮流體運(yùn)動基本方程6.2 二維無旋運(yùn)動6.3 基本無旋流6.5 有旋運(yùn)動6.4 理想流體繞圓柱的流動 連續(xù)性方程 質(zhì)量守恒定律對流體運(yùn)動的一個基本約束 用歐拉觀點(diǎn)對質(zhì)量守恒原理的描述：連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動必須維持質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)性，即質(zhì)點(diǎn)間不能發(fā)生空隙。因此，凈流入控制體的流體質(zhì)量必等于控制體內(nèi)因流體密度變化而增加的質(zhì)量。6.1 理想不可壓縮流體運(yùn)動基本方程連續(xù)性方程xyzodxdydzuzabcdabcd 在時(shí)間段dt 里，沿著 y 方向和 z 方向凈流入左右和上下兩對表面的流體質(zhì)量分別為和uy三維流動的連續(xù)性微分方程 在時(shí)間段dt 里，微元內(nèi)流體質(zhì)量的增

2、加 根據(jù)質(zhì)量守恒原理簡化或?qū)懗蓪τ诓豢蓧嚎s流體的流動，密度是常數(shù)，連續(xù)方程為恒定流動的連續(xù)方程速度場的散度流體微團(tuán)在三個互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團(tuán)的體積膨脹率。連續(xù)性方程在球坐標(biāo)中的形式為連續(xù)性方程在柱坐標(biāo)中的形式為 連續(xù)方程 表明不可壓縮流體微團(tuán)在三個互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個方向上有拉伸，則必有另一個方向上的壓縮，在運(yùn)動過程中其體積不會發(fā)生變化。歐拉方程 作用于運(yùn)動流體上的力分為兩類，一類是作用于整個流體體積上的力，稱為徹體力，另一類是作用于流體表面上的力，稱為表面力。 在理想不可壓縮流體運(yùn)動中，微元體上的作用力之和等于微元體質(zhì)量與其運(yùn)動加速度的乘積

3、。歐拉方程球坐標(biāo)形式的歐拉方程 柱坐標(biāo)形式的歐拉方程 如果不可壓縮流體做定常運(yùn)動，且徹體力有勢W，即則歐拉方程沿流線s的積分得到伯努利方程流體做無旋流動時(shí)，歐拉方程積分可得理想不可壓縮流體基本方程組 將不可壓縮流體的連續(xù)性方程和運(yùn)動方程組合在一起，得到理想不可壓縮流體的運(yùn)動方程組，即初始條件是t=t0時(shí)邊界條件為 方程組仍然是非線性的，速度u和壓力p互相影響，求解方程相當(dāng)困難。如果運(yùn)動無旋，方程組可以得到重大簡化。理想不可壓縮流體無旋流動基本方程組若流體作無旋運(yùn)動，存在速度勢，使代入連續(xù)性方程 上式是一個二階線性偏微分方程，通常稱為拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的解具有可疊加性。 如果流體理想不可

4、壓縮，重力有勢，運(yùn)動無旋，由歐拉方程積分得到拉格朗日積分求出速度勢后得到速度，代入拉格朗日積分求出壓力分布p。理想不可壓縮流體，重力有勢，其基本方程組為初始條件是t=t0時(shí)邊界條件為6.2 二維無旋運(yùn)動 真實(shí)流體是有粘性的流體，而粘性流體都是有旋的。在實(shí)際中，許多粘性流體的流動可以簡化成理想的無旋運(yùn)動。在數(shù)學(xué)上，處理無旋運(yùn)動比有旋運(yùn)動簡單得多，可以通過求解線性運(yùn)動方程決定速度分布，再由伯努利積分決定壓力。流函數(shù)和速度勢函數(shù)是求解二維無旋問題的重要數(shù)學(xué)工具。流函數(shù)的定義流體運(yùn)動時(shí)各有關(guān)物理量在空間的分布僅依賴于兩個坐標(biāo)來確定二維運(yùn)動 如果流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度都與已知的x-y平面平行，且所有平面上的

5、流動情況都相同，則二維流動的流線方程為或連續(xù)性方程為或全微分條件 必然存在一個函數(shù)，使 流線是等流函數(shù)線，給予不同的常數(shù)可以得到一簇流線。通常將與流體接觸的壁面視為零流線。這稱為流函數(shù)，上式可得到流函數(shù)的定義式為當(dāng) 時(shí)，可得表示穿過 M0 至 M 連線的流量，它與連線路徑無關(guān)，在起點(diǎn) M0 確定的情況下是終點(diǎn) M 的坐標(biāo)的函數(shù)。 根據(jù)定義確定流函數(shù)時(shí)選取不同的起點(diǎn) M0 ，流函數(shù)將相差一個常數(shù)，但同樣不會影響對流場的描述。M0M 對于不可壓流體的平面流動是容易理解的，而三維流動就得不到這樣的結(jié)論。 兩點(diǎn)流函數(shù)的差表示穿過兩點(diǎn)間任意連線的流量。（常數(shù)）不可壓流體平面流動的流線方程 表示有流量自M

6、1M2連線左側(cè)流進(jìn)右側(cè)，由此可確定流動方向。如圖中所示, 若M1M2畫出穿過微元弧長的流量示意圖，可以幫助記憶流函數(shù)定義。在直角坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中流函數(shù)與流量的關(guān)系 在流體作二維運(yùn)動的流場中，用任意曲線將兩點(diǎn)連接起來，某時(shí)刻通過該曲線上的微元線段dl的流量為un是微元線段上M點(diǎn)出的法向速度于是結(jié)合流函數(shù)的定義式可得 上式表明單位時(shí)間內(nèi)通過曲線微元上的流量等于流函數(shù)的微分。沿曲線積分，得到流經(jīng)任意線段AB的流量 可知，流經(jīng)任意曲線AB的流量等于該曲線兩個端點(diǎn)上的流函數(shù)之差，與曲線的形狀無關(guān)。流函數(shù)方程 已知流函數(shù)可以求得任意二維流場的速度場，流體在x-y平面內(nèi)作有旋運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)角速度不為零，有將

7、流函數(shù)的定義式代入上式，得 流體在x-y平面內(nèi)作無旋運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)角速度為零，有流體二維流動引入流函數(shù)，可以通過改寫方程減少未知量，使計(jì)算簡便。因此廣泛使用流函數(shù)表示流體的流動。無論是無旋運(yùn)動還是有旋運(yùn)動，只要流體作二維運(yùn)動，都可以采用流函數(shù)的概念。如果流體運(yùn)動無旋，其旋度為零。這是全微分方程的充要條件，必然存在一個函數(shù)全微分為 這稱為速度勢函數(shù)?？芍俣葎莸姆较?qū)?shù)是速度。速度勢有類似力勢的特性，即與起點(diǎn)位置無關(guān)，只決定于兩點(diǎn)之間的勢差。無旋運(yùn)動或比較上兩式得到速度分量和函數(shù)之間的關(guān)系M0M1Oyxz速度勢函數(shù)的求法（一） 與路徑無關(guān)，可選一條簡便的路徑計(jì)算。 起點(diǎn)不同，速度勢相差一個常數(shù)，不會

8、影響對流場的描述。速度勢函數(shù)的求法（二）尋找全微分，確定速度勢 要按照定義求速度勢，不要誤認(rèn)為做三個獨(dú)立的不定積分。 給出流場，求解速度勢，要先檢查流場是否無旋。代入確定例已知速度場 此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證由知按定義求按三個不定積分求滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。極坐標(biāo)中速度勢函數(shù)的微分為 不可壓流體無旋流動的速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。dldrxyrddr例已知速度場 此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證r = 0 奇點(diǎn)已知速度場例 此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證r = 0 奇點(diǎn) 以上速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是在不可壓

9、縮流體平面無旋流動的條件下建立的。在不可壓縮流體平面有旋流動中就只有流函數(shù)，沒有速度勢。在不可壓縮流體三維無旋流動中就只有速度勢，沒有流函數(shù)。注意如不可壓縮流體平面流動的流函數(shù) 流動有旋，不存在速度勢。求流函數(shù)求速度勢查是否平面不可壓查是否無旋二維無旋運(yùn)動 比較速度勢和流函數(shù)的定義式，可以得到流體作二維無旋運(yùn)動時(shí)的勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系 勢函數(shù)等于常數(shù)時(shí)可以得到等勢線，在等勢線上速度勢的數(shù)值是一定的。流函數(shù)等于常數(shù)可以得到流線。 聯(lián)系兩者的關(guān)系稱為哥西-黎曼條件?？梢宰C明流線和等勢線正交，因?yàn)閷⑺俣葎莸亩x式代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程得上式稱為拉普拉斯方程。它是線性方程，兩個解的和或差也是原方

10、程的解，因此復(fù)雜流場的解可以由一些簡單流場的解疊加而得到。求解拉普拉斯方程關(guān)鍵在于求得給定的邊界條件下的特解，得到勢函數(shù)，從而確定速度場。在固壁上，勢函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件是法向速度為零。對于用流函數(shù)表示的繞流問題，要求零流線與物體壁面重合。勢流基本方程6.3 基本無旋流 均勻流、徑向流和環(huán)流等基本無旋流，可以作為疊加求解復(fù)雜無旋運(yùn)動問題的基本數(shù)學(xué)單元。均勻流 均勻直線流動是最簡單的流型，具有平行的直線流線，速度分布均勻。其速度分布為 其中U是均勻流的速度，C是積分常數(shù)。當(dāng)流體繞過物體時(shí)，遠(yuǎn)離物體表面的來流可以近似認(rèn)為是均勻流。積分可得速度勢和流函數(shù)o2x14y2331 實(shí)際上是與流動平面垂直的

11、一條無限長線源，單位長度源強(qiáng)為Q Q為正稱為點(diǎn)源，Q為負(fù)稱為點(diǎn)匯。徑向流oxy2142331等勢線流線點(diǎn)源處，是流場的奇點(diǎn)以點(diǎn)源為圓心的同心圓從點(diǎn)源出發(fā)的半射線x 流線是同心圓、徑向速度為零的流動稱為環(huán)流。在柱坐標(biāo)中旋轉(zhuǎn)角速度和徑向速度均為零。 環(huán)量以逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。o21y2331環(huán)流等勢線流線點(diǎn)渦處，是流場的奇點(diǎn)從點(diǎn)源出發(fā)的半射線以點(diǎn)源為圓心的同心圓o21y2331x一對等強(qiáng)度的源和匯疊加的極限情況間距保持不變強(qiáng)度即偶極子方向：匯源偶極子強(qiáng)度：MyxoM (x,y)r1r2r12AB偶極流 強(qiáng)度為M，方向?yàn)?x 軸的偶極子的速度勢yxop(x,y)rArBr12AB 強(qiáng)度為M，方向

12、為 x 軸的偶極子的流函數(shù)yxop(x,y)rArBr12AB 偶極子方向?yàn)?x 軸，結(jié)果反號。xy偶極子的流線圓心在 y 軸上與 x 軸相切的圓 =C=Cm偶極子的等勢線 圓心在 x 軸上與 y 軸相切的圓6.4 理想流體繞圓柱的流動 長圓柱物體在靜止流場中作勻速直線運(yùn)動，在靜坐標(biāo)系中觀察到繞圓柱的流體運(yùn)動時(shí)非定常的。采用固結(jié)在圓柱物體的動坐標(biāo)系，在其中觀察到繞圓柱的流體運(yùn)動時(shí)定常的，于是問題轉(zhuǎn)化為作勻速直線流通的流體繞靜止的長圓柱物體運(yùn)動。理想流體繞圓柱體流動繞長圓柱流動的流函數(shù)為零流線方程為故零流線可表示為偶極矩滿足的流動邊界條件為流體不能穿透物體表面，繞圓柱粘附在其表面的邊界流線是零流

13、線。上式表明，零流線是圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為r0的圓，以及ox軸與該圓連接的兩個分支。根據(jù)拉普拉斯方程，有均勻流和偶極流疊加得到流函數(shù)。滿足邊界條件的流函數(shù)為速度勢為 在極坐標(biāo)中，流體繞經(jīng)圓柱體的速度分布與速度勢的關(guān)系為當(dāng)r=r0時(shí)，滿足邊界條件的速度分布為圓柱體表面的速度方向沿圓周切線方向。當(dāng)角度為180度時(shí)，稱為前臨界點(diǎn)，速度為零；當(dāng)為0度時(shí)，稱為后臨界點(diǎn)，速度為零；當(dāng)為90度時(shí)，速度最大。為求壓力分布，不計(jì)重力影響可列出伯努利方程代入速度分布得在圓柱表面上壓力分布為當(dāng)角度為0或180度時(shí)壓力為當(dāng)角度為90或270度時(shí)壓力為 流體繞圓柱體的壓力分布，在0到90度的范圍內(nèi)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值相差

14、很大，這是由于沒有考慮到粘性的影響，實(shí)際流體流過圓柱體表面時(shí)，柱體表面薄層流體的粘性力影響很大。在70到100度的范圍內(nèi)，流體將與柱體發(fā)生分離，不再粘附在柱體表面上，而在柱體后緣形成渦旋區(qū)。采用理想流體模型計(jì)算，圓柱體只受到來流的對稱性壓力，受到的阻力為零，這顯然與實(shí)際情況相違背。著名的達(dá)朗伯悖理表述了這一矛盾現(xiàn)象。 物體在靜止流體中開始運(yùn)動時(shí)，也會引起周圍流體開始運(yùn)動。物體以定常速度運(yùn)動，所獲得的動能是物體的動能Eb和引起運(yùn)動的流體質(zhì)點(diǎn)的動能Ef 之和，即 提供給物體運(yùn)動的能量大于物體自身運(yùn)動需要的能量，就好像是增大了質(zhì)量的物體在運(yùn)動。附加質(zhì)量如下式定義視質(zhì)量為例圓柱體以速度U運(yùn)動時(shí)，附加質(zhì)

15、量為有環(huán)量的繞圓柱流動 有環(huán)量存在的繞圓柱流動，是一種無旋流動與有旋運(yùn)動同時(shí)存在的復(fù)雜流場。流場中因?yàn)橹w旋轉(zhuǎn)而具有環(huán)量，環(huán)量的出現(xiàn)使運(yùn)動流體中的物體受到了升力。確定流場的速度分布后，柱體受到的升力可以通過其表面的壓力分布求得。 流場的速度勢和流函數(shù)由理想流體繞圓柱體和環(huán)流疊加得到可得到流場的速度分布為在柱體表面上令 得到 上式給出臨界點(diǎn)位置的三種情況：當(dāng) 時(shí)，分別位于 和 有兩個對稱分布的臨界點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)， 和 ，兩個臨界點(diǎn)合二為 一，位于柱體表面y軸的正下方。當(dāng) 時(shí)，在柱體表面以外有一個臨界點(diǎn)，這時(shí)在柱 體表面周圍形成一個非圓形流線的環(huán)流運(yùn)動區(qū)域。由理想流體繞圓柱的壓力分布和速度分布得在柱面

16、上r=r0壓力分布對稱于y軸，而不對稱于x軸。圓柱體表面下半部分的壓力處處大于上半部分各點(diǎn)的壓力，最大壓力在臨界點(diǎn)出，最小壓力在圓柱體截面的頂點(diǎn)。繞圓柱體的有環(huán)量無旋運(yùn)動，壓力分布與速度環(huán)量有關(guān)。馬格努斯效應(yīng)作用在圓柱體上的壓力合力在x軸和y軸上的投影分別為理想流體作有環(huán)量的平移流動時(shí)，對產(chǎn)生環(huán)量的繞軸線自旋的長圓柱體作用的力，是與圓柱體自旋軸線垂直的橫向力。升力的方向，可以由來流速度矢量方向逆環(huán)流方向轉(zhuǎn)過90度得到。因?yàn)槭抢硐肓黧w繞圓柱體流動，所以圓柱體在水平方向受到的阻力為零。無旋流動有旋流動這個分類是 很重要的旋度 判別的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看流速場的旋度是否為零有旋流動和無旋流動的判別6.5 有

17、旋運(yùn)動 渦線是渦量場的矢量線，是某瞬時(shí)對應(yīng)的流場中的曲線，該瞬時(shí)位于渦線上各點(diǎn)對應(yīng)的渦量都沿著渦線的切向。與流線一樣，渦線是與歐拉觀點(diǎn)相對應(yīng)的概念。渦線渦量、渦線、渦管和渦通量 對于有旋流動，將流速場的旋度稱為渦量，它是流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度矢量的兩倍。渦量場是矢量場。渦量 根據(jù)定義，渦線的微分方程為 實(shí)際上這是兩個微分方程，其中 t 是參數(shù)。可求解得到兩族曲面，它們的交線就是渦線族。其中渦線微分方程 在流場中，取一條不與渦線重合的封閉曲線 L，在同一時(shí)刻過 L上每一點(diǎn)作渦線，由這些渦線圍成的管狀曲面稱為渦管。渦管渦線渦管 與渦線一樣，渦管是瞬時(shí)概念渦通量dAAn渦管強(qiáng)度 通過流場中某曲面 A 的

18、渦量通量稱為渦通量。 通過渦管任一截面 A 的渦通量又可稱為渦管強(qiáng)度A留下一個問題：為什么可取任一截面計(jì)算渦管強(qiáng)度速度環(huán)量、斯托克斯定理速度環(huán)量 定義流速矢量 u 沿有向曲線 L 的線積分為速度環(huán)量斯托克斯定理udlndA封閉曲線 L 是 A 的周界， L 的方向 與 n 成右手系。沿 L 的速度環(huán)量通過 A 的渦通量=例已知 不可壓縮流體速度分布 渦線方程及沿封閉圍線的速度環(huán)量求求渦量場 求渦線 求速度環(huán)量 在 z = 0 平面上，渦量為A 關(guān)于 x 軸對稱旋渦隨空間的變化規(guī)律奧高定理nuVAdA 矢量場通過一封閉曲面的通量（流出為正）等于矢量場的散度在封閉曲面所圍空間域上的積分。根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)方程 奧高定理可解釋為：不可壓縮流體通過任一封閉曲面的體積流量為零。渦量場是無源場（管形場） 矢量場的散度表示矢量場的源匯強(qiáng)度。散度為零的矢量場也稱無源場，其矢量線必成管狀，所以也稱管形場。 渦量的散度必為零 由于渦管側(cè)壁沒有渦通量，所以根據(jù)渦量場是無源場可得如下結(jié)論：渦線渦管 在同一時(shí)刻，穿過同一渦管的各斷面的渦通