線性代數(shù)第五講-矩陣的初等變換及其性質(zhì)

1、線性代數(shù)第五講-矩陣的初等變換及其性質(zhì)1 方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系 在解線性方程組的過(guò)程中 我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程 這種變換過(guò)程稱為同解變換 一 三種初等變換 同解變換有 (1) 交換兩個(gè)方程的位置 (2) 把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù) (3) 某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上交換(A b) 的第1行與第2行增廣矩陣的比較 例1(A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 2 (A b)第3行乘以1/2例1增廣矩陣的比較 (A b)=2

2、-1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 -1 -1 1 21 1 -2 1 42 -3 1 -1 23 6 -9 7 92 2 (A b) 第2行乘以(2)加到第1行例如增廣矩陣的比較 (A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 90 -3 3 -1 -61 1 -2 1 42 -3 1 -1 23 6 -9 7 9定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作 ；以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，記作 .把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變

3、換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換初等行變換初等列變換 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2 1 3 1-9 3 7r2r4 1 5-1-1 3 8-1 1例1r12-9 3 7 8 -1 11 -2 1 32 10 -2 -2r1-r42-9 3 7 8 -1 11 -2 1 30 14 -4 -8二 階梯形、行簡(jiǎn)化階梯形、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣1 行階梯形行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后

4、面是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換 有限次初等列變換 有限次初等變換 結(jié)論有限次初等行變換 例1 階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形5 1 3 8 4 7 20 0 2 5 6 8 7 50 0 3 4 5 2 6 90 0 0 0 0 4 2 80 0 0 0 0 0 0 0 E=例1 階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形例2 階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形

5、例 3 階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形2 3 4 54 6 8 100 0 0 0 2A=2 3 4 50 0 0 0 20 0 0 0 02 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 22 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1例 1 用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形0 0 3 1 1 -1 2 2 3 1-2 -1 4 -3A=0 0 3 14 2 3 1-2 -1 4 -32 1 -1 20 0 3 12 1 -1 20 0 5 -30 0 3 -1例 2 用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形 0 0 3 12 1 -1 20 0 5 -30 0 3 -10 0 1 1/32 1 -1 20

6、 0 5 -30 0 0 -22 1 -1 20 0 1 1/30 0 0 -14/30 0 0 -22 1 -1 20 0 1 1/30 0 0 10 0 0 0 1 1/2 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 將1所在列上下化為零-4 -3 -5 -3-1 6 4A=-4 -30 3 30 2 1行最簡(jiǎn)形0 1 1-4 -30 2 1行階梯形0 1 1 0 10 0 - 1首先，化為行階梯形0 1 0 0 00 0 1練習(xí) 1、用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形-1 3 -1 1-1 -1 4 23 -2 2 3 4 A=練習(xí)2： 用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形1 -1 3 -1 10 1 -7 6 00 1 -7 6 10 1 -7 6 01 -1 3 -1 10 0 0 0 10 1 -7 6 00 0 0 0 11 0 -4 5 01 1 1 1 12 1 0 -3 60 1 2 3 6 -35 4 3 2 6 1A=練習(xí)3： 用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 1 2 3 6 -30 -1 -2 -3 1 -4 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 0 00 0 0 0 7 -7 0 -1 -2 0