隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)的時(shí)域分析課件

1、 下面由一個(gè)試驗(yàn)實(shí)例來(lái)建立隨機(jī)過(guò)程的概念。舉例： 在相同條件下，對(duì)同一雷達(dá)接收機(jī)的內(nèi)部噪聲電壓（或電流）經(jīng)過(guò)大量的重復(fù)測(cè)試后，設(shè)觀測(cè)到的所有的可能結(jié)果有n種，記錄下n個(gè)不相同的波形。2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念 以上S是所有可能結(jié)果的集合，盡管在每次測(cè)量以前，不能事先確定哪條波形將會(huì)出現(xiàn)，但事先可以確定“總會(huì)”在這n個(gè)波形中“出現(xiàn)一個(gè)”。即：S中每一個(gè)結(jié)果k總有一個(gè)波形X(t，k)與其對(duì)應(yīng)。這是一個(gè)典型的“隨機(jī)過(guò)程模型”。 盡管從總體上看隨機(jī)過(guò)程各次所得的結(jié)果可能不盡相同，是隨機(jī)的。但是就其單次實(shí)驗(yàn)結(jié)果k而言，它是確定的，是可以用一個(gè)確定時(shí)間函數(shù) 表示的。 因此，如果能觀察到隨機(jī)過(guò)程的所有可能結(jié)

2、果，每個(gè)結(jié)果用一個(gè)確定函數(shù)表示，則隨機(jī)過(guò)程則可以用所有這些確定函數(shù)的總體 來(lái)描述。 相對(duì)所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果S而言，這一族時(shí)間函數(shù)的總體 構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程，其中 稱隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)，而所有樣本函數(shù)的集合 則構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程的“樣本函數(shù)空間”。 可見(jiàn)隨機(jī)過(guò)程必定是兩個(gè)參變量的函數(shù)X(t，)， tT，S。對(duì)于某個(gè)時(shí)刻t=ti， X(ti，) 通常稱為隨機(jī)過(guò)程X(t，)在t=ti時(shí)刻的“狀態(tài)”。它僅是參變量的函數(shù)，對(duì)所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果S而言，它隨機(jī)地取X(ti ，1) ， X(ti ，k)， ， X(ti，n) 中的任一個(gè)“值” 所以隨機(jī)過(guò)程X(t，)在t=ti時(shí)刻的“狀態(tài)” X(ti，) 是定義在S上的一個(gè)“隨機(jī)

3、變量”Xi。 而隨機(jī)過(guò)程X(t，)在t=tj時(shí)刻的“狀態(tài)” X(tj，)是定義在S上的另一個(gè)“隨機(jī)變量”Xj 。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t)而言：固定， t變化。 一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)。t 固定， 變化。 一個(gè)隨機(jī)變量（狀態(tài)）。 t固定， 固定。 一個(gè)確定的值。 ， X(t， n)， t變化， 變化。 隨機(jī)過(guò)程（一族時(shí)間函數(shù)的總體， 或隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量）一般隨機(jī)變量寫成:X,Y,Z。一般隨機(jī)過(guò)程寫成:X(t),Y(t),Z(t)一般樣本函數(shù)寫成: 隨著t的變化，得到一個(gè)個(gè)不同的“狀態(tài)” X(t1，) ,X(ti，), , X(tn，)是一個(gè)個(gè)不同的隨機(jī)變量X1,X2, , Xm。所以又可以將隨機(jī)過(guò)程

4、X(t，)看成一個(gè)“隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量X(t) ”。2）狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值連續(xù)，即幅度上也連續(xù)。當(dāng)t固定時(shí)，其狀態(tài)Xj是連續(xù)型隨機(jī)變量。 如其概率密度2.1.2 隨機(jī)過(guò)程的分類一、按狀態(tài)和樣本函數(shù)是連續(xù)還是離散來(lái)分類。連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程 X(t, ).1）時(shí)間連續(xù)當(dāng)固定時(shí)，其樣本函數(shù) 是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù) 如：離散型隨機(jī)過(guò)程 X(t,) 1）狀態(tài)離散當(dāng)t固定時(shí)，狀態(tài)Xj取值離散如（1，1），其狀態(tài)是離散型隨機(jī)變量。其概率分布如：2）時(shí)間連續(xù)當(dāng)固定時(shí)，其樣本函數(shù) 是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)如：連續(xù)隨機(jī)序列 離散時(shí)間t用序號(hào)n代替 1）狀態(tài)連續(xù)當(dāng)t固定時(shí)，狀態(tài)Xj取值連續(xù)，是連續(xù)型隨機(jī)變 量。其概率密度2）時(shí)間

5、離散當(dāng)固定時(shí)，其樣本函數(shù) 在時(shí)間t上是離散的 所以構(gòu)成序列。如：取值連續(xù)離散隨機(jī)序列 1）狀態(tài)離散狀態(tài)Xj取值離散，是離散型隨機(jī)變量。 如：2）時(shí)間離散樣本函數(shù) 在時(shí)間t上也是離散的(序列)。取值離散二、按隨機(jī)過(guò)程的概率分布或性質(zhì)來(lái)分類1)、高斯過(guò)程、泊松過(guò)程、維納過(guò)程其每一個(gè)狀態(tài)Xj均為高斯分布、泊松分布、維納分布。2)、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程的一階，二階矩不隨時(shí)間的變化而變化3)、獨(dú)立增量過(guò)程每一個(gè)狀態(tài)的增量之間相互獨(dú)立。213、隨機(jī)過(guò)程的概率分布例：隨機(jī)過(guò)程X(t)在任意n個(gè)時(shí)刻t1,t2,tn狀態(tài)X(t1) ,X(t2) ,X(tn)構(gòu)成n維隨機(jī)變量 X(t1),X(t2),X(tn) ，當(dāng)

6、t0,n 時(shí)的 n維隨機(jī)變量近似隨機(jī)過(guò)程。因此，可以借用對(duì)n維隨機(jī)變量的分析研究來(lái)“替代”或“近似”對(duì)隨機(jī)過(guò)程的分析研究。所以定義隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布函數(shù)：一維概率密度：一、隨機(jī)過(guò)程的一維分布隨機(jī)過(guò)程X(t)在任一固定時(shí)刻t1T，其狀態(tài)是一維隨機(jī)變量，其分布函數(shù) 可以反應(yīng)隨機(jī)過(guò)程X(t)在整個(gè)時(shí)間段T上的所有一維狀態(tài)的概率分布情況。一維分布只能描述隨機(jī)過(guò)程X(t)在任一孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，而不能反應(yīng)隨機(jī)過(guò)程X(t)的各個(gè)狀態(tài)之間的關(guān)系。二、隨機(jī)過(guò)程的二維分布隨機(jī)過(guò)程X(t)在任意兩個(gè)固定時(shí)刻t1T， t2T的狀態(tài)X(t1) ,X(t2)構(gòu)成二維隨機(jī)變量X1，X2，其聯(lián)合分布函數(shù)：隨著(t

7、1, t2)的變化， 可以表示隨機(jī)過(guò)程X(t)在整個(gè)時(shí)間段T上，任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)的聯(lián)合概率分布情況。二、隨機(jī)過(guò)程的二維分布所以定義隨機(jī)過(guò)程X(t) 二維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程X(t) 二維概率密度：同多維隨機(jī)變量一樣，隨機(jī)過(guò)程X(t)的n維概率分布具有下列主要性質(zhì)： 1） 2） 3）4）5)6）如果X(t1), X(t2),X(tn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有三、隨機(jī)過(guò)程X(t) 的n維概率分布 隨機(jī)過(guò)程X(t)在任意n個(gè)時(shí)刻t1,t2,tn狀態(tài)X(t1)、X(t2)、X(tn)構(gòu)成n維隨機(jī)變量 X1,X2,Xn 。用類似上面的方法，我們可以定義隨機(jī)過(guò)程X(t)的n維分布函數(shù)為：n維概率密度為：214、隨機(jī)

8、過(guò)程的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望如果將過(guò)程X(t)中的 t 看成是固定的，則 X(t)就是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨機(jī)的取值x，其在 t 時(shí)刻取x值的概率密度為 。據(jù)期望的定義：mx(t) 描述了X(t)所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心即X(t)在各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)(隨機(jī)變量)的數(shù)學(xué)期望。二、隨機(jī)過(guò)程X(t)的均方值和方差同理，把過(guò)程X (t)中的t視為固定時(shí)， X(t)為時(shí)刻t的狀態(tài)（隨機(jī)變量）。其二階原點(diǎn)矩：將t視為變量時(shí)，即為過(guò)程X (t)的均方值。同理，過(guò)程X(t)的方差：過(guò)程X(t)的均方差：對(duì)離散型隨機(jī)過(guò)程Y(t),tT,若所有狀態(tài)取值的樣本空間為Sy1,y2,ym?？捎美瘮?shù)表示其一維概率密度。即

9、： iI=1,m其中 表示t時(shí)刻狀態(tài)Y(t)取值為yi的概率。故離散型隨機(jī)過(guò)程Y(t)的數(shù)學(xué)期望為：均方值為：方差為：三、隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)下面兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)， Y(t) 它們的期望和方差都相同，mx(t)=my(t)，x(t)= y(t)。但從樣本函數(shù)看有明顯不同。X(t)隨時(shí)間變化慢，不同時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)X(t1),X(t2)之間的依賴性強(qiáng)（相關(guān)性強(qiáng)）。Y(t)隨時(shí)間變化快，不同時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)Y(t1),Y(t2)之間的依賴性弱（相關(guān)性弱）。因此期望和方差不能反應(yīng)過(guò)程內(nèi)部變化快慢、相關(guān)性強(qiáng)弱的狀況。一般用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程“任意兩個(gè)時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系”的重要數(shù)字特征 自相關(guān)函數(shù)

10、定義為：它反應(yīng)了任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)X(t1) 與X(t2)之間的“相關(guān)程度”。狀態(tài)X(t1) 與X(t2)之間的相關(guān)程度也可以用自協(xié)方差函數(shù)來(lái)描述：隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)系數(shù)定義為：若離散型隨機(jī)過(guò)程Y(t)所有狀態(tài)可能取值的范圍是y，則該過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為：注：隨機(jī)過(guò)程的期望、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)等存在的條件是：例2.2、設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Ut，U在(0,1)上均勻分布，求EX(t)，DX(t)，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。解：例2.3 若一隨機(jī)過(guò)程由下圖所示的四條樣本函數(shù)組成，而且每條樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等，求RX (t1, t2) 。X(t1)X(t2)Pi1

11、151/42241/43621/44311/4解：由題意可知，隨機(jī)過(guò)程X(t)在 t1, t2 兩個(gè)時(shí)刻為兩個(gè)離散隨機(jī)變量。所以可列出聯(lián)合分布率如下： 一次結(jié)果中，決不會(huì)發(fā)生t1時(shí)刻的狀態(tài)在3上取值，而到t2時(shí)刻的狀態(tài)在4上取值。k1,k2不在一條樣本上，此情況發(fā)生的概率為0。即PX(t1)=k1,X(t2)=k2 =0。 由于一次試驗(yàn)結(jié)果只有一個(gè)樣本出現(xiàn)，若此次樣本3出現(xiàn)，則t1時(shí)刻的狀態(tài)必在3上取值，且t2時(shí)刻的狀態(tài)必還在3上取值。 k1,k2必在一條樣本上，此情況發(fā)生的概率為1/4。 PX(t1)=k1,X(t2)=k2 = 1/4。 樣本i發(fā)生的概率。2.1.5 隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)一、

12、一維特征函數(shù)將X(t)視為某一固定t時(shí)刻的狀態(tài), 則隨機(jī)變量X(t)的特征函數(shù)：將t看成變量， 就是隨機(jī)過(guò)程X(t)的特征函數(shù)。特征函數(shù)的逆變換：n階原點(diǎn)矩：二維特征函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程X(t)在任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2的狀態(tài)構(gòu)成二維隨機(jī)變量 X(t1), X(t2) ，它們的聯(lián)合特征函數(shù)為：又稱作隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維特征函數(shù)。二維特征函數(shù) 的逆變換：所以，隨機(jī)過(guò)程X(t)的相關(guān)函數(shù)可以用其二維特征函數(shù)來(lái)求：若將上式兩邊對(duì)變量1，2各求一次偏導(dǎo)數(shù)，據(jù)逆轉(zhuǎn)公式，由過(guò)程X(t)的n維特征函數(shù)可求得n維概率密度。三. n維特征函數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù) 將t固定，則離散型隨機(jī)過(guò)程X(t)是在t時(shí)刻的狀態(tài)

13、，若X(t)(隨機(jī)變量)隨機(jī)的取值i ，i=1,2,，其概率 ，則離散型隨機(jī)過(guò)程的一維特征函數(shù)定義為 同理，定義兩個(gè)時(shí)刻t1,t2的狀態(tài)X(t1) ，X(t2)的聯(lián)合特征函數(shù)為離散型隨機(jī)過(guò)程的二維特征函數(shù)2.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程粗略的說(shuō)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間的推移而變化。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 1. 定義 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程 X(t) , t T，若對(duì)于任意n和任意t1t2 0)以后， rx()就很小了，可以近似認(rèn)為X(t)與X(t+ )不相關(guān)。這個(gè)可以認(rèn)為X(t)與X(t+ )不相關(guān)的時(shí)間間隔“0” 稱為“相關(guān)時(shí)間”。由圖可見(jiàn)，由于過(guò)程不同，自相關(guān)系數(shù)r ()也不同，其不相關(guān)的時(shí)間間隔“0” 也不相同

14、。通常定義相關(guān)時(shí)間“0”的方法有兩種：1、2、相關(guān)時(shí)間“0”所反映的意義：由圖可見(jiàn)，曲線越陡，相關(guān)時(shí)間“0”越小，意味著過(guò)程的任意兩個(gè)狀態(tài)X(t),X(t+ ) 不相關(guān)所要求的時(shí)間差越短。樣本變化越劇烈（樣本起伏越大）。反之，且反。因此，相關(guān)時(shí)間0是對(duì)過(guò)程的任意兩個(gè)狀態(tài)X(t),X(t+ ) 隨變成不相關(guān)“快、慢”的一種度量。例2.8 已知平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù) ，求其自相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間。解：由相關(guān)系數(shù)的定義由相關(guān)時(shí)間定義一：由相關(guān)時(shí)間定義二：一.兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程 ,它們的概率密度分別為1、兩個(gè)過(guò)程的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)2、兩個(gè)過(guò)程的n+m維聯(lián)合概率密度2.3

15、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性3、若X(t)與Y(t)對(duì)于任意的 n, m, 都有或則稱隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)是相互獨(dú)立的。4、若兩個(gè)過(guò)程的任意n+m維聯(lián)合分布均不隨時(shí)間平移 而變化，則稱此兩過(guò)程為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)或者嚴(yán)平穩(wěn)相依。兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)和正交1、互相關(guān)函數(shù) 定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為式中 是過(guò)程X(t)與Y(t)在兩個(gè)時(shí)刻t1, t2的狀態(tài)。2、協(xié)方差函數(shù) 定義過(guò)程X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)為式中 分別是隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望。此式也可寫成3、兩個(gè)過(guò)程正交4、兩個(gè)過(guò)程互不相關(guān)若兩個(gè)過(guò)程X(t)和Y(t)對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻 t1，t2 都有則稱X(t)和Y(t)兩個(gè)

16、過(guò)程正交。則稱兩個(gè)過(guò)程X(t)和Y(t)在同一時(shí)刻的狀態(tài)正交。若兩個(gè)過(guò)程X(t)和Y(t)對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻 t1，t2 都有則稱X(t)和Y(t)兩個(gè)過(guò)程互不相關(guān)。若僅在同一時(shí)刻 t 存在若僅在同一時(shí)刻 t 存在則稱兩個(gè)過(guò)程X(t)和Y(t)在同一時(shí)刻的狀態(tài)互不相關(guān)。 三、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程聯(lián)合平穩(wěn)1、定義 若X(t) 、Y(t)為兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且它們的互相關(guān)函數(shù)僅是單變量的函數(shù)，即則稱過(guò)程X(t)和Y(t)為“聯(lián)合寬平穩(wěn)”， 簡(jiǎn)稱“聯(lián)合平穩(wěn)”。2、性質(zhì)(1)、互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)均不是偶函數(shù)(2)、互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的取值滿足：(3)、 表示兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程正交。(5)、 表示兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程

17、互不相關(guān)。(4)、 兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程所有同一時(shí)刻的狀態(tài)正交。(6)、 兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程所有同一時(shí)刻的狀態(tài)互不相關(guān)。3、兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程的互相關(guān)系數(shù)2.4 復(fù)隨機(jī)過(guò)程（不講）“實(shí)”隨機(jī)過(guò)程可以看成隨時(shí)間變化的“實(shí)”隨機(jī)變量?！皬?fù)”隨機(jī)過(guò)程可以看成隨時(shí)間變化的“復(fù)”隨機(jī)變量。一、復(fù)隨機(jī)變量1、定義：復(fù)隨機(jī)變量 Z=X+jY 由實(shí)隨機(jī)變量X,Y構(gòu)成。2、復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義的原則：必須滿足：在 Y=0 時(shí) Z 的數(shù)字特征，就是 X 的數(shù)字特征。(1)復(fù)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望：若設(shè)中心化的復(fù)隨機(jī)變量 ：(2)復(fù)隨機(jī)變量Z的方差：(3)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量Z1=X1+jY1 與 Z2=X2+jY2的協(xié)方差：(6)兩

18、個(gè)復(fù)隨機(jī)變量Z1,Z2的正交(4)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量Z1=X1+jY1 與 Z2=X2+jY2相互獨(dú)立的條件(5)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量Z1,Z2的互不相關(guān)復(fù)隨機(jī)過(guò)程1、定義復(fù)隨機(jī)過(guò)程為： Z(t) = X(t) + jY(t) 式中X(t)和Y(t)都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程。2、復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z(t)統(tǒng)計(jì)特性可以由X(t)和Y(t)的2n維聯(lián)合概率分布 完整的描述，其概率密度為Z(t)的數(shù)學(xué)期望：3、復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z(t)的數(shù)字特征Z(t)的方差：Z(t)的自相關(guān)函數(shù)：Z(t)的自協(xié)方差函數(shù)：4、復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z(t)平穩(wěn)的條件：(X(t)和Y(t)各自都是平穩(wěn)過(guò)程)Z1(t)與Z2(t)的互協(xié)方差函數(shù)：兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z1(

19、t)， Z2(t)聯(lián)合平穩(wěn)的條件：Z1(t)與Z2(t)的互相關(guān)函數(shù)：Z1(t)， Z2(t)各自平穩(wěn)，且：5、兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z1(t)， Z2(t)Z1(t) =X1(t)+jY1(t)， Z2(t)=X2(t)+jY2(t)(4) 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z1(t)和 Z2(t)互不相關(guān)(5) 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z1(t)和 Z2(t)正交2.5 隨機(jī)過(guò)程的微分和積分 在高等數(shù)學(xué)中，數(shù)列的收斂與極限是微積分的基礎(chǔ)。在隨機(jī)過(guò)程中，隨機(jī)序列的收斂與極限的概念則是隨機(jī)過(guò)程微積分的基礎(chǔ)。 舉例：設(shè)一電壓控制電路對(duì)外來(lái)的噪聲電壓信號(hào)進(jìn)行控制，使其穩(wěn)定在某一水平。我們考察這一漸進(jìn)過(guò)程。 設(shè)該試驗(yàn)共有三個(gè)結(jié)果S=(

20、1,2, 3)，在t=1,2, ,n,上采樣, 隨時(shí)間變化得一串隨機(jī)變量X1,X2,Xn 稱隨機(jī)變量序列X(n)。對(duì)某次試驗(yàn)結(jié)果 而言，在樣本函數(shù) 上采樣得到的 是一個(gè)普通數(shù)列稱“樣本序列”。2.5.1 隨機(jī)序列的收斂“數(shù)列收斂”的概念： 若有數(shù)列S1,S2,Sn,對(duì)任意小的正實(shí)數(shù)0，總能找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，存在Sn-aN ，則稱數(shù)列S1,S2,Sn,收斂于常數(shù)a ，用 表示?；蛴肧1,S2,Sn 即稱：數(shù)列Sn的極限為a.一、隨機(jī)序列收斂的幾種定義1、隨機(jī)變量序列“處處收斂” 若隨機(jī)序列樣本空間S=1, 2, 3中的“所有” 的樣本序列(普通數(shù)列)均收斂，即：則稱：隨機(jī)序列X(n

21、) “處處收斂”于隨機(jī)變量X。記作：簡(jiǎn)寫： 在上述“處處收斂”的定義中，S中只要有“一個(gè)”i對(duì)應(yīng)的樣本序列 不收斂，則隨機(jī)序列X(n)就不是“處處收斂”的。這個(gè)條件一般的隨機(jī)序列都不容易滿足。 下面介紹幾種常用的“寬松的” 收斂定義。2、以概率1收斂（“幾乎處處收斂”）almost .every.where若隨機(jī)序列X(n)相對(duì)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果 S滿足：則稱：隨機(jī)序列X(n) “以概率1收斂”于隨機(jī)變量X。簡(jiǎn)記：3、依概率收斂(Probability) 若隨機(jī)序列X(n) 對(duì)于任意給定小正數(shù) ，有：則稱：隨機(jī)序列X(n)“依概率收斂”于隨機(jī)變量X。記：4、依分布收斂(distributio

22、n) 設(shè)：Fn(x)，n=1,2,是隨機(jī)序列X(n)的分布函數(shù)，F(xiàn)(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。若存在：則稱：隨機(jī)變量序列X(n)“依分布收斂”于X。記： 5、均方收斂（平均意義下的收斂）Mean.square 設(shè)隨機(jī)序列X(n)對(duì)所有 的n=1,2,二階矩存在，隨機(jī)變量X的二階矩也存在。 若X(n)、X滿足：則稱：隨機(jī)序列X(n) “均方收斂”于隨機(jī)變量X。 記作： 或： (2) 均方收斂的充要條件（柯西準(zhǔn)則） 若隨機(jī)序列X(n)和隨機(jī)變量X的二階矩均存在，則X(n)均方收斂于X的充要條件是：只需要對(duì)隨機(jī)序列X(n)的一個(gè)方差 進(jìn)行檢驗(yàn)，比較方便。因此，在隨機(jī)過(guò)程中運(yùn)用的是均方收斂。四種收斂

23、模式之間的關(guān)系：一般確定函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)x(t)在 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量的增量t0 時(shí)，函數(shù)的增量也趨于0，即一、隨機(jī)過(guò)程處處連續(xù)對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t)而言，若它的每一個(gè)樣本函數(shù)在 上都連續(xù)：則稱：該過(guò)程X(t)在 上處處連續(xù)。252 隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性則稱：函數(shù)x(t)在 上連續(xù).在微積分中，一個(gè)函數(shù)要可微，該函數(shù)首先必須要連續(xù)。若X(t) 的自相關(guān)函數(shù) 在tT (t1=t2=t)上連續(xù)，則X(t)便在tT上均方連續(xù)。二、均方連續(xù)1、定義若二階矩過(guò)程在tT上滿足則稱X(t) 在tT上，“在均方意義下”連續(xù)?；蚍Q該二階矩過(guò)程X(t)具有“均方連續(xù)性”。常表示為或者簡(jiǎn)稱過(guò)程m.s連續(xù)。2

24、、均方連續(xù)的準(zhǔn)則（過(guò)程X(t) 在tT上均方連續(xù)的“充要條件”）若 在t1=t2=t處一般連續(xù)，則有證明：展開定義式左側(cè)對(duì)上式兩邊取極限：也就有X(t)均方連續(xù).若X(t) 在tT上均方連續(xù)，則 在t1=t2=t上一般連續(xù)。利用許瓦茲不等式證明：對(duì)不等式兩端取極限：若X(t)在tT上均方連續(xù)，則有即有即則 在t1=t2=t上一般連續(xù)。證畢。3、推論 （1）若自相關(guān)函數(shù) 在 (t1=t2=tT)C上的每一點(diǎn)連續(xù)，則它在時(shí)域(t1,t2) TT上處處連續(xù)。證：設(shè)(t1,t2) TT時(shí)域中任意(t1t2)處，將(t1,t2)分別代 換(5137)式中的(t，t)。同理可證：若X(t)是平穩(wěn)過(guò)程，Rx

25、(t,t)=R(0), 則“Rx()在 =0上連續(xù)” 是平穩(wěn)過(guò)程X(t)在 tT上均方連續(xù)的充要條件。(t1t2)因自相關(guān)函數(shù)在 (t1=t2=tT) 上的每一點(diǎn)連續(xù)，則過(guò)程X(t)在 tT上均方連續(xù)。有:因?yàn)閯t有則有即自相關(guān)函數(shù) 在(t1,t2) TT時(shí)域中任意(t1t2) 上，也連續(xù)。證畢。故有（2）如果隨機(jī)過(guò)程X(t)是均方(m.s)連續(xù)，則它的數(shù)學(xué)期望也必定連續(xù)。即：證明：設(shè)隨機(jī)過(guò)程因故由于X(t)是均方連續(xù)的所以：也就有：也可以寫成如下的形式：即： 一個(gè)均方連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，“求極限”與“求期望”可以交換次序。注： 是一般意義下的極限， 是均方意義下的極限。2.5.3 隨機(jī)過(guò)程的微分隨

26、機(jī)過(guò)程的微分（導(dǎo)數(shù)） 1. 均方導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)均方連續(xù)過(guò)程 X(t), tT 和隨機(jī)過(guò)程X (t) ，tT,若在整個(gè)T內(nèi)當(dāng) 時(shí)， 均方收斂于 X (t) 即滿足或者則稱過(guò)程X(t)在tT上均方( m.s )可導(dǎo)（可微）。而 便稱為過(guò)程X(t)在tT上的均方導(dǎo)數(shù)。均方可微的條件 在檢驗(yàn)過(guò)程X(t)是否均方可微時(shí)，我們遇到了一個(gè)問(wèn)題，在上式中， X (t) 是待求的。在X (t) 尚未求出時(shí)，檢驗(yàn)X(t)是否均方可微，我們可以運(yùn)用一個(gè)能避開X (t) 的準(zhǔn)則Cauchy準(zhǔn)則。即，如果X(t)滿足：則稱X(t) 在均方意義下可微。我們由式（5147）出發(fā)推導(dǎo)出X(t)均方可微的充分條件。對(duì)上式端求極

27、限，可得： 由此可見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程X(t)在tT上，均方可微的充要條件是在一切(t,t),tT上 存在。如果偏導(dǎo)數(shù) 存在，則式(5-147)可寫成隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù) 的數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)1、 Y(t)的數(shù)學(xué)期望設(shè)Y(t)為可微過(guò)程X(t)的導(dǎo)數(shù)即導(dǎo)數(shù)的期望期望的導(dǎo)數(shù)“求極限”與“求期望” 交換次序隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與其數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算可以交換次序。2、 Y(t)的自相關(guān)函數(shù) 根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，有而X(t)與Y(t)的互相關(guān)函數(shù)又因隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù) 的自相關(guān)函數(shù)，等于隨機(jī)過(guò)程 自相關(guān)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。將該式代入上式，得到：三、對(duì)平穩(wěn)過(guò)程的分析X(t)為平穩(wěn)過(guò)程：EX(t) 常數(shù)，Rx(t1,t2)=Rx()

28、 或：1)、由導(dǎo)數(shù)存在的條件得平穩(wěn)過(guò)程均方可導(dǎo)的條件： 2)、對(duì)于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程若實(shí)平穩(wěn)過(guò)程過(guò)程X(t)在 tT上均方可導(dǎo)，則有：解：需判斷 是否存在例：已知隨機(jī)過(guò)程X(t)為：其中，V為隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為5，方差為6。問(wèn)：X(t)是否可導(dǎo)？若可導(dǎo)，求其導(dǎo)數(shù)的均值與相關(guān)函數(shù)。故：X(t)是均方可導(dǎo)，其均值和相關(guān)函數(shù)分別為：相應(yīng)與每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 ，積分都可得到一個(gè)數(shù) ;但是，對(duì)應(yīng)不同的 ，積分值 也是不同的，故對(duì)所有的試驗(yàn)結(jié)果，Y是一個(gè)隨機(jī)變量。 2.5.4 隨機(jī)過(guò)程的積分隨機(jī)過(guò)程的積分 若連續(xù)時(shí)間過(guò)程 X(t),tT 在區(qū)間 a,b T上對(duì)所有樣本函數(shù) 存在Riemann積分其中 是在a,b上有

29、限分割 的任意子區(qū)間 長(zhǎng)度， 是子區(qū)間 中任意處。 則稱過(guò)程X(t)是“處處可積”的。因此，我們定義均方意義上的積分。均方積分的定義 若二階矩過(guò)程X(t)滿足：一般的隨機(jī)過(guò)程，并不是所有的樣本函數(shù)的積分都存在的。則稱過(guò)程X(t) 是均方可積的。而隨機(jī)變量 為過(guò)程X(t) 在確定區(qū)間a,b上的“均方積分”。2 . 均方可積的條件積分的期望二、隨機(jī)過(guò)程積分的期望和自相關(guān)函數(shù)可見(jiàn)：均方可積的過(guò)程，求積分與求期望可以交換次序。2、積分的均方值積分求期望期望求積分4、積分的自相關(guān)函數(shù)3、積分的方差 2.6 各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程 在隨機(jī)過(guò)程的概率分布未知情況下，如要得到隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征如：EX(t)、 DX(t

30、)、Rx(t1，t2 ) ，只有通過(guò)做大量重復(fù)的觀察試驗(yàn)找到“所有樣本函數(shù)x(t)”，找到各個(gè)樣本函數(shù)x(t)發(fā)生的概率，再對(duì)過(guò)程的“所有樣本函數(shù)x(t)”求統(tǒng)計(jì)平均才可能得到。這在實(shí)際應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn)。因此，人們想到：能否從一個(gè)樣本函數(shù)(t)中提取到整個(gè)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特征的信息？ 19世紀(jì)俄國(guó)的數(shù)學(xué)家辛欽，從理論上證明：存在一種平穩(wěn)過(guò)程，在具備了一定的補(bǔ)充條件下，對(duì)它的任何一個(gè)樣本函數(shù)(t)所做的時(shí)間平均，在概率意義上趨近于它的統(tǒng)計(jì)平均對(duì)于具有這樣特性的隨機(jī)過(guò)程稱之為“各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程”。 可以理解為： “各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程”的任一個(gè)樣本函數(shù)(t)都經(jīng)歷了過(guò)程的各種可能狀態(tài)，從它的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)中可以提

31、取到整個(gè)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特征的信息。 因此，可以用它的一個(gè)樣本函數(shù)(t)的“時(shí)間平均”來(lái)代替它的“統(tǒng)計(jì)平均”。目地舉例：在較長(zhǎng)時(shí)間T內(nèi)，觀察一個(gè)已工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的噪聲二極管的輸出電壓。一條樣本函數(shù)。其時(shí)間平均：若 對(duì) (t)采樣，將T分成k等份，則時(shí)間平均近似于k個(gè)采樣值1，k進(jìn)行的算術(shù)平均：若在工作條件不變的情況下，對(duì)同一個(gè)噪聲二極管進(jìn)行k次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)，得到k條樣本函數(shù)（T時(shí)可以看成是從(t)上一段段截取下來(lái)的）此噪聲電壓的“時(shí)間平均” 以概率收斂于它的“統(tǒng)計(jì)平均”（期望）只要T、k、則沒(méi)有任何理由說(shuō)：前一方法得到的 比后一方法得到的 來(lái)的大些？還是小些？從統(tǒng)計(jì)的意義上看：又由于過(guò)程是平穩(wěn)的，

32、統(tǒng)計(jì)平均值是常數(shù)：又稱為“均值各態(tài)歷經(jīng)”。其結(jié)果m是個(gè)確定的常數(shù)。符號(hào)或 表示求時(shí)間平均。 但由于隨機(jī)過(guò)程X(t)是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量 ， 對(duì)于每一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果 ，都有一個(gè)與對(duì)應(yīng)的確定時(shí)間函數(shù) ，都有一個(gè)與對(duì)應(yīng)的時(shí)間平均m ，所以若對(duì)過(guò)程 求時(shí)間平均，則：2.7.1 各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的定義一、時(shí)間平均1）、時(shí)間均值：一般來(lái)說(shuō)，若對(duì)一個(gè)確定的樣本函數(shù)(t)求時(shí)間均值，則2）時(shí)間自相關(guān) 一般來(lái)說(shuō)若對(duì)樣本函數(shù)(t)求時(shí)間自相關(guān)，則 其結(jié)果 是個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)。 其中 對(duì)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 ，都有一個(gè)確定值 與其對(duì)應(yīng)，所以隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間均值一般是個(gè)隨機(jī)變量。二、嚴(yán)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的定義 若平穩(wěn)過(guò)程X(t)滿足：則

33、稱X(t)是嚴(yán)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程或X(t)具有嚴(yán)各態(tài)歷經(jīng)性。若對(duì)隨機(jī)過(guò)程 求時(shí)間自相關(guān)，則由于 對(duì)不同的試驗(yàn)結(jié)果 而言，都有不同的時(shí)間函數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，所以，隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)一般是個(gè)隨機(jī)過(guò)程。寬各態(tài)歷經(jīng)的定義對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t) 1）如果 “以概率1成立”，則稱過(guò)程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。2）如果 “以概率1成立”，則稱過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。若上式成立，則有“以概率1成立”，即過(guò)程的均方值也具有各態(tài)歷經(jīng)性。3）如果過(guò)程X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱X(t)為寬（或廣義）各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。2.7.2 各態(tài)歷經(jīng)性在工程應(yīng)用上的意義據(jù)各態(tài)歷經(jīng)的定義，必須

34、指出，今后，我們凡提到“各態(tài)歷經(jīng)”一詞時(shí)，除非特別指出，通常都是指的寬各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程?？傻靡弧⒃诠こ虘?yīng)用上，可以用各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的“任一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均”來(lái)代替“整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均”。1、過(guò)程的“期望” 代表過(guò)程的“直流分量”二、各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程（一，二階）矩所代表的物理意義2、過(guò)程的“均方值” 代表過(guò)程的“總平均功率”3、過(guò)程的“方差” 代表過(guò)程的“交流平均功率”2.7.3 隨機(jī)過(guò)程具備各態(tài)歷經(jīng)性的條件1、各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程一定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（反之則不一定）。2、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件3、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件4、正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性的充分條件

35、由于，在工程中所遇到的大多數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，每個(gè)樣本都出于同一隨機(jī)因素，因而各樣本都具有相同的概率分布特性，可以認(rèn)為工程中所遇到的大多數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程都具有各態(tài)歷經(jīng)性。因此，人們通常憑“經(jīng)驗(yàn)” 先把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，再根據(jù)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)此假設(shè)是否合理。例1：隨機(jī)過(guò)程X(t)=acos(w0t + )，其中為（0,2）上均勻分布的隨機(jī)變量。討論X(t)是否具有遍歷性。解：1. 討論平穩(wěn)性。 2. 討論遍歷性。故：X(t)具有遍歷性例2：討論隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y的遍歷性，其中Y是方差不為0的隨機(jī)變量。解：1.討論平穩(wěn)性：故X(t)平穩(wěn)；2. 討論遍歷性：故X(t)非遍歷。若隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維概率分布都是高斯分布的，則稱它為高斯過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。一、高斯隨機(jī)過(guò)程2.7 高斯隨機(jī)過(guò)程高斯過(guò)程X(t)的n維概率密度有：二、高斯隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)1、寬平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)證明：從上式 中可以看出，高