武漢數(shù)學(xué)物理方法級(jí)數(shù)

1、3.4級(jí)數(shù)函數(shù) f z 唯一的冪級(jí)數(shù)在環(huán)形域內(nèi)級(jí)數(shù)cz b kk 定義： Laurant級(jí)數(shù)k它是T級(jí)數(shù)的推廣由前冪級(jí)數(shù)的形式和Able定理知T級(jí)數(shù)存在一收斂圓域z-b R內(nèi)的和函數(shù)是一函數(shù),且在z-bR內(nèi)絕對(duì)收斂，在其較小的同心閉圓z-bR內(nèi)一致收斂。一、定理級(jí)數(shù)存在一收斂環(huán)域rz-b R,在收斂環(huán)域rz-bR內(nèi)的和函數(shù)是一函數(shù),且在其較小的同心閉環(huán)域rz-b R (rrRR)上一致收斂。1z b kz b k ck 0z b k c ckkkk k z b k: 在對(duì)于 cz - bR 內(nèi)絕對(duì)收斂kk 0在z - b R R上一致收斂且和函數(shù) f1 z1z b kz bk對(duì)于ck 1kc

2、z b ckkkk 1k 1 1 上絕對(duì)收斂在 ,r1r 1 上一致收斂且和函數(shù)fz在 2rz b k 1即 : ck : 當(dāng) z - br絕對(duì)收斂,r 一致收斂k r z - b綜上所述：在公共區(qū)域r z - bR 中L 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,在其內(nèi)較小閉環(huán)域 r r R R內(nèi)一致收斂z b知有T展開定理，證明有L展開定理。對(duì)于在圓域內(nèi)對(duì)于在環(huán)域內(nèi)的的函數(shù)函數(shù)二、Laurant展開定理若 f z 在 r z - bR 內(nèi)，則 cz b k ,k 1 2irzzbRkz f cdzl z bk 1k , r r R R l : z b R Rl1 : z b r rz bl2:l1則在 r R 內(nèi)z

3、brblr2R z 1 d f z l12 iz bkl1 : bk 1z b11 : b1 z1 b z b 1,l2z b b kz bs令k 1 s11 bk 0s 1 z b z b bk 1s 11 z bf z f d z b kf d z b k 1 l1l22 i b k 1 b k 1 k 0k 1 1 f d k 0zb k b 2 ik 1l1 1 f z b d k b k 1k 1 2 il 2f b k 12 ic k z b kld 其中 ckk 12注意:展開中心b不一定是函數(shù)的奇點(diǎn)如由例2看到2 k 1 1 1 f z 1 2 zz 1z 2 z kk 1其L

4、展級(jí)數(shù)以z=0微奇點(diǎn)，但f(z)在z=0卻是實(shí)上是L展開定理并未涉及f(z)在z=b是否的，事。k b fck展開系數(shù)公式k ! f z 在z b R中總是有奇點(diǎn)的,若 z b 為 f z 奇點(diǎn)則k b 不存在f ck z b kk唯一性：設(shè)不唯一則f(z)=c z b kkk 三、收斂范圍設(shè)a和 a 為f z 的兩個(gè)相鄰的奇點(diǎn), 則cz b k 在k a ba b bzka bb 中收斂a b 包括a , 如1f z z z 1 z 3 2 則 1 1 , z1 1: 在0 1,1 z kczz收斂2k2 k 1z 1 1 , 1 z 1k :在0 z 1 1,ck22k 1z 1 1收斂3

5、 k3212z :在0 z c收斂k2 k 1四、展開方法1.直接利用展開定理(機(jī)會(huì)較少)2.利用常用函數(shù)的T展開公式通過種種展開1z 1z 2 例 : 將函數(shù) f z 1在z 0的鄰域中展開2 以 z 0為中心展開3 在環(huán)域1中展開z - 14 在奇點(diǎn)的去心鄰域中展開1z 1z 2 1 1解 : f z z 2z 11z 10的鄰域: 即z 1 2z k11111 k 0 kzz2 k 1z 22 1 2 2 k 02 k 0 1 1 z kz 11 z 1 1 , T 展f z k 1k 12kz2 以 z 0為中心最后形式 ck 1,2 1 2,3 2z k, 范圍 1zzzk見 112 T 展開21 zz k11111 k 0 z kz2 k 1z 22 1 2 2 k 02 1 k 1 sk 0s 11 1z1 z s1z k 1z 11 z12 k 1 f z k 0k 1kkzzL 展23z1 1 2 k1 1z k 11 1 12z 2z k 1z 1 1z 1z 1 k 0k 0zzf z k 12 k 1 1 1 , L 展z k3在 z - 11中展開 1 1 1 1 1 1z 11z 2z 1 1z 11 z 1 k 0kz 11z 1 k 1k 0f z 1 1 1 1 1z 1k 1z 2z 1z 1