2021屆陜西省西安市長安區(qū)高考一模數(shù)學(理)試題

1、理科數(shù)學試題第 頁共11頁長安區(qū)2021年高三年級第一次模擬試題理科數(shù)學本試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，總分150分.考試時間120分鐘.注意事項：.答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、 準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位貪上.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題 答案用0.5毫米的黑色中性（答字）筆或碳素筆,書寫，字體工整、筆跡清荒.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.保持答題卡清潔，不折疊、不破損.若做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上

2、把所選題目對應的題號涂黑. 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的.若Z = 2 + i,則（）A.、面B. 2C. V26D. 3.設集合4 =卜卜2-x6o, 8 = k|2x+a。,且人口8 =卜|一24工2,則=（）A. 2B. -2C. -4D. 4.設拋物線C：V=2px的焦點為產(chǎn)，準線為/.2是拋物線C上異于。的一點，過P作PQ_L/于Q，則線段八2的垂直平分線（）A.經(jīng)過點尸B.經(jīng)過點。C.平行于直線OPD.垂直于直線OP.（x 2y）（x+y）6的展開式中dy1的系數(shù)為（）A. 25B. -25C. 15D. -

3、15.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù) 據(jù)：單價（元）456789銷量（件）908483807568由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程9 = -4x + a,若在這些樣本點中任取一點,則它在回歸直線右上方的 概率為（）2D.-3.“中國天眼”是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)，世界最大單口徑，最靈敏的球 面射電望遠鏡（如圖）.其反射而的形狀為球冠（球冠是球而被平而所截 后剩下的曲而，截得的圓為底，垂直于圓而的直徑被截得的部分為高， 球冠而積S = 2成，其中R為球的半徑，力為球冠的高），設球冠底的 半徑為L周長為C,球冠的面積為S,則當。=2zS = 16%

4、時，4 =A V2V257+2A 而廠 V2V257-2A. 江C TOC o 1-5 h z 168167.將函數(shù)八x） = sinox （其中s0）的圖像向右平移土個單位長度，所得圖像關(guān)于直線1=萬對4稱，則0的最小值是（）52A. -B. 2C. -D.一333.已知直線/是曲線f（x） = x4- 2/在點（1, 7（1）處的切線，點P（m,）是直線/上位于第一象限的一點，則7+ 2的最小值為（） m nA. 4B. 9C. 25D. 16. 一個動圓與定圓尸：（工一3）2 +），2=4相外切,且與直線/:工=-1相切,則動圓圓心的軌跡方程為（）A. ）=6xB.y2 =4x C. y

5、2 = 8xD. y2 = 2x10.己知AABC的內(nèi)角A.8.C的對邊分別為a/,c且asinAsin8 = 2 cos4425 + c = 10,A48C的面積為匚二，則。=（）4A. 2舊B. 8C. 5D. 2x/2.已知a = log23, /7 = 21og52, c = 0.75,則的大小關(guān)系為（） 2A. bac B. abc C. bca D. cab.設點P在A48C內(nèi)且為A48C的外心，N8AC=30,如圖.若APBC，APCA PA8的而積分別為，則的最大值是（） 21 c后 122二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.已知a e （，4）,2sin 2a =

6、 cos2a-l,貝ij tan。=.2y 11,.若x, 滿足約束條件y2.點P在雙曲線C：二二=1（。0/0）的右支上，其左、右焦點分別為，居,直線尸匕與以 lr坐標原點O為圓心、。為半徑的圓相切于點A,線段PF1的垂直平分線恰好過點后,則該雙曲線的離 心率為.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子，古稱“角黍”“裹蒸” “包米”“簡粽” 等,早在春秋時期就已出現(xiàn),到了晉代成為了端午在慶食物.將寬為1的矩形紙片沿虛線折起來,可以 得到粽子形狀的六面體,則該六而體的體積為;若該六面體內(nèi)有一球，當該球體積最大時,球的表面積是.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

7、. 題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（-）必考題：每小題12分，共60分.第1721題為必考題，每個試.如圖，四棱錐尸一ABC。中，P4_L平而ABC。，ABLAD AB/CD, PD = AB = 2AD = 2CD = 2, E 為勿上一點，且 3PE = 2PA.理科數(shù)學試題第 頁共II頁（1）證明：平面上3。_1_平而上4。；（2）求直線08與平面8EC所成角的正弦值.已知等差數(shù)列q中，公差d。，Sn=77,且%，4 1，町成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列q的通項公式：（2）若7；為數(shù)列一的前項和，且存在 eN*,使得（-&/川之。成立，求實數(shù)/I的取值范圍.202

8、0年疫情期間，某公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決 定在全公司范闈內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗480人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部 門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案：將每個人的血分別化驗，這時需要驗480次.方案：按個人一組進行隨機分組，把從每組女個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人 的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這人個人的血就只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗!次）：否則，若呈陽性，則需對這k個人的血樣再分別進行一次化驗.這樣，該組k個人的血總共需 要化驗A+ 1次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應

9、相互獨立.（1）設方案中，某組k個人中每個人的血化驗次數(shù)為X ,求X的分布列：（2）設 =01.試比較方案中，我分別取2, 3, 4時，各需化驗的平均總次數(shù)：并指出在這三種 分組情況下，相比方案，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五人保留整數(shù)）.已知點尸到M（5/5,0）的距離與它到直線/: x = 竺的距離之比為.3（1）求點戶的軌跡E的方程：（2）若A是軌跡E與工軸負半軸的交點，過點0（-3,8）的直線/與軌跡E交于8,C兩點，求證：直線A3、AC的斜率之和為定值.已知函數(shù)/= e+g2-3x）.（1）若函數(shù)y = /（x）（其中廣（x）是/（x）的導函數(shù)）在。，）上單調(diào)遞增，

10、求小的取值范圍； （2）當? = 1時，若關(guān)于的不等式/（力之3）x + l在1,內(nèi)）上恒成立，求實數(shù)。的取 值范I亂（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計 分.x = 2cosa, /.在平面直角坐標系X。卜中，曲線G的參數(shù)方程為、-.（。為參數(shù)）.以坐標原點為極y = 2 + 2sma點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線G的極坐標方程為夕= 4cos6.（1）寫出曲線G的極坐標方程和0?的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為（4, 射線6 = a分別交C?于A, 8兩點（異于極點），當ZAMB =工時，求tan a.4.已知函數(shù)/（幻=

11、124一41 + 11+ 11,工尺.（1）解不等式：fM5.112（2）記/。）的最小值為M，若實數(shù)a,滿足c/+尻=M，試證明：-一 + -一-.+2 lr + 3長安區(qū)2021年高三年級第一次模擬試題理科數(shù)學參考答案選擇題:題號123456789101112答案ACABCBDBDCAB填空題:三.解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.解：（1） .44，平面從3。,8。（1平面48。,24,8。;在直角梯形A8C。中，AB/CD,ABAD, AB = ZAD = CD = i

12、AC = BC = y/2AC2 + BC2 = AB2.：. AC Y BC又 A4cAC = A.8C_L平而PAC,/ BC u 平面 EBC ,（2）以A為坐標原點，人。,4及人尸分別為大軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示）易知 8(0,2,。), C(l, 1,0), P(0,0,我,E(0,易則 BC = (1,-1,0), BE = (0,-2,4)，BP = (0,-2,5/3).設7 = (x, y, Z)是平面BCE的法向量.COS/拘=麗:巫 D懷網(wǎng)7理科數(shù)學試題第 頁共11頁直線尸8與平面8EC所成角的正弦值為手.12分18.解：（1）由題意可得0,所以a. =

13、 2,所以q = + L d = .=_l_ _ _J_0 q- (+1)(+2) +1 +2 1111 1 1 1 1 _ 2 3 3 4 n + + 22 n + 2 2(+ 2)存在 eN.,使得一41之。成立.存在“wN*,使得為一幾（ + 2）之。成立.即存在 wN.，使得工成立.2（n + 2）一-一!?（當且僅當=2時取等號）.2（ + 2）一 2 + + 4 1 n ）/./5|2222化簡整理可得三+二=1 ,所以點P的軌跡E的方程為三十二=1.94944分（2）由（1）可得，過點D的直線/斜率存在且不為0,故可設/的方程為=爪+7伙工0）, 5（玉,）,。（孫必），y =

14、kx + m由 0,即m2 v9父 +418kM玉+&二一由中2 =W-36k +k _ -1 為 _-(&+3) + 丁2(%+3)_(3+7)(%+3) + (京2+7)(%+3)X +3 x2+3 (Xj +3)(x, +3)(%1 +3)(x2 +3)9nr -36 / J 1 Skm ) 小， 2k x- + (3k + m) + o/z/o2回+(3A+?)(K+電)+ 6， _4 + 9K 4 + 9K J _8理科數(shù)學試題第io頁共11頁理科數(shù)學試題第 頁共II頁由于直線/過點。(一3,8),所以一3%+m=8, 所以+ kN = ?(即為定值) 12分21 .解：(1) 函數(shù)

15、 / (x) = + ?w(2x2 -3x)的導數(shù) /(x) = ex+ m(4x-3), fnM = e + 4i.)，= /(工)在。,一)上單調(diào)遞增/(x) = +4? 2。在(Ly)上恒成立/. ni-r e fjj 白勺乂:立11| J/j +oO人分L 4)(2)當7 = 1 時，f(x) = ex +2x2-3x關(guān)于a-的不等式/(x)之+ (a-3戶+1在J,y)上恒成立，. 一 6、 X 1 a W , x 2 x設 g(x)則短3=由y = e、-x l的導數(shù)為）/ = /一1 ,可得x0時，y。，函數(shù)y = e”x l遞增，x0，= g6 = e-1，當0時午應-9嘿止-

16、99則g（X）=色_ _，在1，）遞增，可得g（4而 .X L .112分x = 2cosa22.解：(1) .八,(。為參數(shù)) y = 2 + 2sina，曲線C1的普通方程為V +（ V 2）2 = 4 ,即/ + y2 - 4）, = 0丁 x = pcosO , y = psinO p1 一4Psin 6 = 0，曲線G的極坐標方程為P = 4sin 0;曲線C2的極坐標方程為夕=4cose工曲線4的直角坐標方程為/ +）,2-4%=。（2）依題意設4（0”夕）,5（.8），0 = a得夕=4山。.由 p = 4sin80 = a ,得夕、=4cosa.P = 4cqs6 乃乃：a p2 ；= 41To回=2一P2 =4sina-48SaOM是圓C）的直徑，NQ4M=三 -2，在直角 RtAOAM 中，=4cosa;在直角用ABM中，ZAMB = - 4)=,即 4sinc_4cose = 4cosa/. tana = 2.3x - 3, x 223.解：(1)易知/(x) = |2x -4| + |x +1 = 5 x,1 W x 23x + 3, x