三垂線定理教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解并掌握三垂線定

1、111 三垂線定理 教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解并掌握三垂線定理及其三垂線定理的逆定理；2通過對三垂線定理的探求過程，進(jìn)一步滲透立體幾何證明中的轉(zhuǎn)化思想具體體現(xiàn)在線線與線面垂直的辯證關(guān)系上；3能初步掌握三垂線定理與三垂線定理逆定理的應(yīng)用注意培養(yǎng)學(xué)生對變異形式下三垂線定理的應(yīng)用能力進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力1教學(xué)重點和難點 1三垂線定理的引入與證明，在教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的探索能力； 2變異位置下三垂線定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計過程 師：請同學(xué)回憶空間中的兩條直線具有什么樣的位置關(guān)系？ （思維從問題開始，點明這節(jié)課是研究空間兩直線位置關(guān)系的繼續(xù)） 生：相交、平行或異面 師：對我們可把上述三種情況表述為2 其中空

2、間兩條直線平行，這種特殊位置關(guān)系我們已經(jīng)研究過了兩條直線相交與異面的另一特殊位置關(guān)系空間兩直線互相垂直，值得作深入的研究而相交兩直線的垂直問題，我們已經(jīng)在平面幾何中作過系統(tǒng)的研究，現(xiàn)在我們重點研究異面直線互相垂直的情況（進(jìn)一步點明研究空間直線和直線的垂直問題） 我們的問題是：如何判定兩條異面直線的垂直位置關(guān)系呢？ 生：根據(jù)兩條異面直線互相垂直的定義來判定即如果兩條異面直線所成的角為90，則稱這兩條異面直線互相垂直 師：回答得很好實際上是根據(jù)兩條異面直線所成的角為直角來判定的這是由兩條異面直線垂直的定義來判定，即定義法但這樣歸結(jié)為定義判定往往在操作上不是很簡便，在今后的證明中運用也不太方便，能不

3、能換一個角度考慮呢？有沒有判定兩條異面直線垂直的比較簡便的方法呢？（進(jìn)一步調(diào)動學(xué)生思維，拋開定義去探求新的判定方法） 生：可利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理來判定即如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和這個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，而平面內(nèi)存在無數(shù)多條直線與該垂線異面，這樣就可以判定了 師：很好！同學(xué)們已經(jīng)掌握了證明線線垂直的基本思維方法要證線線垂直，只需證線面垂直3（為三垂線定理的證明埋下伏筆?。?如圖1，若l，a ，則la 但這里l，情況太特殊了，如果l與a斜交呢？即l為平面的斜線，能不能判定平面內(nèi)的直線a與直線l垂直呢？ 畫出圖2，a ，lO，（l ）這時你又如何判定a與l是否垂直呢？（提出

4、問題，請學(xué)生思考） 師：進(jìn)一步啟發(fā)（分析圖2）根據(jù)線面垂直的定義，我們知道 如果直線a能垂直于過直線l的一個平面，那么al 于是，新問題是：如何找出這樣一個平面過l且與a垂直的平面呢？我們知道，滿足條件的這樣一個平面必須有兩條相交直線（l當(dāng)然不在其內(nèi)）都與直線a垂直，能不能先解決一部分，即先作出一條與l相交的直線又與a垂直呢？ 4（啟而不發(fā)，由學(xué)生思考） 生：過l上一點P（異于點O），作PA于A，則由線面垂直的性質(zhì)有aPA 師：很好！在圖3中，作出PA于A（此時不連結(jié)AO），并板書 由PAPOP，確定平面PAO，要使al，只需a平面PAO故只要有平面PAO內(nèi)的另一條直線與a垂直就行了！而平面P

5、AO內(nèi)的哪一條線用起來最方便呢？56 生：一條直線如果和這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直 師：對嗎？請同學(xué)看是否正確？ 生：不對，首先應(yīng)刻畫“在平面內(nèi)”的一條直線 師：對！這非常重要（板書三垂線定理）試分析定理中的關(guān)鍵詞語，并用符號語言表述 如圖4，PA于A，POO，AO是PO在平面上的射影a ，若aAO，則aPO請寫出條件和結(jié)論（板書）已知：PA于A，POO，（這里已隱含AO為斜線PO在平面上的射影）a ，aAO求證：aPO（請學(xué)生完成證明過程事實上通過前面的探求過程等于已把這條定理證明了只要請學(xué)生到黑板板演，并訂正即可） 7兩位同學(xué)總結(jié)了這三個垂直，哪個垂直是關(guān)

6、鍵呢？顯然平面的垂線PA是關(guān)鍵！我們?nèi)绾斡洃涍@條定理呢？生甲：平面內(nèi)一直線只要與射影垂直，則與斜線垂直生乙：我記憶為先有平面內(nèi)垂直，再轉(zhuǎn)化到空間的垂直關(guān)系師：很好！兩位同學(xué)的記憶方法各有千秋，可按自己的習(xí)慣給予記憶實際上兩位同學(xué)的本質(zhì)是一樣的，還應(yīng)強調(diào)PA于A的前提條件和a 內(nèi)的關(guān)鍵詞語要深刻理解該定理的證明思路，證明中主要體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？生：轉(zhuǎn)化的思想，即要證線線垂直，只要轉(zhuǎn)化為證線面垂直，就可以了師：請同學(xué)探求一下平面內(nèi)的直線a就這一條嗎？生：不止一條，因為在平面內(nèi)，只要與a平行的直線，就一定和射影垂直，則它必定和斜線垂直，這樣的直線是一組平行直線8 師：演示一組抽拉投影片如圖5，只需

7、將動片（含直線a的抽拉片）左、右抽動，即可顯示這一組平行直線當(dāng)且僅當(dāng)a通過O點時a與PO是共面垂直，而其余的都是異面垂直關(guān)系（圖中框片1為固定不動，片2可以抽拉，a畫在2上，左、右抽拉可顯示a的運動過程為一組平行直線） 師：你能構(gòu)造三垂線定理的逆命題嗎？判斷它是真命題嗎？并證明（前面在三垂線定理的探求過程中，已把它的大前提、小前提及結(jié)論分析清楚，故在這里學(xué)生可比較順利地構(gòu)造出它的逆命題）生：只要把三垂線定理中的小前提aAO，與結(jié)論中的aPO互換一下就可以了 9（師把板書中的條件aAO與結(jié)論aOP互換）是真命題嗎？ 生：是！與三垂線定理的證明思路一樣10例1 如圖6，PA垂直于以AB為直徑的圓O

8、平面，C為圓O上任一點（異于A，B）試判斷圖中共有幾個直角三角形，并說明理由（這是立體幾何中一個重要圖形既有線面垂直問題，又有線線垂直，既有三垂線定理的應(yīng)用，又有平面幾何知識的運用）生甲：兩個分別是RtPAC，RtPAB生乙：三個還應(yīng)有RtPCB 師：誰是直角？理由是什么 11生乙：PCB，由三垂線定理可證師：你能敘述一下嗎？根據(jù)三垂線定理的操作程序敘述清楚生乙：因為PAO平面，PCO面C，因為ACB90，即BCAC，所以BCPC師：生乙證明中，什么地方還應(yīng)再強調(diào)一下生丙：BC 平面O師：除這三個直角三角形外，還有嗎？生：還應(yīng)有一個RtABC，因為直徑上的圓周角為直角師：好！這樣才全面認(rèn)識了這個空間圖形事實上圖形P-ABC是一個三棱錐原來三棱錐的四個面可以都是直角三角形，請同學(xué)思考：你能再構(gòu)造一個三棱錐，使它的四個面全是直角三角形嗎？（課下繼續(xù)思考）師：通過例1，作出判斷的關(guān)鍵是什么？ 生：平面的垂線PA是關(guān)鍵，有它就能保證前三個Rt 12 課堂教學(xué)小結(jié) 這節(jié)課我們通過對“平面內(nèi)是否存在與平面的斜線垂直的直線”問題的探討具體方法是把問題轉(zhuǎn)化為“平面內(nèi)的直線與平面的斜線在平面上唯一的直線射影”的位置關(guān)系的研究，而得