4拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析【課件】

1、4.1引言以傅里葉變換為根底的頻域分析方法的優(yōu)點和缺乏：可解決不符合狄氏條件信號的分析優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。拉氏變換法的優(yōu)點和缺乏：有清楚的物理意義只能處理符合狄利克雷條件的信號-絕對可積條件：本章主要內(nèi)容：傅氏變換拉氏變換、拉氏變換的性質(zhì)、以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻域分析、系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點及分布對系統(tǒng)的影響。運用傅里葉反變換對頻率進行的無窮積分求解困難 4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域拉普拉斯正變換拉普拉斯反變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換:收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。ROC

2、( region of convergence)實際上就是拉氏變換存在的條件:拉氏變換的收斂域p177-178：F(s)的收斂域與f(t)的形式有關(guān):一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。1.階躍函數(shù):2.指數(shù)函數(shù):(全s域平面收斂) 3.單位沖激信號:一些常用函數(shù)的(單邊)拉氏變換:P181表4-14tnu(t): 4.3 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)一線性二原函數(shù)微分三原函數(shù)的積分四延時時域平移五s域平移六尺度變換七初值定理P187八終值定理P188九卷積十對s微分十一對s積分原函數(shù)微分性質(zhì)證明:原函數(shù)的積分性質(zhì)證明: 4.4 拉普拉斯逆變換(一)局部分式法(二)利用留數(shù)定理圍線積分法(

3、三)數(shù)值計算方法利用計算機拉氏逆變換的過程：局部分式法拉氏逆變換的方法：1.第一種情況：單階實數(shù)極點2. 第二種情況：極點為共軛復數(shù)3. 第三種情況：有重根存在局部分式法:非真分式 化為真分式多項式4. F(s)兩種特殊情況:(1)找極點(2)展成局部分式(3)逆變換求系數(shù):第一種情況：單階實數(shù)極點第二種情況：極點為共軛復數(shù)3. 第三種情況：有重根存在例:非真分式 化為真分式多項式F(s)兩種特殊情況: 4.5 用拉普拉斯變換法分析電路、s域元件模型列s域方程可以從兩方面入手 列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換； 直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時域解答。一. 用拉氏

4、變換法分析電路的步驟二微分方程的拉氏變換三利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型 2.電路定理的推廣 線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應的步驟 畫0-等效電路，求起始狀態(tài);畫s域等效模型；列s域方程代數(shù)方程；解s域方程，求出響應的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。電阻元件的s域模型：電感元件的s域模型：電容元件的s域模型:sC1()-01Cvs()sIC+-()sVC只要知道了電路0-時刻的值即起始狀態(tài)，就可以求出元件的s域模型。解：例4-14:p1981)畫0-等效電路， 求起始狀態(tài):2)畫s域等效模型:3)列s域方程代數(shù)方程:4)解s域方程，求

5、出響應的拉氏變換V(s)或I(s)；5)拉氏反變換求v(t)或i(t)。4)解s域方程，求出響應的拉氏變換V(s)或I(s)；5)拉氏反變換求v(t)或i(t)。6)分析(圖4-10)7)波形:1.定義1)籌劃點函數(shù)：鼓勵與響應在同一端口時籌劃點導納籌劃點阻抗轉(zhuǎn)移導納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比2)轉(zhuǎn)移函數(shù)：鼓勵和響應不在同一端口2.H(s)的幾種情況4.應用：求系統(tǒng)的響應r(t)利用網(wǎng)絡的s域元件模型圖，列s域方程微分方程兩端取拉氏變換3求H(s)的方法二LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2LTI系統(tǒng)的級聯(lián)3LTI系統(tǒng)的反響連接4結(jié)論在s域可進行代數(shù)運算：例4-6-1(1)求H(s)和h(t)

6、(2)求rzs(t)所以所以所以4.7 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定時域特性一序言 沖激響應h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s) 從時域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。 在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點與極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。 主要優(yōu)點：1可以預言系統(tǒng)的時域特性；2便于劃分系統(tǒng)的各個分量 自由強迫，瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)；3可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。二H(s)零、極點與h(t)波形特征的對應在s平面上，可畫出H(s)的零極點圖： 極點：用表示，零點：用表示1系統(tǒng)函數(shù)的零、極點2H(s)極點分布與原函數(shù)的對應關(guān)

7、系p210-212有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，即隨t,h(t)0,H(s)的極點位于左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，F(xiàn)(s)和F(j)均存在，兩者可通用，只需將 sj即可。零點只影響幅度和相位，不影響h(t)的波形形式 。 鼓勵：系統(tǒng)函數(shù)：響應：自由響應分量 強制響應分量三H(s) 、E(s)的極點分布與自由響應、強迫響應特性的對應幾點說明:自由響應的極點只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與鼓勵函數(shù)的形式無關(guān)，然而系數(shù) 都有關(guān)。響應函數(shù)r(t)由兩局部組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點自由響應分量；鼓勵函數(shù)的極點強迫響應分量。定義系統(tǒng)行列式特征方程的根為系統(tǒng)的固有頻率或稱“自然頻率、“自由頻率。 H(

8、s)的極點都是系統(tǒng)的固有頻率； H(s)零、極點相消時，某些固有頻率將喪失。瞬態(tài)響應是指鼓勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應完全響應瞬態(tài)響應左半平面的極點產(chǎn)生的函數(shù)項和瞬態(tài)響應對應。極點：零點：畫出零極點圖：例4-7-1畫出下面系統(tǒng)函數(shù)的零極點分配圖。swj1-給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量。解：1)方程兩端取拉氏變換例4-7-2，教材習題2-6(1)2)零輸入響應:3)零狀態(tài)響應:4)完全響應:5)暫態(tài)響應/穩(wěn)態(tài)響應、自由響應/強迫響應極點位于虛軸E(s)的極

9、點極點位于s左半平面H(s)的極點穩(wěn)態(tài)響應強迫響應暫態(tài)響應自由響應 4.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻響特性所謂“頻響特性是指系統(tǒng)在正弦信號鼓勵下穩(wěn)態(tài)響應隨頻率的變化情況。 一定義穩(wěn)態(tài)響應強迫響應暫態(tài)響應自由響應穩(wěn)態(tài)響應強迫響應暫態(tài)響應自由響應在頻率為0的正弦鼓勵信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應仍為同頻率的正弦信號，但幅度乘以系數(shù)H0，相位移動0。 二幾種常見的濾波器三根據(jù)H(s)零極點圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線O例4-20 確定圖4-26所示系統(tǒng)的頻響特性。相當于低通與高通級聯(lián)構(gòu)成的帶通系統(tǒng)。 解：低通濾波器高通濾波器4.10 全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點分布所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù)，對

10、于全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過。 極點位于左半平面，零點位于右半平面，零點與極點對于虛軸互為鏡像。一全通網(wǎng)絡幅頻特性常數(shù) 相頻特性不受約束全通網(wǎng)絡可以保證不影響待傳送信號的幅度頻譜特性，只改變信號的相位頻譜特性，在傳輸系統(tǒng)中常用來進行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。假設網(wǎng)絡函數(shù)在右半平面有一個或多個零點，就稱為“非最小相移函數(shù)，這類網(wǎng)絡稱為“非最小相移網(wǎng)絡。 二最小相移網(wǎng)絡非最小相移網(wǎng)絡可代之以最小相移網(wǎng)絡與全通網(wǎng)絡的級聯(lián)。 非最小相移網(wǎng)絡最小相移網(wǎng)絡全通網(wǎng)絡三級聯(lián)4.11 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性某連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù): 當輸入為u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的象函數(shù)為 t很

11、大時，這個正指數(shù)項超過其他項并隨著t 的增大而不斷增大 一引言 實際的系統(tǒng)不會是完全線性的，這樣，很大的信號將使設備工作在非線性局部，放大器的晶體管會飽和或截止，一個機械系統(tǒng)可能停車或發(fā)生故障等。這不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時還會發(fā)生損壞危險，如燒毀設備等。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與鼓勵信號的情況無關(guān)。沖激響應和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù)從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 一個系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，那么稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對所有的鼓勵信號e(t):其響應r(t)滿足:二定義BIB

12、O穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是絕對可積條件：系統(tǒng)是穩(wěn)定的式中Me、Mr為有界正值充分性:三證明對任意有界輸入e(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：必要性:1穩(wěn)定系統(tǒng) 假設H(s)的全部極點位于s平面的左半平面不包括虛軸，那么可滿足系統(tǒng)是穩(wěn)定的例如:系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定(例4-14)四由H(s)的極點位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 如果H(s)的極點位于s右半平面，或在虛軸上有二階或以上極點系統(tǒng)是不穩(wěn)定的2不穩(wěn)定系統(tǒng) 3臨界穩(wěn)定系統(tǒng) 如果H(s)極點位于s平面虛軸上，且只有一階。t,h(t) 為非零數(shù)值或等幅振蕩。從頻域看要求H(s)的極點：右半平面不能有極點(穩(wěn)定) 虛軸上極點是單階的(臨界穩(wěn)定)。4系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定例題：如下圖反響系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。當常數(shù)k滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？ 加法器輸出端的信號：輸出信號：為使極點均在s