多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)課件

1、第七章多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第1頁，共52頁。第2頁，共52頁。第3頁，共52頁。在實(shí)際問題中，對(duì)于大量的工程設(shè)計(jì)方案要評(píng)價(jià)其優(yōu)劣，往往要考慮多個(gè)目標(biāo)。例如，對(duì)于車床齒輪變速箱的設(shè)計(jì)，提出了下列要求：1)各齒輪體積總和f1(x)盡可能小使材料消耗減少，成本降低。2)各傳動(dòng)軸間的中心距總和f2(x)盡可能小，使變速箱結(jié)構(gòu)緊湊。3)齒輪的最大圓周速度f3(x)盡可能低，使變速箱運(yùn)轉(zhuǎn)噪聲小。4)傳動(dòng)效率盡可能高，亦即機(jī)械損耗率f4(x)盡可能低，以節(jié)省能源。第4頁，共52頁。f 4 (x ) TRV min x F n (x ) = min f1 (x ) f 2 (x ) f 3 (x )s.t

2、. g j (x ) 0 ( j = 1,2,L , p)hk (x ) = 0 (k = 1,2,L , q )此外，該變速箱設(shè)計(jì)時(shí)需滿足輪齒不根切、不干涉等幾何約束條件，還需滿足輪齒強(qiáng)度等約束條件，以及有關(guān)設(shè)計(jì)變量的非負(fù)約束條件等。按照上述要求，可分別建立四個(gè)目標(biāo)函數(shù)：f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)。這幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)都要達(dá)到最優(yōu)，且又要滿足約束條件，則可歸納為第5頁，共52頁。在多目標(biāo)優(yōu)化模型中，還有一類模型，其特點(diǎn)是，在約束條件下，各個(gè)目標(biāo)函數(shù)不是同等地被最優(yōu)化，而是按不同的優(yōu)先層次先后地進(jìn)行優(yōu)化。例如:工廠生產(chǎn)：1號(hào)產(chǎn)品，2號(hào)產(chǎn)品，3號(hào)產(chǎn)品，M號(hào)產(chǎn)品。應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，

3、在避免開工不足的條件下，使工廠獲得最大利潤(rùn)，工人加班時(shí)間盡量地少。若決策者希望把所考慮的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)按其重要性分成以下兩個(gè)優(yōu)先層次：第一優(yōu)先層次工廠獲得最大利潤(rùn)第二優(yōu)先層次工人加班時(shí)間盡可能地少。那么，這種先在第一優(yōu)先層次極大化總利潤(rùn)，然后在此基礎(chǔ)上再在第二優(yōu)先層次同等地極小化工人加班時(shí)間的問題就是分層多目標(biāo)優(yōu)化問題。第6頁，共52頁。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題要求各分量目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)，如能獲得這樣的結(jié)果，當(dāng)然是十分理想的。但是，一般比較困難，尤其是各個(gè)分目標(biāo)的優(yōu)化互相矛盾時(shí)更是如此。譬如，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中技術(shù)性能的要求往往與經(jīng)濟(jì)性的要求互相矛盾。所以，解決多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題也是一個(gè)復(fù)雜的問題。近年來國(guó)

4、內(nèi)外學(xué)者雖然作了許多研究，也提出了些解決的方法，但比起單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題來，在理論上和計(jì)算方法，都還很不完善，也不夠系統(tǒng)。在前述的單目標(biāo)優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上，扼要介紹多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的一些基本概念、求解思路和處理方法。第7頁，共52頁。從上述有關(guān)多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可見，多目標(biāo)(向量)優(yōu)化問題與單目標(biāo)(標(biāo)量)優(yōu)化問題的一個(gè)本質(zhì)的不同點(diǎn)是：多目標(biāo)優(yōu)化是一個(gè)向量函數(shù)的優(yōu)化，比較向量函數(shù)值的大小，要比標(biāo)量值大小的比較復(fù)雜。在單目標(biāo)優(yōu)化問題中，任何兩個(gè)解都可以比較其優(yōu)劣，因此是完全有序的。可是對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，任何兩個(gè)解不一定都可以比出其優(yōu)劣，因此只能是個(gè)有序的。例如，設(shè)計(jì)某一產(chǎn)品時(shí)，希望對(duì)不同要

5、求的A和B為最小。一般說來這種要求是難以完美實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈儧]有確切的意義。除非這些性質(zhì)靠完全不同的設(shè)計(jì)變量組來決定，而且全部約束也是各自獨(dú)立的。第8頁，共52頁。對(duì)多目標(biāo)設(shè)計(jì)指標(biāo)而言，任意兩個(gè)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣一般是難以判別的，這就是多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點(diǎn)。這樣，在單目標(biāo)優(yōu)化問題中得到的是最優(yōu)解，而在多目標(biāo)優(yōu)化問題中得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一個(gè)。如何求得能接受的最好非劣解，關(guān)鍵是要選擇某種形式的折衷。當(dāng)要求(M1)個(gè)目標(biāo)值不變壞時(shí)，找不到一個(gè)x，使得另一f1所謂非劣解(或稱有效解)，是指若有M個(gè)目標(biāo)， ( x0 )( i = 1,2,. m )顯然，多目標(biāo)優(yōu)化問題只有當(dāng)求得的解是非劣

6、解時(shí)才有意義，劣解是沒有意義的，而絕對(duì)最優(yōu)解存在的可能性很小。)個(gè)目標(biāo)函數(shù)值 fi ( x)比 fi ( x 更好，則將此x*作為非劣解。第9頁，共52頁。例7.1一個(gè)二維分目標(biāo)（n=1，m=2）的多目標(biāo)優(yōu)化問題為：f 2 ( x)TV min F ( x) = f1 ( x)f 2 ( x) = xf1 ( x) = x 2 2 xD： 0 x 2第10頁，共52頁。第11頁，共52頁。多目標(biāo)優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化的求解方法甚多，其中最主要的有兩大類。一類是直接求出非劣解，然后從中選擇較好解。屬于這類方法的如合適等約束法等。另一大類是將多目標(biāo)優(yōu)化問題求解時(shí)作適當(dāng)?shù)奶幚怼Ｌ幚淼姆椒煞譃閮煞N：一種

7、處理方法是將多目標(biāo)優(yōu)化問題重新構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，即評(píng)價(jià)函數(shù)，從而將多目標(biāo)(向量)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u(píng)價(jià)函數(shù)的單目標(biāo)(標(biāo)量)優(yōu)化問題。另一種是將多目標(biāo)(向量)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)(標(biāo)量)優(yōu)化問題來求解。屬于這一大類求解的前一種方法有：主要目標(biāo)法，線性加權(quán)和法，理想點(diǎn)法，平方和加權(quán)法，分目標(biāo)乘除法，功效系數(shù)法幾何平均法，極大極小法等等。屬于后一種的有分層序列法等。此外還有其它類型的方法，如協(xié)調(diào)曲線法等等。第12頁，共52頁。7.2統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)法又稱綜合目標(biāo)法。它是將原多目標(biāo)優(yōu)化問題，通過一定方法轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)或綜合目標(biāo)函數(shù)作為該多目標(biāo)優(yōu)化問題的評(píng)價(jià)函數(shù)，然后用前述的單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化方法

8、求解。第13頁，共52頁。( ) ( )= i iF x f xmin min =i 11線性加權(quán)和法 x xD xD線性加權(quán)和法又稱線性組合法，它是處理多目標(biāo)優(yōu)化問題常用的較簡(jiǎn)便的一種方法。這種方法因?yàn)橛幸欢ɡ碚摳鶕?jù)，故已被廣泛應(yīng)用。但這種方法的成功與否，在很大程度上取決于一個(gè)確定方向的凸性條件。如果缺乏凸性，這種方法將歸于失敗。所謂線性加權(quán)和法即將多目標(biāo)函數(shù)組成綜合目標(biāo)函數(shù)，把一個(gè)要最小化的函數(shù) F ( x)規(guī)定為有關(guān)性質(zhì)的聯(lián)合。第14頁，共52頁。使用這個(gè)方法的難處在于如何找到合理的權(quán)系數(shù)，以反映各個(gè)單目標(biāo)對(duì)整個(gè)多目標(biāo)問題中的重要程度。使原多目標(biāo)優(yōu)化問題較合理地轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，且此

9、單目標(biāo)優(yōu)化問題的解又是原多目標(biāo)優(yōu)化問題的好的非劣解。權(quán)系數(shù)的選取反映了對(duì)各分目標(biāo)的不同估價(jià)、折衷，故應(yīng)根據(jù)具體情況作具體處理，有時(shí)要憑經(jīng)驗(yàn)、憑估計(jì)或統(tǒng)計(jì)計(jì)算并經(jīng)試算得出。第15頁，共52頁。第16頁，共52頁。第17頁，共52頁。第18頁，共52頁。將各分目標(biāo)轉(zhuǎn)化后加權(quán)先將各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)都轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的無量綱值，并且將量級(jí)也限于某一規(guī)定范圍之內(nèi)使目標(biāo)規(guī)格化，然后再根據(jù)各個(gè)目標(biāo)（設(shè)計(jì)指標(biāo)）的重要性用加權(quán)因子來組合“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”。1、 目標(biāo)函數(shù)的規(guī)格化當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)值在數(shù)量級(jí)上有很大差別時(shí)，可先做一次規(guī)格化。以三角函數(shù)、指數(shù)、線性或二次函數(shù)等作為轉(zhuǎn)換函數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)值規(guī)范在0,1之間。第19頁，共5

10、2頁。f (x ) = x j取規(guī)格化函數(shù) 2f j (x ) j j j sin t jqfj =1j其中 x j = 2例： 若能估計(jì)出上、下界， j f j (x ) j第20頁，共52頁。第21頁，共52頁。（二）直接加權(quán))1(f j )2 j j2f j =令容限值則加權(quán)因子 w j =1、容限值法：目標(biāo)函數(shù)是平方誤差值時(shí)使用，可起平衡各目標(biāo)函數(shù)數(shù)量級(jí)的作用。估計(jì)上、下界： j f j (x ) j j = 1,2,L, q若不易估計(jì)，可令 j = 0， j = f j (x(0 ) ；這種取法是基于要求在統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)中的各項(xiàng)指標(biāo)（分目標(biāo)函數(shù)）趨于在數(shù)量級(jí)上達(dá)到統(tǒng)一平衡，因此，當(dāng)某項(xiàng)

11、設(shè)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值變化范圍愈寬時(shí)，其目標(biāo)的容限就愈大，加權(quán)因子就取較小值；而數(shù)值變化范圍愈窄時(shí)，目標(biāo)的容限就愈小，加權(quán)因子就取大值，以達(dá)到平衡各分目標(biāo)函數(shù)量級(jí)的作用第22頁，共52頁。 (w w2 j )( )f j x f (x ) f (x ) f (x *) f (x ) f (x *)2、兩項(xiàng)加權(quán)因子：用于一般情況適用于有導(dǎo)數(shù)信息的情況：21f j (x)wj = w1 j w2 j其中：w1 j是本征權(quán)，反應(yīng)分目標(biāo)函數(shù)的重要程度；=jj jqj =1(0 )(0 )j jw2 j =qj =1( 0)(0 )w1 jw2 j 是校正權(quán)，用于調(diào)整分目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量級(jí)， w2 j = 適用于無

12、導(dǎo)數(shù)信息的情況：w1 j w2 jw j =q1 jj =111第23頁，共52頁。 f1 = ； f 2 = 2 2 = 1； 即 w1 =f122 2f 2(x *) = ， f= 8 x 2 令其為零， 得 x* = ， f1 2 ( x*) = 。例：有下列兩個(gè)一維的分目標(biāo)函數(shù)，試用加權(quán)因子線性組合法，求此多目標(biāo)函數(shù)的選好解。分目標(biāo)函數(shù)：f1 (x) = x 2 + 1 min . f 2 (x ) = 2 x + 3 min .約束區(qū)域： D = x 0 x 1s.t.x 1 0解： min . F (x ) = w1 f1 (x ) + w2 f 2 (x ) = w1 (x 2

13、+ 1)+ w2 (2 x + 3)X R11 17 54 16 2122= 11 1 1 1dFdxF (x ) = 4 f1 (x ) + f 2 (x ) = 4(x 2 + 1)+ ( 2 x + 3) = 4 x 2 2 x + 7= 4； w2 =f 2 (0) = 3f 2 (1) = 11 = 1, 1 = 2； 2 = 1， 2 = 30 x 0用誤差容限法求：w jQ x = 0時(shí)， f1 (0) = 1,x = 1時(shí)， f1 (1) = 2 ,根據(jù) j f j (x ) j第24頁，共52頁。第25頁，共52頁。三，理想點(diǎn)法（目標(biāo)規(guī)劃）多目標(biāo)優(yōu)化問題的一般式中，先求出各分

14、目標(biāo)函數(shù)在可* *向量f m* Tf 2* LF * = f1*上式稱為理想解。如果在本問題不存在絕對(duì)最優(yōu)解的情況下，對(duì)于向量目標(biāo)函T要力求使各分目標(biāo)僅可能接近各自的理想值，則可以認(rèn)為達(dá)到有效解中的選好解。第26頁，共52頁。f ( x) = f jf ( x) = j 在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，也常常按照設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)與期望制定出一個(gè)合理的各分目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成理想解f m0 Tf 20LF 0 = f10mj =1f j ( x) f j 2相對(duì)離差加權(quán)相對(duì)離差2mj =1f j ( x) f jf j* 0 解之間的離差函數(shù) f ( x) 函數(shù)可取以下形式第27頁，共52頁。U ( x) = j j j

15、 ) 2平方和加權(quán)離差mj =1( f ( x) fm絕對(duì)值離差 f ( x) fj =1T數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目標(biāo)函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，用評(píng)價(jià)目標(biāo)函數(shù)的解作為原多目標(biāo)優(yōu)化問題的最終解。其表達(dá)式為min U ( x)x D R ngu(x) 0hv(x)=0D：第28頁，共52頁。第29頁，共52頁。第30頁，共52頁。第31頁，共52頁。三、功效系數(shù)法一. 基本思想：給每一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值一個(gè)評(píng)價(jià)，以功效系數(shù)j (0dj 1)表示。對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)方案 xk , F(xk)，有q個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值f1(xk), f2(xk), fq(xk), ，對(duì)應(yīng)q個(gè)功效系數(shù) 1, 2, q 。以各功效系數(shù)的幾何平均值

16、為方案的評(píng)價(jià)函數(shù) d ：當(dāng) max . 時(shí)， = q 1 2 Lt求得最理想方案：x* = x k，F(xiàn) (x *)。二. 功效系數(shù)和功效函數(shù)：1、功效系數(shù)j ：表示對(duì)于分目標(biāo)函數(shù)值 fj (x) 的滿意程度。若j =1，表示效果最好，非常滿意；dj =0，表示效果極差，方案不可取。第32頁，共52頁。2、功效函數(shù)j=j(fj) ：描述j與fj之間的關(guān)系。有三種類型：a) 越大越好：fj j ， fj j ；b) 越小越好：fj j ， fj j ；c) fj 取合適的值時(shí), j 最大，fj比此 區(qū)間大或小，j 均。第33頁，共52頁。= 0.5mf2 (x) = max min例：門式起重機(jī)變

17、幅四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)有四個(gè)要求： 0.5md1 = 1d1 = 0.7d1 = 0.3d1 = 0y miny = y h1. 要求E點(diǎn)走水平直線f1 (x ) = max y h minvx 2. E點(diǎn)水平分速度的變化率越小越好3. 貨物對(duì)支點(diǎn)A所引起的傾覆力矩差越 小越好f3 (x) = max M min這三個(gè)要求都屬于第二類功效函數(shù)。第34頁，共52頁。4.傾覆力矩值 M = M ()： 當(dāng)變幅距離較小時(shí)，希望有負(fù)傾覆力矩 M1，能恢復(fù)機(jī)構(gòu)的正常位置。-10M10 時(shí)，d4 =1M1 20時(shí)，d4 =0 當(dāng)變幅距離較大時(shí)，希望有正傾覆力矩 M1，能恢復(fù)機(jī)構(gòu)的正常位置。0M110 時(shí)，d

18、5 =1M1 30時(shí)，d5 =0這兩個(gè)要求都屬于第三類功效函數(shù)?？偣π禂?shù)： d = 5 d1 d 2 d3 d 4 d5 max第35頁，共52頁。四. 方法評(píng)價(jià)：直觀，只要有一項(xiàng)dj =0，則 d=0，可直接判斷方案不可??；在工程中使用較為有效；系數(shù)均在 0,1 之間，數(shù)量級(jí)一致；易處理第三類功效函數(shù)。分析計(jì)算較復(fù)雜。第36頁，共52頁。第37頁，共52頁。 四，乘除法該方法適于處理下面問題。按分目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，結(jié)構(gòu)緊湊，原材料消耗少，加工成本和加工費(fèi)低，磨損量和應(yīng)力小等；另外一類表現(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)

19、量，機(jī)械效率，零件強(qiáng)度及剛度，利潤(rùn)，承載能力等。建議如下構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：jjsj =1tj = s +1f j ( x)f j ( x)U ( x) =其中，s(s 0mj = 1j =1第38頁，共52頁。如果有兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下圖所示過域Df內(nèi)的任一通過原點(diǎn)o的直線OA，它的斜率為f 2 ( x)f1 ( x)tg =當(dāng) Q 時(shí)，即直線OA移到與域Df邊界的左方相切，切點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f1* ( x) , f 2* ( x) 即為乘除法求得的選好解第39頁，共52頁。7-3 主要目標(biāo)法第40頁，共52頁。( ) = mi

20、n ( ) f x f xk k在求得最優(yōu)值后用最優(yōu)值代替式中：f j ( x ) 開始時(shí)為極小化以外的其他目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的估計(jì)值，g m + j ( x) = f j ( x ) f j ( x) 0s.t.g u ( x) 0 xD設(shè)有l(wèi)個(gè)目標(biāo)函數(shù)f1(x)，f2(x)，、fl(x)，其作為主要目標(biāo)，則問題變?yōu)橹?x D ，求解時(shí)可從上述多目標(biāo)函數(shù)中選擇一個(gè)f(x)第41頁，共52頁。第42頁，共52頁。第43頁，共52頁。7-4 協(xié)調(diào)曲線法這種方法是用來解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，為求最終解須對(duì)一般式個(gè)分目標(biāo)函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目標(biāo)優(yōu)化問題的最

21、終解。在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值出現(xiàn)矛盾時(shí)，先求出一組非劣解，以其集合得出協(xié)調(diào)曲線，再根據(jù)恰當(dāng)?shù)钠ヅ潢P(guān)系得到滿意曲線，沿著滿意程度的增加的方向，各分目標(biāo)值下降，直至獲得選好解。第44頁，共52頁。第45頁，共52頁。第46頁，共52頁。第47頁，共52頁?，F(xiàn)以兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)組成的多目標(biāo)優(yōu)化問題為例。第48頁，共52頁。 f 2 = 5.8 f 2 = 2兩分目標(biāo)的最優(yōu)點(diǎn)分別在A1及A2，它們的分目標(biāo)函數(shù)值為 f1A1 = 4 A1 f1 A 2 = 9.2 A 2A1點(diǎn)A2點(diǎn)在可行域D內(nèi)任取一點(diǎn)B，其分目標(biāo)函數(shù)值為 f1B = 8 B當(dāng)固定 f 2 ( x) 5 ，極小化f1(x)的可行域邊界點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目標(biāo)函數(shù)值為 f1C = 4.3 f 2C = 5當(dāng)固定 f1 ( x) 8 ，極小化f2(x)的可行域邊界點(diǎn)D，D點(diǎn)的分目標(biāo)函數(shù)值為 f1D = 8 f 2D = 2.4第49頁，共52頁?？梢姡珻，D兩點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)，在CD曲線上任選一點(diǎn)代表的方案至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解（最終解）應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標(biāo)建立一個(gè)新的坐標(biāo)系，見