新人教版高中數(shù)學必修第二冊第九章統(tǒng)計：9.2.3 總體集中趨勢的估計 9.2.4 總體離散程度的估計

1、9.2.3總體集中趨勢的估計9.2.4總體離散程度的估計 1.結合實例,能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義. 2.結合實例,能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義. 3.結合實例,能用樣本估計總體的取值規(guī)律. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義 (1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù). (2)中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在中間位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的平均值)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). (3)平均數(shù):如果有n個數(shù)x1,x2,xn,那么=(x1+x2+xn)叫做這

2、n個數(shù)的平均數(shù). 2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系眾數(shù)最高長方形的底邊中點的橫坐標中位數(shù)(1)在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值,但是有偏差;(2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分點平均數(shù)(1)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘該小矩形底邊中點的橫坐標之和;(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是頻率分布直方圖的平衡點 標準差和方差標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離,一般用s表示.s=.標準差的平方s2叫做方差,s2=(xi-)2,還可以寫成s2=其中,xi(i=1,2,n)是樣本數(shù)據(jù),n是樣本量,是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù). 如果總體中所有個體的變量值分

3、別為Y1,Y2,YN,總體平均數(shù)為,則稱S2= 為總體方差,S=為總體標準差.與總體均值類似,總體方差也可以寫成加權的形式.如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(kN)個,不妨記為Y1,Y2,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,k),則總體方差為S2=1.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()2.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個,中位數(shù)也具有相同的結論.()提示：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不唯一,可以有一個,也可以有多個,還可以沒有,但中位數(shù)和平均數(shù)是唯一的.3.平均數(shù)可以反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度.()提示：平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量.判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ”

4、 .4.平均數(shù)受數(shù)據(jù)的極端值的影響較大.()5.樣本數(shù)據(jù)的方差越小,說明樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越差.()提示：樣本數(shù)據(jù)的方差越小,說明樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小,樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.6.中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的某個數(shù).()提示：由中位數(shù)的定義知,中位數(shù)可能是樣本數(shù)據(jù)中的某個數(shù),也可能是通過計算中間兩個數(shù)的平均值得到的,此時中位數(shù)不一定是樣本數(shù)據(jù)中的數(shù). 用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計數(shù)據(jù)的集中趨勢 狐貍在森林里開了一家服裝公司,生意日漸紅火起來,可是公司的員工卻十分不滿,原來雇用的員工們每天的工作強度很大,但工資卻很低,所以它們集體罷工,要求減輕工作量,增加工資.狐貍想:與其給原來的職工加工資以求保住員工,還不

5、如招一批新工人合算.因為即使給它們低工資,一時半會兒也不會鬧事兒.于是馬上印了許多廣告到處張貼,說:“本公司平均工資1 800元,名額有限,欲報從速.”小老虎看到了以后,心想一個月1 800元工資還不錯,于是到公司報名.狐貍對小老虎說:“我們公司的平均工資是1 800元,你愿意到我們公司工作嗎?”小老虎表示同意,狐貍馬上錄用了它,合同期為1年.第一個月,小老虎干得非常賣力.到了月底,小老虎高高興興地去領工資,等錢拿到手后,一數(shù)才800元.小老虎氣呼呼地找到狐貍,問:“為什么不是1 800元,而只給了800元?”狐貍狡猾地一笑說:“我說的是員工平均工資是1 800元呀!既然是平均數(shù),那自然就有高

6、有低了.”狐貍從桌子里拿出一張表格:職務經理副經理員工人數(shù)/人1212月工資/元10 0003 700800 本公司職員平均工資:(10 0001+3 7002+80012)(1+2+12)=(10 000+7 400+9 600)15=27 00015=1 800(元).狐貍指著這張表格說:“看見了嗎?本廠的平均工資確實是1 800元.”小老虎迷惑了,“難道平均工資1 800元,不是每個工人1 800元嗎?”1.小老虎的工資為什么比平均工資少得多?提示:經理及副經理的工資大大高于員工的工資.2.除了看平均工資,還應該看什么?提示:還應該看這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)等,從而獲得完整的信息. 中位數(shù)

7、、眾數(shù)、平均數(shù)的應用要點 中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”,平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平,我們需根據(jù)實際需要選擇使用. (1)求中位數(shù)的關鍵是將數(shù)據(jù)排序,一般按照從小到大的順序排列,中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關,某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響.中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中,當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時,可用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢. (2)確定眾數(shù)的關鍵是統(tǒng)計各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù),頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時,眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢. (3)平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)都有關,受個別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的

8、數(shù)據(jù))的影響較大,因此,若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù),平均數(shù)對總體估計的可靠性就較差,這時往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體,有時也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體.某學習小組在一次數(shù)學測驗中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各1人,則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是(C)A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分解析由題意知,該學習小組共有10人,因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85,平均數(shù)為=87.答案C某中學舉行電腦知識競賽,現(xiàn)將高一參賽學生的成績(單位:分)進行整理后分成五

9、組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求:(1)高一參賽學生成績的眾數(shù)、中位數(shù);(2)高一參賽學生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).解析(1)用頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)的近似值,得成績的眾數(shù)為65.第一個小矩形的面積為0.3,第二個小矩形的面積為0.4,且0.3+0.40.5,可設第二個小矩形底邊的一部分長為x,由0.3+x0.04=0.5,解得x=5,成績的中位數(shù)為60+5=65.(2)依題意,平均成績?yōu)?50.3+650.4+750.15+850

10、.1+950.05=67(分). 用方差或標準差估計數(shù)據(jù)的離散程度 高一年級(1)班和(2)班開展了學習比賽,某次數(shù)學考試,兩個班的成績分別如下:高一(1)班 5154596064686868707172727476777879798080828585868687878788899090919697989898100100高一(2)班 61636366707171737575767979808080818182828383838484848585858585858687878890919498可以從哪幾個角度評價這兩個班級?提示:平均成績和方差(標準差). 比較兩組數(shù)據(jù),經常從平均數(shù)和方差(標

11、準差)兩個方面描述,平均數(shù)描述了數(shù)據(jù)的平均水平,方差(標準差)描述了數(shù)據(jù)的離散程度.某體校甲、乙兩個運動隊各有6名編號為1,2,3,4,5,6的隊員進行實彈射擊比賽,每人射擊1次,擊中的環(huán)數(shù)如下表: 1號2號3號4號5號6號甲隊677877乙隊676797若選擇一個隊伍參加比賽,應該選擇哪個隊?解析甲、乙兩隊射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)均為7.甲組數(shù)據(jù)的方差=(-1)2+0+0+12+0+0=,乙組數(shù)據(jù)的方差=(-1)2+0+(-1)2+0+22+0=1.所以甲、乙兩隊的平均水平相同,但甲隊更穩(wěn)定.所以派甲隊參加比賽.思路點撥從平均數(shù)和方差兩個方面進行比較.在一個文藝比賽中,8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組,給參賽選手打分.在給某選手的打分中,專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標準差分別為47.4和3.7,觀眾代表打分的平均數(shù)和標準差分別為56.2和11.8,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和標準差.(保留兩位小數(shù))解析把專業(yè)人士打分記為x1,x2,x8,其平均數(shù)記為,