概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái).也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象. 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率 研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種: 與大數(shù)定律中心極限定理下面先介紹大數(shù)定律下面的大數(shù)定律將(2.1)進(jìn)行了推廣.是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù).則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 引入由概率的頻率定義知道, 對(duì)于成功的頻率,有5.2 大數(shù)律 稱隨機(jī)

2、變量的序列為隨機(jī)序列(random sequence). 其含義是n很大時(shí), 與 有非零差距的可能性很小。則稱序列 依概率收斂于 . 記為定義 2.1 設(shè) 是隨機(jī)序列， 是隨機(jī)變量，如果對(duì)任意的 0，有 設(shè)隨機(jī)序列 獨(dú)立同分布，并且 有限，則有 定理2.1通常把類似于2.5的結(jié)論稱為弱大數(shù)律(weak law of large numbers).由切比雪夫不等式得：證明：例1（接4.1 的例1.4 )在賭對(duì)子時(shí), 甲每次下注100元. 如果他連續(xù)下注n次, 證明他的盈利Sn滿足 證明： 用Xi表示甲第i次下注的盈利, 則X1,X2, Xn獨(dú)立同分布. 由4.1的例1.4知 =EXi=-18.6

3、, Sn=X1+X2+Xn. 利用和定理2.1得到, n 時(shí)，P(Sn 18n) P(| | 0.6)于是，P(Sn 18n) = 1 P(Sn 18n) 1.說(shuō)明下注的次數(shù)n越多, 至少輸18n元的概率越大。設(shè) 是隨機(jī)序列， 是隨機(jī)變量， 定義2.2如果則稱序列 以概率1收斂于 . 記為wp1 或 a.s.。 類似于(2.6)的結(jié)果稱為強(qiáng)大數(shù)律(strong law of large numbers). 從強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論(2.6)知道概率的頻率定義是合理的。定理 2.3 如果 wp1. 則強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論比弱大數(shù)律結(jié)論要強(qiáng): 設(shè)隨機(jī)序列 獨(dú)立同分布，并且 ，則有 定理2.2 證明：設(shè)p是任意小的正

4、數(shù), 事件A1, A2相互獨(dú)立, P(Ai)=p. 用 IAi 表示Ai的示性函數(shù), 則 IAi 獨(dú)立同分布.由強(qiáng)大數(shù)律得到所以說(shuō)明有無(wú)窮個(gè)Ai發(fā)生的概率是1.在多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)過(guò)程中, 小概率事件必然發(fā)生.例2 觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用都是微小的.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 該結(jié)論得益于高斯對(duì)測(cè)量誤差分布的研究.中心極限定理的客觀背景 5.3 中心極限定理 強(qiáng)大數(shù)律和弱大數(shù)律分別討論了隨機(jī)序列部分和的依概率收斂和以概率1收斂. 中心極限定理討論對(duì)充分大的n, 隨機(jī)變量序列部分和 X1+X2+ +Xn 的概率

5、分布問(wèn)題.令Sn = X1 + X2 + + Xn.則Sn為n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù),Sn B(n,p)。 時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。例3: 二項(xiàng)分布 則Xj iid B(1,p)(兩點(diǎn)分布)。獨(dú)立地重復(fù)某一試驗(yàn)，設(shè) 時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。若Xj iid P( ), 則由3.4 的例4.1知道部分和例4: Poisson(泊松)分布例5: 幾何分布部分和 設(shè) Xj獨(dú)立同分布都服從幾何分布上述分布稱為帕斯卡分布.可以將 Sn = X1 + X2 + + Xn 設(shè)想成第n次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)(參考幾何分布的背景), 于是得到 時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。注：得到第n次成功前失

6、敗的次數(shù)Y的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布，易見且Sn = Y + n.從演示看出 時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。這里 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).定理3.1.（中心極限定理） 設(shè)隨機(jī)序列 Xj 獨(dú)立同分布, 有共同的數(shù)學(xué)期望 和方差 . 部分和Sn =X1 X2 Xn, 則Sn的標(biāo)準(zhǔn)化依分布收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即對(duì)任何x,(3.2) 我們把結(jié)論(3.2)記成 , 其中的d表示依分布收斂. 中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí). 在一般情況下很難求出n個(gè)隨機(jī)變量之和 的分布

7、函數(shù)，定理3.1表明:當(dāng)n充分大時(shí),可以通過(guò) 給出其近似的分布. 因此可以利用正態(tài)分布對(duì) 作理論分析或作實(shí)際計(jì)算.推論3.2. 在定理3.1的條件下，對(duì)充分大的n ，部分和Sn =X1 X2 Xn, 的概率分布可以用正態(tài)分布近似.中心極限定理的應(yīng)用: 可以用N(0,1)近似計(jì)算關(guān)于 的概率，用N(n , n 2) 近似計(jì)算關(guān)于Sn的概率。例6: 近似計(jì)算 當(dāng)輻射的強(qiáng)度超過(guò)每小時(shí)0.5毫倫琴(mr)時(shí), 輻射會(huì)對(duì)人的健康造成傷害. 設(shè)一臺(tái)彩電工作時(shí)的平均輻射強(qiáng)度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 則家庭中一臺(tái)彩電的輻射一般不會(huì)對(duì)人造成健康傷害. 但是彩電銷售店同時(shí)有多臺(tái)彩電同時(shí)工作

8、時(shí), 輻射可能對(duì)人造成健康傷害. 現(xiàn)在有16臺(tái)彩電同時(shí)工作, 問(wèn)這16臺(tái)彩電的輻射量可以對(duì)人造成健康傷害的概率.例6: 近似計(jì)算解: 用Xi表示第i臺(tái)彩電的輻射量(mr/h),則Xi的數(shù)學(xué)期望是 =0.036, 方差是 =0.0081. Sn=X1+X2+ +X16是n=16臺(tái)彩電的輻射量. 題目要求P(Sn 0.5). 認(rèn)為Xi獨(dú)立同分布時(shí), 按照定理3.1,近似服從N(0,1)分布, 于是例6: 近似計(jì)算(續(xù))這16臺(tái)彩電以大約58%的概率會(huì)對(duì)人造成健康傷害.例7 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓 ，設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布，記 求PSn105 近似值

9、 。 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似推論3.3.設(shè)Sn B(n,p), p=1-q (0,1), 則 由定理3.1結(jié)論成立例9 某單位有200臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問(wèn)該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解：設(shè)有Sn部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有設(shè)有N條外線。由推論3.3得.08.3p)-np(110,np0.05,p200,n =其中由題意有例9 （續(xù)）.90.0)28.1(=F查表得,28.13.0810-N 應(yīng)滿足條件故N條外線。即至少要安裝取即14,14.94.13=NN例10. 用正態(tài)分布計(jì)算二項(xiàng)分布

10、設(shè)Sn B(n,p), 則Sn近似 N(np, npq)分布, 設(shè)X N(np,npq), 設(shè)a, b為非負(fù)整數(shù)。由中心極限定理, n 較大時(shí)但是注意Sn是取整數(shù)值的，所以上式右端用正態(tài)近似和(*)不同。例10.(續(xù))為此取折衷，令稱為連續(xù)性校正。此近似公式應(yīng)在 n 充分大時(shí)使用，實(shí)際規(guī)則可以用 min(np,nq)5。例10.(續(xù))特別地，某藥廠試制了一種新藥, 聲稱對(duì)貧血的治療有效率達(dá)到80%. 醫(yī)藥監(jiān)管部門準(zhǔn)備對(duì)100個(gè)貧血患者進(jìn)行此藥的療效試驗(yàn),若這100人中至少有75人用藥有效, 就批準(zhǔn)此藥的生產(chǎn). 如果該藥的有效率確實(shí)達(dá)到 80%, 此藥被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率是多少?解:用 Sn表示這n (=100