數(shù)字圖像處理第11章課件

1、第十一章 圖 像 復(fù) 原11.1 圖像退化與復(fù)原 11.2 非約束復(fù)原 11.3 最小二乘類(lèi)約束復(fù)原 11.4 非線(xiàn)性復(fù)原方法 11.5 其他圖像復(fù)原技術(shù)11.6 編程實(shí)例 11.1 圖像退化與復(fù)原 數(shù)字圖像在獲取的過(guò)程中，由于光學(xué)系統(tǒng)的像差、 光學(xué)成像衍射、 成像系統(tǒng)的非線(xiàn)性畸變、 攝影膠片的感光的非線(xiàn)性、 成像過(guò)程的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、 大氣的湍流效應(yīng)、環(huán)境隨機(jī)噪聲等原因， 圖像會(huì)產(chǎn)生一定程度的退化。因此，必須采取一定的方法盡可能地減少或消除圖像質(zhì)量的下降，恢復(fù)圖像的本來(lái)面目，這就是圖像復(fù)原， 也稱(chēng)為圖像恢復(fù)。 圖像復(fù)原與圖像增強(qiáng)有類(lèi)似的地方， 都是為了改善圖像。但是它們又有著明顯的不同。圖像復(fù)原是

2、試圖利用退化過(guò)程的先驗(yàn)知識(shí)使已退化的圖像恢復(fù)本來(lái)面目，即根據(jù)退化的原因， 分析引起退化的環(huán)境因素，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 并沿著使圖像降質(zhì)的逆過(guò)程恢復(fù)圖像。從圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)的角度來(lái)看， 圖像復(fù)原就是提高圖像的可理解性。而圖像增強(qiáng)的目的是提高視感質(zhì)量，圖像增強(qiáng)的過(guò)程基本上是一個(gè)探索的過(guò)程， 它利用人的心理狀態(tài)和視覺(jué)系統(tǒng)去控制圖像質(zhì)量， 直到人們的視覺(jué)系統(tǒng)滿(mǎn)意為止。 圖像復(fù)原是利用退化現(xiàn)象的某種先驗(yàn)知識(shí)，建立退化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)模型進(jìn)行反向的推演運(yùn)算，以恢復(fù)原來(lái)的景物圖像。因而，圖像復(fù)原可以理解為圖像降質(zhì)過(guò)程的反向過(guò)程。建立圖像復(fù)原的反向過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，就是圖像復(fù)原的主要任務(wù)。經(jīng)過(guò)反向過(guò)程的數(shù)學(xué)

3、模型的運(yùn)算，要想恢復(fù)全真的景物圖像比較困難。所以， 圖像復(fù)原本身往往需要有一個(gè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)， 即衡量接近全真景物圖像的程度，或者說(shuō)，對(duì)原圖像的估計(jì)是否到達(dá)最佳的程度。 由于引起退化的因素眾多而且性質(zhì)不同，為了描述圖像退化過(guò)程所建立的數(shù)學(xué)模型往往多種多樣，而恢復(fù)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)也往往存在差異性，因此圖像復(fù)原是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)過(guò)程，圖像復(fù)原的方法、技術(shù)也各不相同。 11.1.1 圖像降質(zhì)的數(shù)學(xué)模型 圖像復(fù)原處理的關(guān)鍵問(wèn)題在于建立退化模型。輸入圖像f(x, y)經(jīng)過(guò)某個(gè)退化系統(tǒng)后輸出的是一幅退化的圖像。為了討論方便， 把噪聲引起的退化即噪聲對(duì)圖像的影響一般作為加性噪聲考慮， 這也與許多實(shí)際應(yīng)用情況一致，如圖像數(shù)

4、字化時(shí)的量化噪聲、 隨機(jī)噪聲等就可以作為加性噪聲，即使不是加性噪聲而是乘性噪聲， 也可以用對(duì)數(shù)方式將其轉(zhuǎn)化為相加形式。 原始圖像f(x, y)經(jīng)過(guò)一個(gè)退化算子或退化系統(tǒng)H(x, y)的作用， 再和噪聲n(x, y)進(jìn)行疊加，形成退化后的圖像g(x, y)。圖11-1表示退化過(guò)程的輸入和輸出的關(guān)系，其中H(x, y)概括了退化系統(tǒng)的物理過(guò)程，就是所要尋找的退化數(shù)學(xué)模型。 圖11-1 圖像的退化模型 數(shù)字圖像的圖像恢復(fù)問(wèn)題可看作是： 根據(jù)退化圖像g(x , y)和退化算子H(x , y)的形式，沿著反向過(guò)程去求解原始圖像f(x , y)， 或者說(shuō)是逆向地尋找原始圖像的最佳近似估計(jì)。圖像退化的過(guò)程可

5、以用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫(xiě)成如下的形式： g(x, y)=Hf(x, y)+n(x, y) (11-1)在這里，n(x, y)是一種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的信息。在實(shí)際應(yīng)用中， 往往假設(shè)噪聲是白噪聲，即它的頻譜密度為常數(shù)，并且與圖像不相關(guān)。 在圖像復(fù)原處理中， 盡管非線(xiàn)性、 時(shí)變和空間變化的系統(tǒng)模型更具有普遍性和準(zhǔn)確性，更與復(fù)雜的退化環(huán)境相接近，但它給實(shí)際處理工作帶來(lái)了巨大的困難， 常常找不到解或者很難用計(jì)算機(jī)來(lái)處理。因此，在圖像復(fù)原處理中， 往往用線(xiàn)性系統(tǒng)和空間不變系統(tǒng)模型來(lái)加以近似。這種近似的優(yōu)點(diǎn)使得線(xiàn)性系統(tǒng)中的許多理論可直接用于解決圖像復(fù)原問(wèn)題，同時(shí)又不失可用性。 一幅連續(xù)圖像f(x, y)可以看作是由一系列點(diǎn)

6、源組成的。因此，f(x, y)可以通過(guò)點(diǎn)源函數(shù)的卷積來(lái)表示。即(11-2) 式中，函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù)，表示空間上的點(diǎn)脈沖。 在不考慮噪聲的一般情況下， 連續(xù)圖像經(jīng)過(guò)退化系統(tǒng)H后的輸出為 (11-3) 把式(11-2)代入式(11-3)得 (11-4) 在線(xiàn)性和空間不變系統(tǒng)的情況下， 退化算子H具有如下性質(zhì): (1) 線(xiàn)性：設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)為兩幅輸入圖像，k1和k2為常數(shù)， 則 (11-5)由該性質(zhì)還可推出下面兩個(gè)結(jié)論： 當(dāng)k1=k2=1時(shí), 式(11-5)變?yōu)?(11-6) 如果f2 (x , y)=0，則式（11-5）變?yōu)?(11-7)(2) 空間不變性: 如果對(duì)任意f ( x

7、, y )以及a和b，有 (11-8)則對(duì)于線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后的輸出為 (11-9)式中，h(x-, y-)為該退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)， 或叫系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)對(duì)坐標(biāo)為(a, )處的沖激函數(shù)(x-, y-)的響應(yīng)。也就是說(shuō)，只要系統(tǒng)對(duì)沖激函數(shù)的響應(yīng)為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。因?yàn)閷?duì)于任一輸入f (a, )的響應(yīng)， 都可以通過(guò)上式計(jì)算出來(lái)。 此時(shí)，退化系統(tǒng)的輸出就是輸入圖像信號(hào)f (x, y)與點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x, y)的卷積， 即 (11-10) 圖像退化除了受到成像系統(tǒng)本身的影響外，有時(shí)還要受到噪聲的影響。假設(shè)噪聲n(x, y)是加性白噪聲，這時(shí)上式可

8、寫(xiě)成 在頻域上，式(11-11)可以寫(xiě)成 (11-12) (11-11) 其中，G(u, v)、F(u, v)、N(u, v)分別是退化圖像g(x, y)、原圖像f(x, y)、噪聲信號(hào)n(x, y)的傅立葉變換；H(u, v)是系統(tǒng)的點(diǎn)沖激響應(yīng)函數(shù)h(x, y)的傅立葉變換，稱(chēng)為系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)。 式(11-11)和式(11-12)就是連續(xù)函數(shù)的退化模型?？梢?jiàn)， 圖像復(fù)原實(shí)際上就是已知g(x, y)求f(x, y)的問(wèn)題或已知G(u, v)求F(u, v)的問(wèn)題，它們的不同之處在于一個(gè)是在空域，一個(gè)是在頻域。 顯然，進(jìn)行圖像復(fù)原的關(guān)鍵問(wèn)題是尋找降質(zhì)系統(tǒng)在空間域上的沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,

9、 y)，或者降質(zhì)系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)H(u, v)。一般來(lái)說(shuō)，傳遞函數(shù)比較容易求得。因此，在進(jìn)行圖像復(fù)原之前，一般應(yīng)設(shè)法求得完全的或近似的降質(zhì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，要想得到h(x, y), 只需對(duì)H(u, v)求傅立葉逆變換即可。11.1.2 離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型 1. 一維離散退化模型 設(shè)f(x)為具有A個(gè)采樣值的離散輸入函數(shù)，h(x)為具有B個(gè)采樣值的退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)，則經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)g(x)為輸入f(x)和沖激響應(yīng)h(x)的卷積，即 g(x)=f(x)*h(x) 為了避免上述卷積所產(chǎn)生的各個(gè)周期重疊（設(shè)每個(gè)采樣函數(shù)的周期為M），分別對(duì)f(x)和h(x)用添零延伸的方法擴(kuò)展

10、成周期M=A+B-1的周期函數(shù)， 即 (11-13a)(11-13b)輸出為 (11-14)式中，x=0, 1, 2, , M-1。 因?yàn)閒e(x)和he(x)已擴(kuò)展成周期函數(shù)，故ge(x)也是周期性函數(shù)， 用矩陣表示為 (11-15) 因?yàn)閔e(x)的周期為M，所以he(x)=he(x+M)，即 MM階矩陣H可寫(xiě)為 （11-16） 可將式（11-15）寫(xiě)成更簡(jiǎn)潔的形式，即 (11-17) 式中， g、f都是M維列向量，H是MM階矩陣，矩陣中的每一行元素均相同，只是每行以循環(huán)方式右移一位，因此矩陣H是循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣相加或相乘得到的還是循環(huán)矩陣。 2. 二維離散模型 設(shè)輸入的數(shù)字圖像f(x,

11、 y)大小為AB，點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x, y)被均勻采樣為CD大小。為避免交疊誤差，仍用添零擴(kuò)展的方法， 將它們擴(kuò)展成M=A+C-1和N=B+D-1個(gè)元素的周期函數(shù)。 （11-18a）（11-18b）則輸出的降質(zhì)數(shù)字圖像為 式中：x=0, 1, 2, , M-1； y=0, 1, 2, , N-1。 式(11-19)的二維離散退化模型同樣可以用式（11-17）所示的矩陣形式表示，即 式中，g、 f是MN1維列向量，H是MNMN維矩陣。其方法是將g(x, y)和f(x, y)中的元素排成列向量。 (11-20) (11-21) Hi(i=0, 1, 2, M-1)為子矩陣，大小為NN，即H矩陣由MM

12、個(gè)大小為NN的子矩陣組成， 稱(chēng)為分塊循環(huán)矩陣。分塊矩陣是由延拓函數(shù)he(x, y)的第j行構(gòu)成的，構(gòu)成方法如下: (11-22) 若把噪聲考慮進(jìn)去, 則離散圖像退化模型為 (11-23) 寫(xiě)成矩陣形式為 上述線(xiàn)性空間不變退化模型表明，在給定了g(x, y)，并且知道退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x, y)和噪聲分布n(x, y)的情況下，可估計(jì)出原始圖像f(x, y)。 假設(shè)圖像大小M=N=512，相應(yīng)矩陣MH的大小為MNMN=262 144262 144，這意味著要解出f (x, y)需要解262 144個(gè)聯(lián)立方程組，其計(jì)算量十分驚人。 11.2 非約束復(fù)原 11.2.1 逆濾波 由式(11-24

13、)可得 (11-25) 逆濾波法是指在對(duì)n沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)的情況下，可以依據(jù)這樣的最優(yōu)準(zhǔn)則，即尋找一個(gè) ，使得 在最小二乘方誤差的意義下最接近g，即要使n的模或范數(shù)（norm）最?。?(11-26) 式(11-26)的極小值為 (11-27) 如果我們?cè)谇笞钚≈档倪^(guò)程中，不做任何約束，稱(chēng)這種復(fù)原為非約束復(fù)原。由極值條件 (11-28) 解出 為 (11-29) 對(duì)式(11-29)作傅立葉變換， 得 (11-30) 可見(jiàn)，如果知道g(x, y)和h(x, y)，也就知道了G(u, v)和H(u, v)。根據(jù)上式， 即可得出F(u, v)，再經(jīng)過(guò)反傅立葉變換就能求出f(x, y)。 逆濾波是最早應(yīng)用于

14、數(shù)字圖像復(fù)原的一種方法。并用此方法處理過(guò)由漫游者、探索者等衛(wèi)星探索發(fā)射得到的圖像。 11.2.2 非約束圖像復(fù)原的病態(tài)性質(zhì) 由式(11-30)進(jìn)行圖像復(fù)原時(shí)，由于H(u,v)在分母上，當(dāng)u-v平面上的某引起點(diǎn)或區(qū)域H(u, v)很小或等于零，即出現(xiàn)了零點(diǎn)時(shí)， 就會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定解。因此，即使沒(méi)有噪聲，一般也不可能精確地復(fù)原f(x, y)。如果考慮噪聲項(xiàng)N(x, y)， 則出現(xiàn)零點(diǎn)時(shí)， 噪聲項(xiàng)將被放大，零點(diǎn)的影響將會(huì)更大，對(duì)復(fù)原的結(jié)果起主導(dǎo)地位， 這就是無(wú)約束圖像復(fù)原模型的病態(tài)性質(zhì)。它意味著退化圖像中小的噪聲干擾在H(u, v)取得很小值的那些頻譜上將對(duì)恢復(fù)圖像產(chǎn)生很大的影響。由簡(jiǎn)單的光學(xué)分析知道，

15、在超出光學(xué)系統(tǒng)的繞射極限時(shí)，H(u, v)將很小或等于零，因此對(duì)多數(shù)圖像直接采用逆濾波復(fù)原會(huì)遇到上述求解方程的病態(tài)性。 為了克服這種不穩(wěn)定性，一方面可利用我們后面要講的有約束圖像復(fù)原；另一方面，可利用噪聲一般在高頻范圍，衰減速度較慢， 而信號(hào)的頻譜隨頻率升高下降較快的性質(zhì)，在復(fù)原時(shí)， 只限制在頻譜坐標(biāo)離原點(diǎn)不太遠(yuǎn)的有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)行，而且關(guān)心的也是信噪比高的那些頻率位置。Nathan在用逆濾波圖像復(fù)原時(shí)采用的是限定恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)最大值的方法。其H(u, v)和恢復(fù)函數(shù)M(x, y)， 如圖11-2所示。 圖11-2 逆濾波復(fù)原(a) 實(shí)際傳遞函數(shù)； （b）修改后的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù) 實(shí)際上，為了避免H(u

16、, v)值太小，一種改進(jìn)方法是在H(u, v)=0的那些頻譜點(diǎn)及其附近，人為地設(shè)置H-1(u, v)的值，使得在這些頻譜點(diǎn)附近N(u, v)/H(u, v)不會(huì)對(duì) （u, v）產(chǎn)生太大的影響。圖11-3給出了H(u, v)、H-1(u, v)應(yīng)用這種改進(jìn)的濾波特性或恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)的一維波形，從中可以看出它與正常濾波的差別。 圖11-3 逆濾波器零點(diǎn)的影響及其改進(jìn)(a) 退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； (b) 逆濾波器傳遞函數(shù)； (c) 改進(jìn)的逆濾波器傳遞函數(shù) 另一種改進(jìn)是考慮到退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(u, v)帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，其頻率特性具有低通性質(zhì)，取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u, v)為 (11-31)其

17、中，0的選取原則是將H(u, v)為零的點(diǎn)除去。這種方法的缺點(diǎn)是復(fù)原后的圖像的振鈴效果較明顯。 11.3 最小二乘類(lèi)約束復(fù)原 非約束復(fù)原是指除了使準(zhǔn)則函數(shù) 最小外， 再?zèng)]有其他的約束條件。因此只需了解降質(zhì)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)， 就能利用如前所述的方法進(jìn)行復(fù)原。但是由于傳遞函數(shù)存在病態(tài)問(wèn)題，復(fù)原只能局限在靠近原點(diǎn)的有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行， 這使得非約束圖像復(fù)原具有相當(dāng)大的局限性。 最小二乘類(lèi)約束復(fù)原是指除了要求了解關(guān)于退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之外，還需要知道某些噪聲的統(tǒng)計(jì)特性或噪聲與圖像的某些相關(guān)情況。根據(jù)所了解的噪聲的先驗(yàn)知識(shí)的不同，采用不同的約束條件，可得到不同的圖像復(fù)原技術(shù)。在最小二乘類(lèi)約束復(fù)原中

18、，要設(shè)法尋找一個(gè)最優(yōu)估計(jì) ，使得形式為 的函數(shù)最小化。求這類(lèi)問(wèn)題的最小化，常采用拉格朗日乘子算法。也就說(shuō)，要尋找一個(gè) ，使得準(zhǔn)則函數(shù) (11-32) 為最小。式中, Q為 的線(xiàn)性算子，為一常數(shù)，稱(chēng)為拉格朗日乘子。對(duì)式(11-32)求導(dǎo)得 求解 得到 (11-33) 式中，=1/，這個(gè)常數(shù)必須調(diào)整到約束被滿(mǎn)足為止。求解式(11-33)的關(guān)鍵就是如何選用一個(gè)合適的變換矩陣Q。選擇的Q的形式不同，就可得到不同類(lèi)型的有約束的最小二乘類(lèi)圖像復(fù)原方法。如果用圖像f和噪聲的相關(guān)矩陣Rf和Rn表示Q，就可以得到維納濾波復(fù)原方法。如選用拉普拉斯算子形式，即使某個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)最小，也可推導(dǎo)出有約束最小平方恢復(fù)方

19、法。 11.3.1 維納濾波 在一般情況下，圖像信號(hào)可近似地認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， 維納濾波將原始圖像f和對(duì)原始圖像的估計(jì) 看作為隨機(jī)變量。假設(shè)Rf和Rn為f和n的自相關(guān)矩陣，其定義為 (11-34) 式中，E代表數(shù)學(xué)期望運(yùn)算。 Rf和Rn均為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，在大多數(shù)圖像中，鄰近的像素點(diǎn)是高度相關(guān)的，而距離較遠(yuǎn)的像素點(diǎn)的相關(guān)性卻較弱。通常，f和n的元素之間的相關(guān)不會(huì)延伸到2030個(gè)像素的距離之外。因此， 一般來(lái)說(shuō)，自相關(guān)矩陣在主對(duì)角線(xiàn)附近有一個(gè)非零元素帶， 而在右上角和左上角的區(qū)域內(nèi)將為零值。如果像素之間的相關(guān)是像素之間距離的函數(shù)， 而不是它們位置的函數(shù)，可將Rf和Rn近似為分塊循環(huán)矩陣。因而，用循

20、環(huán)矩陣的對(duì)角化，可寫(xiě)成 式中，W為一個(gè)MNMN矩陣，包含MM個(gè)NN的塊。M、N的含義見(jiàn)二維離散模型部分。 W的第i, m個(gè)分塊為 i, m=0, 1, , M-1 (11-36) 其中，WN為一個(gè)NN矩陣，其第k, n個(gè)位置的元素為 k, n=0, 1, , N-1 式(11-35)中，A和B的元素分別為Rf和Rn中的自相關(guān)元素的傅立葉變換。這些自相關(guān)的傅立葉變換被分別定義為fe(x, y)和ne(x, y)的譜密度Sf (u, v)和Sn(u, v)。 定義QTQ=R-1f Rn，代入式(11-33)，得 (11-37) 進(jìn)一步可推導(dǎo)出 (11-38) 式中，D*為D的共軛矩陣。再進(jìn)行矩陣變

21、換： 假設(shè)M=N，則 式中，u, v=0, 1, 2, N-1， |H(u, v) |2=H*(u, v)H(u, v)。 (11-39) 對(duì)式(11-39)作如下分析： (1) 如果=1，稱(chēng)之為維納濾波器。注意，當(dāng)=1時(shí)，并不是在約束條件下得到的最佳解，即并不一定滿(mǎn)足 若為變數(shù)，此式為參變維納濾波器。 使用參變維納濾波法時(shí)，H(u, v)由點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)確定，而當(dāng)噪聲是白噪聲時(shí)，Sn(u, v)為常數(shù)，可通過(guò)計(jì)算一幅噪聲圖像的功率譜Sg(u, v)求解。由于Sg(u, v)=|H(u, v) |2Sf(u, v)+Sn(u, v)，所以Sf (u, v)可通過(guò)式(11-39)求得。 (2) 當(dāng)無(wú)

22、噪聲影響時(shí)，Sn(u, v)=0，稱(chēng)之為理想的反向?yàn)V波器。逆濾波器可看成是維納濾波器的一種特殊情況。 (3) 如果不知道噪聲的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也就是Sf (u, v)和Sn(u, v)未知時(shí)，式(11-39)可以用下式近似： 式中，K表示噪聲對(duì)信號(hào)的頻譜密度之比。 11.3.2 約束最小平方濾波 約束最小平方復(fù)原是一種以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法。如前所述，在進(jìn)行圖像恢復(fù)計(jì)算時(shí)，由于退化算子矩陣H的病態(tài)性質(zhì)，多數(shù)在零點(diǎn)附近數(shù)值起伏過(guò)大，使得復(fù)原后的圖像產(chǎn)生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方復(fù)原仍然是以最小二乘方濾波復(fù)原公式(11-37)為基礎(chǔ)， 通過(guò)選擇合理的Q，并優(yōu)化Qf2，從而去掉被恢復(fù)圖像的這種

23、尖銳部分，即增加圖像的平滑性。 我們知道，圖像增強(qiáng)的拉普拉斯算子 ，它具有突出邊緣的作用， 然而則恢復(fù)了圖像的平滑性，因此，在作圖像恢復(fù)時(shí)可將其作為約束?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何將其表示成Qf2的形式，以便使用式(11-37)。 在離散情況下，拉普拉斯算子 可用下面的差分運(yùn)算實(shí)現(xiàn)： (11-40) 利用f(x, y)與下面的模板算子進(jìn)行卷積可實(shí)現(xiàn)上面的運(yùn)算： (11-41) 在離散卷積的過(guò)程中，可利用延伸f(x, y)和p(x, y)來(lái)避免交疊誤差。延伸后的函數(shù)為Pe(x, y)。建立分塊循環(huán)矩陣，將平滑準(zhǔn)則表示為矩陣形式： (11-42) 式(11-42)中每個(gè)子矩陣Cj(j=0, 1, M-1)是

24、Pe(x, y)的第j行組成的NN循環(huán)矩陣。即Cj如下表示： (11-43) 根據(jù)循環(huán)矩陣的對(duì)角化可知，可利用前述的矩陣W進(jìn)行對(duì)角化，即 (11-44) 式中，E為對(duì)角矩陣，其元素為 ik i=k (11-45) E(k, i)是C中元素Pe(x, y)的二維傅立葉變換。并且，可以將寫(xiě)成fTCTCf，定義Q=C，則fTCTCf=Qf2。 如果要求約束條件g-Hf=n2得到滿(mǎn)足，在Q=C時(shí)，有 (11-46) 式(11-46)兩邊同乘以W-1，得 (11-47) 式中，D*為D的共軛矩陣。 所以 (11-48) 式中，u, v=0, 1, N-1，而且|H(u, v)|2=H*(u, v)H(u

25、, v)。本濾波器也稱(chēng)為最小平方濾波器。 11.4 非線(xiàn)性復(fù)原方法 11.4.1 最大后驗(yàn)復(fù)原 最大后驗(yàn)復(fù)原是一種統(tǒng)計(jì)方法，它把原圖像f(x, y)和退化圖像g(x, y)都作為隨機(jī)場(chǎng)，在已知g(x, y)的前提下，求出后驗(yàn)條件概率密度函數(shù)P(f(x,y)/g(x,y)。若 使式 (11-49) 最大，則就代表已知退化圖像g(x, y)時(shí)，最可能的原始圖像f(x, y)。這種圖像方法稱(chēng)之為最大后驗(yàn)圖像復(fù)原方法。 最大后驗(yàn)圖像復(fù)原方法把圖像看作是非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)，把圖像模型表示成一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程對(duì)于一個(gè)不平穩(wěn)的均值作零均值Gauss起伏，可得出求解迭代序列： (11-50) 其中， k為迭代次數(shù)，n

26、-2和f -2分別為f和n的方差的倒數(shù)， f 是隨空間而變的均值， 它是一個(gè)常數(shù)， 但要經(jīng)過(guò)多次迭代才能收斂到最后的解。 11.4.2 最大熵復(fù)原 最大熵復(fù)原方法是通過(guò)最大化某種反映圖像平滑性的準(zhǔn)則函數(shù)來(lái)作約束條件，以解決圖像復(fù)原中反向?yàn)V波法存在的病態(tài)問(wèn)題。 首先簡(jiǎn)單介紹一下熵的概念。 熵的定義為 (11-51)式中，P(x)為隨機(jī)變量x的概率密度。 對(duì)于離散信號(hào)， 熵的定義為 (11-52) 熵是表征隨機(jī)變量集合的隨機(jī)程度的量度。當(dāng)所有隨機(jī)變量等可能性時(shí)，也就是說(shuō)P1=P2= =Pm時(shí)熵最大，為H=lnM。由于概率P(k)介于01之間，因此最大熵的范圍為0 lnM，H不可能出現(xiàn)負(fù)值。 在二維

27、數(shù)字圖像中，熵的定義為 (11-53) 最大熵復(fù)原的原理是將f(x, y)寫(xiě)成隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)模型，然后在一定的約束條件下， 找出用隨機(jī)變量形式表示的熵的表達(dá)式，運(yùn)用求極大值的方法， 求得最優(yōu)估計(jì)解。最大熵復(fù)原的含義是對(duì) 的最大平滑估計(jì)。最大熵復(fù)原常用Friend和Burg兩種方法，這兩種方法基本原理相同，這里僅介紹Friend法。 首先定義一幅大小為MN的圖像f(x, y)， 顯然f(x, y)非負(fù)。圖像的總能量E和熵分別為 (11-54) 和 (11-55) 類(lèi)似地可定義噪聲的熵Hn： (11-56) 式中：n(x, y)=n(x, y)+B，B為最大噪聲負(fù)值。 恢復(fù)就是在滿(mǎn)足式(11-54

28、)和圖像退化模型的約束條件下， 使恢復(fù)后的圖像熵和噪聲熵達(dá)到最大。熵通常取決于f的形狀， 當(dāng)圖像具有均勻的灰度時(shí)熵最大。因此用最大熵恢復(fù)圖像具有某種平滑性。 引入拉格朗日（Lagrange）函數(shù) 式中：mn(m, n=1, 2, , N)和是拉格朗日乘子，是加權(quán)因子，表示Hf和Hn相互之間的權(quán)重。 (11-57)分別表示f(x, y)和n(x, y)的估計(jì)值，則有 把式(11-57)分別代入式(11-58)和式(11-59)，可得 (11-58)(11-59)x, y=1, 2,N m, n=1, 2, , N (11-60)(11-61)并且 滿(mǎn)足下列約束條件: (11-62) (11-63

29、) 式(11-60)為圖像恢復(fù)函數(shù)。把式(11-60)和式(11-61)代入式(11-62)和式(11-63)可得(N2+1)個(gè)方程。由此聯(lián)立方程組可解得(N2+1)個(gè)未知數(shù)解mn(m, n=1, 2, , N)，解上述方程組可求得 的值。 11.4.3 投影復(fù)原 投影復(fù)原法是用代數(shù)方程組來(lái)描述線(xiàn)性和非線(xiàn)性退化系統(tǒng)的。該系統(tǒng)可用下式描述： g(x, y)=Df(x, y)+n(x, y) 其中：f(x, y)是原始圖像，g(x, y)是退化圖像，n(x, y)是系統(tǒng)噪聲， D是退化算子，表示對(duì)圖像進(jìn)行某種運(yùn)算。 在使用投影復(fù)原法進(jìn)行圖像復(fù)原時(shí)，引進(jìn)一些先驗(yàn)信息附加的約束條件，可改善圖像復(fù)原效果

30、。 11.5 其他圖像復(fù)原技術(shù) 11.5.1 幾何畸變校正 數(shù)字圖像在獲取過(guò)程中，由于成像系統(tǒng)的非線(xiàn)性，成像后的圖像與原景物圖像相比，會(huì)產(chǎn)生比例失調(diào)，甚至扭曲，我們把這類(lèi)圖像退化現(xiàn)象稱(chēng)之為幾何畸變。典型的幾何失真如圖11-4所示。 圖11-4 幾種典型的幾何失真(a) 原圖像； (b) 梯形失真； (c) 枕形失真； (d) 桶形失真 一般，幾何畸變校正要對(duì)失真的圖像進(jìn)行精確的幾何校正， 通常是先確定一幅圖像為基準(zhǔn)，然后去校正另一幅圖像的幾何形狀。因此，幾何畸變校正一般分兩步來(lái)做：第一步是圖像空間坐標(biāo)的變換；第二步是重新確定在校正空間各像素點(diǎn)的取值。 1. 空間幾何坐標(biāo)變換 按照一幅標(biāo)準(zhǔn)圖像g

31、(u, v)或一組基準(zhǔn)點(diǎn)去校正另一幅幾何失真圖像f(x, y)，稱(chēng)之為空間幾何坐標(biāo)變換。根據(jù)兩幅圖像的一些已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)(也稱(chēng)為控制點(diǎn)對(duì))建立起函數(shù)關(guān)系式，將失真圖像的x-y坐標(biāo)系變換到標(biāo)準(zhǔn)圖像u-v坐標(biāo)系，從而實(shí)現(xiàn)失真圖像按標(biāo)準(zhǔn)圖像的幾何位置校正，使f(x, y)中的每一像點(diǎn)都可在g(u, v)中找到對(duì)應(yīng)像點(diǎn)。 2. 三角形線(xiàn)性法 圖像的幾何失真雖然是非線(xiàn)性的，但在一個(gè)局部小區(qū)域內(nèi)可近似認(rèn)為是線(xiàn)性的，基于這一假設(shè)，將標(biāo)準(zhǔn)圖像和被校正圖像之間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)劃分成一系列小三角形區(qū)域，三角形頂點(diǎn)為三個(gè)控制點(diǎn)， 在三角形區(qū)內(nèi)滿(mǎn)足以下線(xiàn)性關(guān)系： (11-64) 若三對(duì)控制點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的位置分別為(x1,

32、 y1)、 (x2, y2)、 (x3, y3)和(u1, v1)、 (u2, v2)、 (u3, v3)，則可建立兩級(jí)方程組： (11-65a) (11-65b) 解方程組(11-65)，可求出a, b, c, d, e, f六個(gè)系數(shù)。用式(11-64)可實(shí)現(xiàn)該三角形區(qū)內(nèi)其他像點(diǎn)的坐標(biāo)變換。對(duì)于不同的三角形控制區(qū)域，這六個(gè)系數(shù)的值是不同的。 三角形線(xiàn)性法簡(jiǎn)單，能滿(mǎn)足一定的精度要求，這是因它是以局部范圍內(nèi)的線(xiàn)性失真去處理大范圍內(nèi)的非線(xiàn)性失真， 所以選擇的控制點(diǎn)對(duì)越多，分布越均勻，三角形區(qū)域的面積越小， 則變換的精度越高。但是控制點(diǎn)過(guò)多又會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加， 因此需要綜合考慮。 3. 灰度值的確

33、定 圖像經(jīng)幾何位置校正后，在校正空間中各像點(diǎn)的灰度值等于被校正圖像對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值。一般校正后的圖像某些像素點(diǎn)可能擠壓在一起，或者分散開(kāi)，不會(huì)恰好落在坐標(biāo)點(diǎn)上，因此常采用內(nèi)插法來(lái)求得這些像素點(diǎn)的灰度值。經(jīng)常使用的方法有如下兩種。 1) 最近鄰點(diǎn)法 最近鄰點(diǎn)法是取與像素點(diǎn)相鄰的4個(gè)點(diǎn)中距離最近的鄰點(diǎn)灰度值作為該點(diǎn)的灰度值。如圖11-5所示。顯然，最近鄰點(diǎn)法計(jì)算簡(jiǎn)單，但精度不高，同時(shí)校正后的圖像亮度有明顯的不連續(xù)性。 圖11-5 最近鄰點(diǎn)法 2) 內(nèi)插法 用像素點(diǎn)周?chē)鷤€(gè)鄰點(diǎn)的灰度值加權(quán)內(nèi)插作為g(u0, v0)，如圖11-6所示，設(shè)像素點(diǎn)(x0, y0)周?chē)鷤€(gè)點(diǎn)為(x1, y1), (x1+1, y

34、1), (x1, y1+1), (x1+1, y1+1)，則校正值為 (11-66) 式中： 圖11-6 內(nèi)插法幾何校正 11.5.2 盲目圖像復(fù)原 盲目圖像復(fù)原法是在沒(méi)有圖像退化先驗(yàn)知識(shí)的情況下，對(duì)觀(guān)察目標(biāo)的多幅圖像以某種方式抽出退化信息， 從而進(jìn)行圖像復(fù)原的方法。 加性噪聲的模糊圖像復(fù)原方法一般有兩種： 直接測(cè)量法和間接估計(jì)法。 用直接測(cè)量法復(fù)原圖像時(shí)，需要測(cè)量圖像的模糊脈沖響應(yīng)和噪聲功率譜或協(xié)方差函數(shù)。在所觀(guān)察的景物中，點(diǎn)光源能量往往直接指示出沖激響應(yīng)；另外，圖像邊緣是否陡峭也能用來(lái)推測(cè)模糊沖激響應(yīng)。在背景亮度相對(duì)恒定的區(qū)域內(nèi)測(cè)量圖像的協(xié)方差，可以估計(jì)出觀(guān)測(cè)圖像的噪聲協(xié)方差函數(shù)。 間接估

35、計(jì)法復(fù)原圖像類(lèi)似于多圖像平均法處理。如對(duì)一個(gè)景物連續(xù)拍攝次，每一次獲取的圖像用下式表示： i=1, 2, , N (11-67) 式中：f(x, y)是原始圖像，gi(x, y)是第i次獲取的圖像，ni(x, y)是第i次的噪聲函數(shù)。 (11-68) 當(dāng)N很大時(shí)，上式右邊的噪聲項(xiàng)的值趨于它的數(shù)學(xué)期望En(x, y)。一般情況下白色高斯噪聲在所有(x, y)上的數(shù)學(xué)期望等于零。因此，原始圖像為 (11-69) 11.6 編 程 實(shí) 例 根據(jù)前面章節(jié)的討論， 圖像退化的模型為g(x, y)=f(x, y)*h(x, y)+n(x, y) 那么，圖像復(fù)原的過(guò)程可認(rèn)為是已知g(x, y)、h(x, y

36、)、n(x, y)的一些先驗(yàn)知識(shí)，求出f(x, y)。對(duì)于不同的退化函數(shù)和噪聲性質(zhì)， 可推導(dǎo)出前面介紹的一些圖像復(fù)原方法。本節(jié)介紹實(shí)際中經(jīng)常用到的逆濾波復(fù)原圖像法。 圖像的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h為 也就是說(shuō)用一個(gè)77的模板對(duì)原始圖像進(jìn)行平滑模糊操作。 首先使用退化函數(shù)h對(duì)圖像進(jìn)行模糊操作， 生成一幅退化的圖像，退化系統(tǒng)為 上式的計(jì)算過(guò)程是，先求出圖像和退化函數(shù)的傅立葉變換， 在頻域相乘后，再按下式求逆傅立葉變換： 圖像復(fù)原的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下。 1 添加菜單 圖11-7 圖像復(fù)原菜單 2 添加消息映射 在文檔類(lèi)中添加兩個(gè)消息映射函數(shù)， 分別是OnRestoreBlur()和OnRestoreInvfilt

37、()。OnRestorBlur()調(diào)用圖像復(fù)原類(lèi)CRestore的ConvBlur()函數(shù)生成一幅退化圖像。OnRestoreInvfilt()調(diào)用圖像復(fù)原類(lèi)CRestore的InvFilter()函數(shù)對(duì)退化圖像進(jìn)行復(fù)原。代碼如下： void CDipDoc: : OnRestoreBlur() / TODO: Add your command handler code here /判斷當(dāng)前是否載入圖像 if( m_pImageObject = NULL ) return; D /定義一個(gè)圖像復(fù)原對(duì)象 CRestore Restore( m_pImageObject ); /調(diào)用卷積模糊函數(shù) Restore.ConvBlur(); /更新視圖 UpdateAllViews(NULL); OnRestoreInvfilt()函數(shù)主