中學(xué)數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)

1、第五章 中學(xué)數(shù)學(xué)能力與教學(xué) 能力通常指完成某種活動(dòng)的本領(lǐng)、包括完成某項(xiàng)活動(dòng)的具體方式以及順利完成某種活動(dòng)所必需的個(gè)性心理特征。能力通常分為一般能力和特殊能力。前者指在各種活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的基本能力，如觀察能力、注意力和記憶力等。特殊能力是在某種專(zhuān)業(yè)活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的能力。兩者有機(jī)聯(lián)系在一起，一般能力的表現(xiàn)為特殊能力的發(fā)展創(chuàng)造條件；而特殊能力的發(fā)展又促進(jìn)一般能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)能力是順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)所具備的而且直接影響其特殊活動(dòng)效率的一種個(gè)性心理特征。它是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的，是在這類(lèi)活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的比較穩(wěn)定的心理特征。數(shù)學(xué)能力按數(shù)學(xué)活動(dòng)水平可分為兩類(lèi)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（再現(xiàn)性）的數(shù)學(xué)能力；另一種是研究

2、數(shù)學(xué)（創(chuàng)造性）的數(shù)學(xué)能力。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和這種初步的創(chuàng)造能力，并且這種創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)已越來(lái)越來(lái)引起人們的重視。如圖：再現(xiàn)性數(shù)學(xué)能力學(xué)生學(xué)校數(shù)學(xué)創(chuàng)造性數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)工作者作為學(xué)科的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)再創(chuàng)造數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)由兩種成分組成：客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)（顯性）和主觀的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（隱性）?？陀^的數(shù)學(xué)知識(shí)指那些客觀的數(shù)學(xué)事實(shí)，如數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)語(yǔ)言等它們只是數(shù)學(xué)知識(shí)的一小部分。主觀的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)指從事數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，內(nèi)潛于個(gè)體的對(duì)于數(shù)學(xué)的體驗(yàn)及認(rèn)知模式，主要涉及伴隨活動(dòng)過(guò)程的體驗(yàn)性、策略性及元認(rèn)知知識(shí)。它包括了對(duì)數(shù)學(xué)的情感

3、、態(tài)度、價(jià)值觀以及對(duì)數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)，它滲透于活動(dòng)行為的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)精神等，還包括了處理數(shù)學(xué)對(duì)象的成功思維方式以及思考抽象概念的成功思維方式。如圖： 明言知識(shí) (是什么、為什么) 主要是事實(shí)和原理的知識(shí)存于書(shū)本，可編碼（邏輯性）、可傳遞(共享性)、可反思(批判性) 默會(huì)知識(shí) （怎么想、怎么做）本質(zhì)上是理解力和領(lǐng)悟存于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)(個(gè)體性)、嵌入實(shí)踐活動(dòng)（情境性） 隱性知識(shí)常?！爸豢梢鈺?huì)，不可言傳” M. Polany ：“緘默的知識(shí)”(1956)，實(shí)踐技能很難訴諸文字，科學(xué) 創(chuàng)造根源于默會(huì)的力量。OECD(經(jīng)合組織):“1996年科學(xué)、技術(shù)與產(chǎn)業(yè) 展望”，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)默知識(shí)在新經(jīng)濟(jì)時(shí)

4、代的特別重要意義。 知識(shí)的冰山模型（J.Brown,2000）數(shù)學(xué)技能的內(nèi)涵數(shù)學(xué)技能是指通過(guò)練習(xí)而形成的、順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)的一種動(dòng)作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學(xué)任務(wù)所需要的動(dòng)作協(xié)調(diào)和自動(dòng)化。數(shù)學(xué)技能分為動(dòng)作技能和心智技能，但主要是指心智技能。心智技能是一種活動(dòng)方式，屬于心理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決的是完成活動(dòng)時(shí)會(huì)不會(huì)及熟練不熟練的問(wèn)題，它具有動(dòng)作對(duì)象的觀念性、動(dòng)作執(zhí)行的內(nèi)潛性、動(dòng)作結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)縮性等特點(diǎn)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)基本技能具體表現(xiàn)為能夠按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)（包括使用計(jì)算機(jī)）、簡(jiǎn)單的推理、畫(huà)圖、繪制圖表、數(shù)學(xué)交流等技能。數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能的關(guān)系相互聯(lián)系又相互區(qū)別數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的概括

5、，是個(gè)體心理內(nèi)容；數(shù)學(xué)技能是一系列關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的行為方式的概括，是個(gè)體操作技術(shù)；數(shù)學(xué)能力是對(duì)數(shù)學(xué)思想材料進(jìn)行加工的活動(dòng)過(guò)程的概括，是個(gè)體心理特征。數(shù)學(xué)技能以數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)為前提，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)實(shí)際操作獲得動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)而逐漸形成，并且對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)產(chǎn)生反作用。數(shù)學(xué)技能的形成可以看成是深刻掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)標(biāo)志。作為心理特征的能力，是對(duì)活動(dòng)的進(jìn)行起穩(wěn)定調(diào)節(jié)作用的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，是一種內(nèi)化了的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)知識(shí)是形成數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能又是形成數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，且數(shù)學(xué)技能從數(shù)學(xué)知識(shí)掌握到數(shù)學(xué)能力形成和發(fā)展的中間環(huán)節(jié)；反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)能力的提高又會(huì)加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和技

6、能的掌握。第二節(jié) 數(shù)學(xué)能力的成分結(jié)構(gòu)三大能力：運(yùn)算能力，邏輯思維能力，空間想象能力。（19701990年代）逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，“邏輯思維能力”改成“思維能力”，增加“創(chuàng)新意識(shí)”的培養(yǎng)。（19902000年代）抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、空間想象能力，應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。（2000年代至今）數(shù)學(xué)一般能力：數(shù)學(xué)觀察力、注意力、記憶力。數(shù)學(xué)特殊能力：抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、空間想象能力。數(shù)學(xué)實(shí)踐能力：學(xué)生數(shù)學(xué)的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力、數(shù)學(xué)探究能力和數(shù)學(xué)交流能力。數(shù)學(xué)發(fā)展能力：包括獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新

7、能力。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展能力是數(shù)學(xué)教育的最高目標(biāo)。如圖：數(shù)學(xué)發(fā)展能力數(shù)學(xué)實(shí)踐能力數(shù)學(xué)一般能力數(shù)學(xué)特殊能力圖5.1(一)數(shù)學(xué)一般能力1.數(shù)學(xué)觀察能力：指對(duì)用數(shù)字、字母、符號(hào)、文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系，各種圖形、圖表的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的感知能力，以及對(duì)概括化、形式化、空間結(jié)構(gòu)和邏輯模式的識(shí)別判斷。表現(xiàn)在：掌握數(shù)學(xué)概念時(shí)，善于舍棄非本質(zhì)屬性，抓住本質(zhì)特征的能力；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，善于抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的能力；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時(shí)，能從數(shù)學(xué)事實(shí)或現(xiàn)象展現(xiàn)中，掌握數(shù)學(xué)法則或規(guī)律的能力；解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，善于識(shí)別問(wèn)題的特征，發(fā)現(xiàn)隱含條件，正確選擇解題途徑和數(shù)學(xué)模型的能力，以及解題的辨析能力。3.數(shù)學(xué)記憶能力數(shù)學(xué)記憶能

8、力的特征是從數(shù)學(xué)科學(xué)特定的特征中產(chǎn)生的，是一種對(duì)于概括化、形式化結(jié)構(gòu)和邏輯模式的記憶力，記憶里不僅包括對(duì)眾多抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)、定義、公式、定理、數(shù)學(xué)圖形的記憶能力，也包括對(duì)典型的推理模式、重要的運(yùn)算格式和步驟、數(shù)學(xué)模型的物理背景的記憶能力，以及再現(xiàn)不同數(shù)學(xué)概念之間邏輯聯(lián)系的能力。按被回憶的材料將數(shù)學(xué)記憶力分為：對(duì)具體事實(shí)、術(shù)語(yǔ)和記憶力；對(duì)數(shù)學(xué)概念、算法的記憶力；對(duì)數(shù)學(xué)原理、法則的記憶力；對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題類(lèi)型標(biāo)識(shí)、解題模式的記憶力；對(duì)數(shù)學(xué)解題方法、思想的記憶力。（二）數(shù)學(xué)特殊能力2.抽象概括能力抽象和概括是在對(duì)事物的屬性作比較、分析、綜合的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，并借助判斷、推理的形式表達(dá)出來(lái)。抽象和概括緊密聯(lián)系

9、，抽象是概括的基礎(chǔ)，概括是抽象的目的。數(shù)學(xué)概括能力是從具體對(duì)象中抽取出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu)，并將其共同屬性和本質(zhì)特征進(jìn)行推廣的能力。數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、數(shù)量關(guān)系等都是抽象概括的結(jié)果。3.推理論證能力數(shù)學(xué)推理：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包含定義、定理、公理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程，變現(xiàn)形式是邏輯運(yùn)演。主要運(yùn)演手段有：分析、綜合、抽象、概括、完全歸納等。邏輯運(yùn)演是科學(xué)論證的基本形式，更是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的有力保證。合情推理是人們根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（即原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)），在某種情境和過(guò)程中，運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、直覺(jué)等非演繹（或非

10、完全演繹）的思維形式，推出關(guān)于客體的合乎情理的認(rèn)知過(guò)程。在解決問(wèn)題過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)二者的關(guān)系：合情推理演繹推理歸納、類(lèi)比發(fā)現(xiàn)結(jié)論邏輯推理驗(yàn)證結(jié)論4.空間想象能力空間想象能力可分為三個(gè)不同層次水平：空間觀念，建構(gòu)表象能力，表象操作能力。空間觀念包含三層意思：空間感，實(shí)物幾何化，空間結(jié)構(gòu)的二維表示和由二維圖形表示想象出基本元素間的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。建構(gòu)表象的能力是指在文字、語(yǔ)言刺激指導(dǎo)下構(gòu)想幾何形狀的能力。表象操作能力指對(duì)大腦中建立的表象進(jìn)行加工或操作以便建構(gòu)新表象的能力。空間想象能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)。1.問(wèn)題解決能力弄清問(wèn)題擬定計(jì)劃評(píng)論

11、與回顧執(zhí)行計(jì)劃（三）數(shù)學(xué)實(shí)踐能力2.數(shù)學(xué)交流能力是指運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行知識(shí)信息、情緒感受、思想觀念的交流的能力。數(shù)學(xué)交流能力既包括對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)方式的選擇，又包括對(duì)大腦中的思維成果進(jìn)一步澄清、組織、鞏固等一系。列再加工的過(guò)程。數(shù)學(xué)交流按照交流的內(nèi)容大致可分為：知識(shí)的交流、體驗(yàn)的交流和解決問(wèn)題的交流。數(shù)學(xué)交流的能力具體表現(xiàn)為：能夠閱讀、傾聽(tīng)、討論、描述和寫(xiě)作數(shù)學(xué)。具體來(lái)說(shuō)，就是會(huì)用口頭或書(shū)面的、實(shí)物或圖表的、自然語(yǔ)言或符號(hào)的方式來(lái)表達(dá)、演示或模擬數(shù)學(xué)問(wèn)題與情境，通過(guò)主題的操作活動(dòng)和內(nèi)心體驗(yàn)，能領(lǐng)悟與建構(gòu)起圖表及實(shí)物材料與數(shù)學(xué)概念之間，自然語(yǔ)言及直覺(jué)觀念與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的聯(lián)系；從數(shù)學(xué)交流中能反映

12、和理清自己關(guān)于數(shù)學(xué)概念與問(wèn)題的思考，獲得和提出令人信服的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)及論證；能自如地應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思考進(jìn)行討論。二、數(shù)學(xué)特殊能力的培養(yǎng)（一）數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的培養(yǎng)理解和掌握基本的運(yùn)算規(guī)則和方法重視算法多樣化，選擇合理算法：心算、筆算和機(jī)器算、精算和估算培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算品質(zhì) 運(yùn)算品質(zhì)指運(yùn)算的準(zhǔn)確性、運(yùn)算的熟練性、運(yùn)算的靈活性和運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性。（二）數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)1.注意數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)教學(xué)中要使學(xué)生經(jīng)歷如下概念形成的具體過(guò)程：辨別一類(lèi)事物的不同例子，抽象概括出各例子的共同屬性；提出它們共同本質(zhì)屬性的假設(shè)，并加以檢驗(yàn)；把本質(zhì)屬性與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)?shù)闹R(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新概念與已知的有關(guān)概念區(qū)

13、別開(kāi)來(lái)；把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類(lèi)事物中去，已明確它的外延。注意實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)推理論證能力的培養(yǎng)1.掌握推理的方法 演繹推理是從一般到特殊的推理，其主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理。演繹推理是一種必然推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系，只要大前提、小前提都是真實(shí)的，推理是合符邏輯的，那么結(jié)論就一定是真實(shí)的。因此演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具。M P（M是P）S M（S是M）S P（S是P）合情推理的主要方法是歸納和類(lèi)比，哲理的歸納指不完全歸納。不完全歸納是根據(jù)考查的一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而作出該類(lèi)事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理，也稱(chēng)為不完全歸納推理。由于不完全歸納推理是從部分推廣到全體，結(jié)論判斷范圍超出了前提判斷范圍，因此結(jié)論不一定可靠，是似真的。類(lèi)比也稱(chēng)類(lèi)比推理，是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频耐评矸椒ā?.掌握證明的規(guī)則和方法3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)推理與證明的訓(xùn)練（四）空間想象能力的培養(yǎng)1.重視空間想象能力的逐級(jí)形成空間形象能力是隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)、知識(shí)的增多、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善而逐漸形成的，因此教學(xué)中應(yīng)采取逐級(jí)提高的方法來(lái)培養(yǎng)空間想象力?？臻g想象能力的逐級(jí)培養(yǎng)還應(yīng)重視從整體的角度出發(fā)來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)。2.重視識(shí)圖、畫(huà)圖的學(xué)