6-2-3 向量的數(shù)量積-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步教學(xué)課件（人教A版2019必修第二冊）

1、第6章 平面向量及其應(yīng)用6.2.3 向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的物理背景1力所做的功的計算 如圖，一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力的方 向與位移的方向的夾角為，則力F所做的功為 其中 是物體在位移方向上分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.【1】功W是一個數(shù)量，既涉及長度又涉及角度，且只與這兩個量有關(guān)；【2】當(dāng)090時，W0；當(dāng)=90時，力的方向和位移的方向互相 垂直，W=0，力F不做功；當(dāng)90180時，W0，既力F做負功.向量的夾角2向量夾角的基本定義兩個非零向量 和 已知兩個非零向量 ， ，如圖，O是平面上的任意一點，作OA= ，OB= ，則AOB=(0)叫做向量 與

2、的夾角.0, 與 同向 與 反向 與 同向，記作向量的夾角2對兩向量 ， 夾角的理解（1）根據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量夾角是將兩個向量的 起點移到同一點，這樣兩向量所成的角才是這兩個向量 的夾角（2）例如，在ABC中，BAC不是CA與AB的夾角，BAD才是CA與AB的夾 角.其中AD是CA平移所得.（3）向量 與 之間的夾角的取值范圍是0，這與兩直線夾角的范圍 是不一樣的(向量有方向)，注意從定義上理解.（5）向量 與 的夾角也可以表示為 平面向量數(shù)量積的概念3平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量叫做向量 與 的數(shù)量積(也叫內(nèi)積)，記作 ，即 【規(guī)定】零向

3、量與任一向量的數(shù)量積為0（2）向量的線性運算的結(jié)果是向量，但兩個向量的數(shù)量積卻是一個數(shù)量，而不是向量，其 大小與兩個向量的長度以及夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值決定.（1）在書寫數(shù)量積時， 與 之間用實心圓點“ ”連接，不能寫成“ ”,更不能不寫.（3）設(shè)兩個非零向量之間的夾角為，則當(dāng)=0時， ；當(dāng)為銳 角時， ；當(dāng)為直角時， ；當(dāng)為鈍角 時， ;當(dāng)=180時，平面向量數(shù)量積的概念3兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法運算，它是向量與向量的運算， 其結(jié)果是數(shù)量(而不是向量)，可以為正，可以為負，也可以為零. 前面學(xué)習(xí)的向量的加法、減法和數(shù)乘，其結(jié)果全都是向量，要注意這兩種不 同運算的區(qū)別.

4、我們規(guī)定了 與任意向量的數(shù)量積為0，但由 =0，不能推出 或 一定是零向量，這是因為兩個向量垂直時，其夾角為90，此時 ， 故也有 =0 .要注意 =0，但0平面向量數(shù)量積的概念3投影 如圖，設(shè) 和 是兩個非零向量，AB= ，CD= ，我們考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1、B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量 上的投影向量. 如圖，我們可以在平面內(nèi)任取一點O，作OM= ，ON= .過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量 在向量 上的投影向量.設(shè)與 同方向的單位向量為 ， 與 的夾角為，則O

5、M1=平面向量數(shù)量積的概念3投影補充 為向量 在 上( 在 上)的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量 是一個值，不是向量.當(dāng)為銳角時，投影的數(shù)量為正值；當(dāng)為鈍角時，投影的數(shù)量為負值；當(dāng)為直角時，投影的數(shù)量為0；當(dāng)為0時，向量 在 上( 在 上)投影的數(shù)量為 ；當(dāng)為180時，向量 在 上( 在 上)投影的數(shù)量為 ； 在 上的投影的數(shù)量可以記為 ，也可以記為 在 上的投影和 在 上的投影，不一樣.平面向量數(shù)量積的概念3直觀理解正正0負負平面向量數(shù)量積的性質(zhì)4 設(shè) 與 都是非零向量，為向量 與 的夾角， 是與 方向相同的單位向量，則有如下性質(zhì)：既可以證明向量垂直，也可以由垂直進行相關(guān)計算可以用來求向量的模，實現(xiàn)

6、實數(shù)運算往向量運算的轉(zhuǎn)化可用來求兩個向量的夾角，夾角的取值與兩個向量有關(guān)可以通過向量來證明不等式問題或者求最值問題向量數(shù)量積的運算律5向量數(shù)量積的三大運算律和實數(shù)的交換律相同和實數(shù)的結(jié)合律相同和實數(shù)的分配律相同 兩個向量共線分為同向共線與反向共線兩種情況，對應(yīng)的夾角分別是0和180，不要弄錯. 未弄清向量的夾角而弄錯坑顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，故它們的夾角為0.顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，因為它們是反向共線，故夾角為180A. 150 B. 120 C. 60 D. 30如圖所示就是符合題意的向量，根據(jù)題意有ACO和BCO都是是等邊三角形，所以AOB=60+60=120 平面幾何性質(zhì)運用不準確坑 在ABC中，|BC|=5，|CA|=6，B