2023版高三一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件（新高考人教版）：第7章　第6講　空間向量的應(yīng)用

1、第七章立體幾何第六講空間向量的應(yīng)用知識梳理雙基自測考點(diǎn)突破互動探究名師講壇素養(yǎng)提升知識梳理雙基自測知識點(diǎn)一兩個重要的向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有_個(2)平面的法向量直線l平面，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面的法向量顯然一個平面的法向量有_個，它們是共線向量無數(shù)無數(shù)知識點(diǎn)三兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則cos|cos|_(其中為異面直線a，b所成的角)知識點(diǎn)四直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，向量e與n的

2、夾角為，則有sin|cos|_.知識點(diǎn)五求二面角的大小(1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小_.題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角()(2)平面的單位法向量是唯一確定的()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行()(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角()(5)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角()(6)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面a平行()題組二走進(jìn)教材2(選擇性必修1P20例2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中

3、，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM所成的角是_.垂直3(選擇性必修1P44T13)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為_，AD1與平面AEC1所成角的余弦值為_.題組三走向高考4(2021天津高考節(jié)選)如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)5(2019浙江)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)解析解法一：(1)證明：連接A1E，因?yàn)锳1AA1C

4、，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，則A1EBC又因?yàn)锳1FAB，ABC90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC(2)取BC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，則四邊形EGFA1是平行四邊形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四邊形EGFA1為矩形由(1)得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上解法二：(1)證明：連接A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC

5、1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.考點(diǎn)突破互動探究 (2020山東青島膠州實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，ABCD，ABBC，AB2，PAPDCDBC1，平面PAD平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)(1)求證：PABD；(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使得直線BC平面PEG？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由例1考點(diǎn)一利用向量證明空間的平行與垂直自主練透解析取BA的中點(diǎn)H，連EH，在梯形ABCD中，由題意易知EHAD，PAPD，E為AD的中點(diǎn)，P

6、EAD，又平面PAD平面ABCD，PE平面ABCD，PEEH，PEAD，AE、EH、EP兩兩垂直，(1)建立空間直角坐標(biāo)系時盡可能地利用圖形中的垂直關(guān)系，要準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定向量的坐標(biāo)(2)用向量法證平行問題的類型及常用方法MING SHI DIAN BO 線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量表示面面平行證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題(3)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法線線垂直問題證明兩直線所在的方

7、向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問題兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直變式訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)(1)求證：平面A1B1D平面ABD；(2)求證：平面EGF平面ABD例2B考點(diǎn)二利用向量求空間的角多維探究引申本例中，若M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則AM與CN所成角的余弦值為_.MING SHI DIAN BO 例3MING SHI D

8、IAN BO 2利用空間向量解答立體幾何問題的步驟(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為0列出方程組，求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角角度3向量法求二面角 (2021全國高考)如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M為BC的中點(diǎn)，且PBAM.例4(1)求BC；(2)求二面角APMB的正弦值解析(1)解法一(坐標(biāo)向量法)：因?yàn)镻D平面ABCD，所以PDAD，PDDC在矩形ABCD中，ADDC，故可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直

9、角坐標(biāo)系如圖所示，利用向量法確定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小MING SHI DIAN BO 求證：平面PBC平面PAB；若二面角PBCA的大小為45，過點(diǎn)A作ANPC于N，求直線AN與平面PBC所成角的大小(3)(角度3)(2019課標(biāo))如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)證明：MN平面C1DE；求二面角AMA1N的正弦值解析(1)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，

10、證法二：四邊形ABCD為菱形，BAD60，連BD則BCD為正三角形，又E為BC的中點(diǎn)，DEBC，又DD1平面ABCD，DA、DE、DD1兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，例5考點(diǎn)三利用向量求空間的距離師生共研解析(1)AB平面BCD，CF平面BCD，CFAB，又BCCD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，CFBD又ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CF平面ABDMING SHI DIAN BO (2)因?yàn)槠矫鍭1ACC1平面ABC，交線是AC，且C1MAC，所以C1M平面ABC以M為原點(diǎn)，MB，MC，MC1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：名師講壇素養(yǎng)提升例6(此處為更換后新內(nèi)容)(1)

11、解決探索性問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論成立或?qū)ο蟠嬖?，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，則說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；否則不成立，即不存在(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將空間中的探索性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題進(jìn)行處理MING SHI DIAN BO (此處為更該前內(nèi)容，新內(nèi)容見上)對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”變式訓(xùn)練4(2022福建龍巖質(zhì)檢)在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADCBCD90，BC1，PDAD2DC2，PDA60，且平面PAD平面ABCD解析(1