向量知識點總結

1、高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量一 高中數(shù)學第五章-平面向量考試內(nèi)容：向量.向量的加法與減法.實數(shù)與向量的積.平面向量的坐標表示.線段的定比分點.平面向量的數(shù)量積.平面兩點間的距離、平移.考試要求：理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.掌握向量的加法和減法.掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公

2、式.05.平面向量知識要點1本章知識網(wǎng)絡結構向量的概念向量的基本要素：大小和方向.向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標表示法a=xi+yj=(x,y).向量的長度：即向量的大小，記作丨aI.特殊的向量：零向量a=0O|aI=0.單位向量a為單位向量O|a1=1.TOC o 1-5 h zOOXx相等的向量：大小相等，方向相同(x,y)=(x,y),121122IyyJ12(6)相反向量：a=-bOb=-aOa+b=0平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作ab平行向量也稱為共線向量.向量的運算運算類型幾何方法坐標方法運算性質ab=ba向量的加法1平行四邊形法則2.

3、三角形法則ab=(xx,yy)1212(ab)c=a(bc)ABbC=ac向量的減法三角形法則TTab=(xx,yy)1212a，b=a+(-b)呻彳AB=-BA,OB-OA=AB數(shù)乘向量入a是一個向量，滿足：丨九a1二I九IIaI九0時,九a與a同向；九0時，九龍與a異向；九=0時，入a=0.+九a=(九x,九y)444-14九(a)=(九)aT(九+)a=Xaa九(a+b)=Xa+Xba/ba=Xb彳彳IT向量呻4ab是一個數(shù)ab=ba4444441.a=0或b=0時，(Xa)b=a(Xb)=X(ab)的數(shù)ab=o.ab=xxyy1212(a+b)c=ac+bc量積a豐o且b豐o寸，2.a

4、b=IaIIbIcos(a,b)44a2JaI2即IaIJx2+y2T4IabiiaIIbI彳4.重要定理、公式片平面向量基本定理円e,e是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有12一對實數(shù)入,入2,使=入1+入2%(2)兩個向量平行的充要條件aba=入bb工0)xyxj=0./r21高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量一 （3）兩個向量垂直的充要條件abab=Oxx+yy=0.12丿1丿2（4）線段的定比分點公式設點P分有向線段PP所成的比為入，即PP=入PP2，則1212OP=厶OP+厶OP（線段的定比分點的向量公式）1+九11+九2x,XxT2,1,Xy+九

5、y121,X.（線段定比分點的坐標公式）當入=1時，得中點公式:OP(OP+Op)或1一x,x14,2y+y12(5)平移公式設點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點PW,y),fx=x,h,則Op=Op+a或y=y，k.曲線y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為:y一k=f(x一h)(6)正、余弦定理abc正弦定理：=2R.smAsmBsmC余弦定理：a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22cacosB,c2=a2+b22abcosC.（7）三角形面積計算公式：設ABC的三邊為a,b,c,其高分別為h,hb,h,半周長為P,外接圓、abc徑為R,r.

6、S=1/2ah=1/2bhb=1/2chS=PrS=abc/4RabcS/MsinCab=l/2acsinB=1/2cbsinASfC-a)6-b)Pc)內(nèi)切圓的半海倫公式/高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 S=1/2(b+c-a)r如下圖=1/2(b+a-c)r=1/2(a+c-b)rbacb注：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心a如圖：高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 #C1圖圖2ba圖3圖4高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 #高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 #圖1中的1為j的內(nèi)心，=pr圖2中的/為Sbc的一個旁心，二=2(b+c-a)

7、乙附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.已知0O是AABC的內(nèi)切圓，若BC=a,AC=b,AB=c注:s為AABC的半周長，即2貝V：AE=s-a=1/2(b+c-a)BN=s-b=1/2(a+c-b)FC=s-c=1/2(a+b-c)綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊(如圖4).特例：已知在RtAABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=ab-c，ab(如圖3).2abc在ABC中，有下列等式成

8、立tanA+tanB+tanC，tanAtanBtanC.證明：因為AB，冗-C,所以tanA+B)，tanG-C),所以tanAtanB，-tanC,結論!1一tanAtanB(7)在ABC中，D是BC上任意一點，則AD2,AC2BD+AB2bcBCBD-DC.高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 #證明：在AABCD中，由余弦定理，有AD2，AB2+BD22-AB-BDcosB在厶ABC中,由余弦定理有cosB，AB2BC2AC22AB-BC，代入,化簡5高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 可得，AD2=BC-BDDC(斯德瓦定理)若AD是BC上的中線,1=2b2+2c2a2；2若A

9、D是ZA的平分線,bcpp-a），其中p為半周長;b,cD若AD是BC上的高，h=ppap-bp-c，其中p為半周長.aa(8)AABC的判定：c2=a2,b2OABC為直角OZA+ZB=工2c2a2,b2OABC為鈍角OZA+ZBa2,b2OABC為銳角OZA+ZBi附：證明：cosC=a2，b2-c2，得在鈍角ABC中，cosC0oa2,b2-c20,oa2,b2c22ab平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.a,b2,a-b2=2(a2,b2)空間向量1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量-注：空間的一個平移就是一個向量+向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示

10、同一或相等的向量+空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下1-b-OB=OA,AB=a,bF+-*BA=OA-OB=a-bOP=九a(九eR)運算律：加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)數(shù)乘分配律：（a+b），a+b3+共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.a平行于b記作a/b.當我們說向量a、b共線（或a/b）時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線.共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意

11、兩個向量a、b（b工0）,a/b的充要條件是存在實數(shù)，推論：如果i為經(jīng)過已知點a且平行于已知非零向量a的直線，那么對于任意一點o,點p在直線i上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式OP，0A+1a.其中向量a叫做直線1的方向向量.向量與平面平行：已知平面a和向量a，作OA，a，如果直線OA平行于a或在a內(nèi)，那么我們說向量a平行于平面a，記作：a/a.通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量+說明：空間任意的兩向量都是共面的*共面向量定理：彳如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實數(shù)x,y使推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序實數(shù)對X,y，使卩式叫做平面M

12、AB的向量表達式T空間向量基本定理：T1如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x,y,z，使p，xa+yb+zc.推論：設O,A,B,t-是不共面的四點，貝閃空間任一點斗P，都存在唯一的三個高中數(shù)學高考總復習呻彳高三數(shù)學總復習九一向量一6高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 有序實數(shù)X,y,z，使OPxOA+yOB+zOC+8+空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a匕，在空間任取一點O，作OAa,OB=b，則,AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,bk,顯然有=b,a；若+，則稱a與b互相垂直，記作：a丄萬彳49.向量的模：呻斗斗呻設OA

13、a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：IaI.10.向量的數(shù)量積:a-bIaI-1bI-cos.已知囲ABa和軸7,e是l上與l同方向的單位向量，作點A在l上的射影A,作點B在l上的射影B呻，物A如叫做向量4AB在軸l上或在e上的正射影.可以證明AB的長度IABI=lABIcos=la-eI.11空間向量數(shù)量積的性質:（T4(1)ae=IaIcos.(2)a丄boab=0.(3)Ia卩二aa.、1444412.空間向量數(shù)量積運算律：(1)(a)-b(a-b)=a(九b).(2)a-b=b-a(交換律)(3)a-(b+c)=a-b+a-c（分配律）.空間向量的坐標運算一知識回顧：彳

14、（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.a+b(ab,ab,ab)a=(a,a,a)(eR)112233123aba1b1+a2b2+a3b3aboab,a=b,a=b(eR)o1=2=3112233bbb123a丄bOa1b1+a2b2+a3b30高中數(shù)學高考總復習高三數(shù)學總復習九向量 也ab2a3b3a=xa，a品2+22+a2（用到常用的向量模與向量之間的轉化:cosa,b=,ia1，1bj+a2+aW+b+b空間兩點的距離公式：d=t(x2-X)2+(y2-yi)2+(z2-zj2.（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面a，則稱這個向量垂直于平面a,記作a丄a,如果a丄a那么向量a叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面a的法向量，AB是平面a的一條F*射線，其中Aea，則點B到平面a的距離為業(yè)“.InI利用法向量求二面角的平面角定理：設n,n分別是二面角a-1-p中平面a,p的法向12TOC o 1-5 h z1I量