不等式常見考試題型總結(jié)

1、不等式常見考試題型總結(jié)一、高考與不等式高考試題，有關(guān)不等式的試題約占總分的 12% 左右，主要考查不等式的基本知識(shí)，基本技能，以及學(xué)生的運(yùn)算能力， 邏輯思維能力， 分析問題和解決問題的能力 選擇題和填空題主要考查不等式的性質(zhì)、比較大小和解簡(jiǎn)單不等式，還可能與函數(shù)、方程等內(nèi)容相結(jié)合的小綜合解答題主要是解不等式或證明不等式或以其他知識(shí)為載體的綜合題。不等式常與下列知識(shí)相結(jié)合考查：不等式的性質(zhì)的考查常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)的考查相結(jié)合，一般多以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也與充要條件、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)結(jié)合，且試題難度不大；解不等式的試題主要在解答中出現(xiàn)，常常是解含參不等式較多，且多與二次函數(shù)

2、、指數(shù)、對(duì)數(shù)、可 能還會(huì)出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題；證明不等式是理科考查的重點(diǎn)，經(jīng)常同一次函數(shù)、二次函數(shù)、數(shù)列、解析幾何，甚至還可能與平面 向量等結(jié)合起來考查二、常見考試題型（ 1）求解不等式解集的題型（ 分式不等式的解法，根式不等式的解法，絕對(duì)值不等式的解法，含參不等式的解法，簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法）不等式的恒成立問題（不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式常應(yīng)用函數(shù)方程思想，分離變量法，數(shù)形結(jié)合法）不等式大小比較常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法

3、；8圖象法。2（4）不等式求函數(shù)最值技巧一：湊項(xiàng)5例：已知x -,求函數(shù)y4y4x21 的最大值。4x 5技巧二：湊系數(shù)例.當(dāng)口 4時(shí)，求yx(82x）的最大值。技巧三：分離例.求yx2 7x 10, (x1）的值域。技巧四：換元例.求y2x2 7x 10(x1）的值域。技巧五：函數(shù)的單調(diào)性（注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f (x)x q的單調(diào)性。）x例：求函數(shù)yx 5的值域。x2 4技巧六：整體代換（多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。例：（1）已知x 0, y0,且1 1,求x y的最小值。 x y(2)若 x, y R且2x

4、 y 1,求二二的最小值已知 a,b, x, yy的最小值技巧七、利用sin2cos21轉(zhuǎn)換式子技巧八、2已知x, y為正實(shí)數(shù)，且x 2 + y-=1，x11 + y 2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab0, b0, ab (a+b) = 1,求 a+b 的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為 1,求它的面積最大值。技巧十：取平方例、已知x, y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10,求函數(shù) W弧 +叵 的最值.(5)證明不等式常用方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法。基本不等式一最值求法的題型基礎(chǔ)題型一：指數(shù)類最值的求法1.已知a b 3,求3a 3b的最小值。變式1.已知a 2b

5、3,求3a 9b的最小值。變式2.已知x y 2 ,求3x 4的最小值。3y變式3.已知x 2y 3 ,求2x工的最小值。4y變式4.已知點(diǎn)(x, y)在直線y 1 x 1上，求3x -1的最小值。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 9y基礎(chǔ)題型二：對(duì)數(shù)類最值的求法2.已知x 0, y 0 ,且2x y 4 ,求log2x log2 y的最大值。變式1.已知x 0, y 0 ,且x 2y 4 ,求log x log 13y的最小值。 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document

6、22變式2.已知點(diǎn)(x, y)是圓x2 y2 6在第一象限內(nèi)白任一點(diǎn)，求log- x logy3y的最大值。能力題型一：常數(shù)變形(加或減去某個(gè)常數(shù)使兩個(gè)因式的積為常數(shù))一一11.已知x 2,求f(x) x 1的最小值。x 2變式1.已知x 3,求f(x) 2x 3的最小值。 x 24變式2.已知x 1,求f(x) 2x 的最大值。x 1能力題型二：代換變形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)2 1.已知x 0,y 0,且x 2y 1,求 的最小值。x y2 3.變式1.已知x 0,y 0,且2x y 3,求2 3的最小值。x y12 一一.變式2.已知x 0,y 0,且x 3y 2,求的最

7、大值。x y能力題型三：指數(shù)與系數(shù)的變形(調(diào)整字母的系數(shù)和指數(shù))1.已知x 0, y 0,且2x2 y2 1 ,求x小2y2的最大值。變式1.已知x 0, y 0,且x2 2y2 3,求2x1 y2的最大值。變式2.已知a 0,b 0,且a2 b2 3,求a，1 2b2的最小。能力題型四：對(duì)勾函數(shù)及其應(yīng)用 TOC o 1-5 h z 1.1 一【對(duì)勾函數(shù)】y x 1,由x 得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x 1。 xxy ax b,由ax b得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x 他。 xxay ax a(x 1) a,由a(x 1) J 得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x 1 加x 1x 1x 1. a2例1.求y x - (x 1,4)的

8、值域。x2 變式1.求y x - (x 2, 1)的值域。x2 變式2.求y 3x - (x 2,4)的值域。x例2.求y x 4 (x 2)的值域。 x 1、.-1變式1.求y 2x(x 3)的值域。x 2、.2變式2.求y x(x 2)的值域。x 1例3.求ysin x - (0 xsin x）的值域。2變式1.求sin xsin x 1(0 x）的值域。變式2.求cosxcosx 1(0 x）的值域?；静坏仁嚼}例1.已知尸0,且g=工求 五一，的最小值及相應(yīng)的 凡下值.篦尸二三度二，-27 +玄=6匕2.宓的最小值為(次+5)工熱尻成等差數(shù)列,& *成等比數(shù)列，則 cd的最小值是4,

9、函數(shù)y三awl）的圖象恒過定點(diǎn)乂 ,若點(diǎn)工在直線熠工+-1二口（.上，則冕的最小值為例5.若1g工+lg/=2,則的最小值是（）例6.卜列各函數(shù)中，最小值為的是（）二 B.例7 （1）已知x（2）求函數(shù)篡+2C. 口4x 21 ，一一的最大值.4x 54x2 1的最小值求y 4y=3-3x-工的最大值為2，一.的最大值.2,且兔+” = 12.求加升+加尸的最大值及相應(yīng)的心廠的值21c 1c例9若x, y是正數(shù)，則（x ）2 （y 一）2的最小值是 2y2x練習(xí)：已知實(shí)數(shù)x, y滿足x+y1=0,貝Ux (1)若a,b R*,則ab 疝 (2) 若a,bR*,則a b 2藐(當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取

10、二”)+y2的最小值例10.若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2,是3a+3b的最小值是基本不等式證明例已知a, b為正數(shù)，求證：旦巴n右 Jb .,b .a實(shí)際應(yīng)用：某單位用木材制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架圍成的總面積為8m2,問x y分別為多少時(shí)用料最省基本不等式應(yīng)用.基本不等式221.(1)若 a,b R,則 a2 b2 2ab (2)若 a,b R ,則 abb_ (當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“二”)2若a,b R*,則aba_b（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取=”）2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38

11、 o Current Document 1 一 13.若x 0,則x 2 （當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取“=”）；若x 0,則x 2 （當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取“=”） HYPERLINK l bookmark16 o Current Document xx若x 0,則x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取=） xxx3.若ab 0,則a b 2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“二”）b a若ab 0,則ab2即ab2或ab-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”） HYPERLINK l bookmark124 o Current Document ba ba ba.2.24.若 a,b R,則（_a_b

12、）2 a_b_ （當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取“=”） HYPERLINK l bookmark169 o Current Document 22注：(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值 例1 :求下列函數(shù)的值域211 y= 3x +京 y=x+x解：（1） y= 3x 2 +當(dāng)x 0 時(shí),值域?yàn)?,+OO）1x，值域?yàn)?一8, 2 U 2 , +8)解題技巧：技巧

13、一：湊項(xiàng)5例1 ：已知x ,求函數(shù)y 4x 2 的取大值。 TOC o 1-5 h z 4x 5解：因4x 5 0,所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x 2)g- 不是常數(shù)，所以對(duì)4x 2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),4x 5 HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 一 511Qx, 5 4x0, y 4x 2 5 4x 32 3 144x 55 4x一，1當(dāng)且僅當(dāng)5 4x 一，即x 1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng) x 1時(shí)，ymax 1。4x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)U S X C 4時(shí)，求y x(8 2x)的最大

14、值。解析：由口工工4知，X- 2工 口，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子 積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。y *就8-2x) -2x* (8 - 2-(當(dāng)Zxn X-2其，即x=2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x=2時(shí)，y x(8 2x)的最大值為8。評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值。變式：設(shè)04x(32x)的最大值。解：: 03 3 2x24x(3 2x) 2 2x(3 2x)2 2x 3 2x當(dāng)且僅當(dāng)2x3 2x,即 x0,3時(shí)等號(hào)成立。2技巧三：

15、分離2x例3.求y 7x 10 r(x1)的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項(xiàng)，再將其分離。x2 + 10 (五十v =了十11十5任十1)十4 二o+1)十當(dāng)天，即工口時(shí),5 9 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào))。技巧四:換元解析二:本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t =x+ 1 ,化簡(jiǎn)原式在分離求最值。1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4=t當(dāng) X n-1 ,即 t=x + ln 0 時(shí),y 2,t 4(當(dāng)t=2即x=1時(shí)取“=”號(hào))。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化

16、為y mg(x)g(x)B( A0,B 0) , g( x)恒正或恒負(fù)的形式,然后運(yùn)用基本不等式來求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f (x) x M的單調(diào)性。x例:求函數(shù)yx2 5x 的值域。x2 4解:令x2 4t(t 2),則 yx2 5x2x2 4x2 4t t(t2)1不在區(qū)間2,故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。.1因?yàn)閥 t -在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,5所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,。2為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y ?。2練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.x2 3x 11 一(1) y ,(x 0) y 2x ,x 3 (

17、3) yxx 32sin x1sin x,x (0,)Jx(2 3x)的最大值.2.已知0 x1,求函數(shù)y Jx(1 x)的最大值.；3. o x 2,求函數(shù)y 3條件求最值.若實(shí)數(shù)滿足a b 2,則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3、2t：3a 3b 2V3ab 6當(dāng)3a 3b時(shí)等號(hào)成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時(shí)，3a 3b的最小值是6.11變式：若log 4 x log 4 y 2,求一 一的最小值.并求x,y的值 x y192：已知 x 0,y 0 ,且

18、一一1,求 xx y錯(cuò)解：Q x 0, y 0 ,且1旦1 , x x y錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在 x技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。y的最小值。y x y 2 /2Jxy 12 故 x y min 12 x y, xyy 2jxy等號(hào)成立條件是 x y ,在12 2區(qū)等號(hào)成立x y xy19 條件是一 一即y 9x，取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出 x y一1 9正斛：Qx 0,y 0,- - 1，x y等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。1 9y 9xx y x

19、y 10 6 10 16x yx yy 9x當(dāng)且僅當(dāng) 之 時(shí)，上式等號(hào)成立，又x y19 d一 一1 ,可得 x 4, y 12 時(shí), x yx y min16 。(1)若 x, yR且2x y 1,求12的最小值x y技巧七、已知 x, y為正實(shí)數(shù)，且 x 2 + y- =1,分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab0 得，0vbv 152t 2+34t 31令 t = b+1, 1vtv16, ab =11616=-2 (t+1)+34-t+-f 16T =8abw181，1，1 y 當(dāng)且僅當(dāng)t =4,即b=3, a=6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得:30-ab=a+2b/ a +

20、 2b2)2-ab30 abn 2M2 ab令 u = y0b則u2+2小 u-300,5也 WuW3步(2)已知a,b,x, y R且a b 1,求x y的最小值x y21 ab 18如何由已知不等點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式 ab Tab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力;2式ab a 2b 30(a,b R)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式a-b Jab (a,b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.2變式：1.已知a0, b0, ab (a+b) = 1,求a+ b的最小值。.若直角三角形周長(zhǎng)為 1,求它的面積最

21、大值。技巧九、取平方5、已知x, y為正實(shí)數(shù)，3x+ 2y=10,求函數(shù)VW= 3X +4 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,a+ ba 2+ b 1 2/,本題很簡(jiǎn)單聲十4 &季 V (4)2+ (展)a a a a 二招 /3x+2y =275解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。VW0, W= 3x+2y+2田圾=10+2m苗 W 10+(麻)2 (西)2 = 10+(3x+2y) = 20變式：求函數(shù)y J2rl #F（1 x 5）的最大值。 22解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。y2

22、 (、2x 1.5又y 0,所以022x)24y 2 22.(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8當(dāng)且僅當(dāng)2x 1=5-時(shí)取等號(hào)。2故 ymax272 。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1.已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證： a2b2ab bc ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1-b)(1-c)8abc例6：已知a、b、c R ,且a b c

23、 1。求證:1118c分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又解：Q a、b、c R , a b c 1。2 bc-1同理一 1 b12 . ab一 1 。c c上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得2 bc 2 ac 2. ab8。當(dāng)且僅當(dāng)1一時(shí)取等號(hào)。3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題9例：已知x 0, y 0且一 一 1,求使不等式x y m恒成立的實(shí)數(shù) m的取值范圍。 x y19 / xy9x9y(10 y 9x(解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1 , 1. 1x ykx kyk kx ky，10_3-1 2 。 k 16 ,

24、 m ,16 k k應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：a b、例：若 a b 1,P Jlga lgb,Q (1g a 1g b), R lg()，則 P,Q, R的大小關(guān)系是2分析：a b 1 lg a 0,lg b 0Q 1 ( lg a2a bR lg( )2lg b) , lg a Igb1lg . ab lg ab2PQFOPo【知識(shí)要點(diǎn)】.絕對(duì)值符號(hào)里含有未知數(shù)的不等式叫做絕對(duì)值不等式。x a的解集是 a x a(其中a 0)x a的解集是x a或x a.含字母系數(shù)的一元一次不等式的解法與普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根據(jù)題中附加條件或隱含條件，去判斷未知

25、數(shù)系數(shù)的符號(hào)，從而決定不等號(hào)是否反向。或?qū)ζ湎禂?shù)進(jìn)行分類討論，寫出各種情況下不等式的解集。一般的討論方法：對(duì)于 ax b；b當(dāng)a 0時(shí)，x a當(dāng)a 0時(shí)，若b 0,解集為任意實(shí)數(shù)；若b 0,無解當(dāng)a 0時(shí)，x ba【典型例題】題型一：與整數(shù)解個(gè)數(shù)有關(guān)的不等式例1.如果不等式3x a 0的正整數(shù)解是1, 2, 3,那么a的取值范圍是多少例2 .已知關(guān)于x的不等式組 x a 0 的整數(shù)解共有5個(gè)，求a的取值范圍。3 2x 1題型二：已知不等式解集求未知數(shù)例3. (1)已知不等式3x a 2x的解集為x 2,求1ax 2 a的解集。243(2)方程組3x 7y k的解x, y都是正數(shù)，則整數(shù)k應(yīng)等于

26、。2x 5y 20題型三：系數(shù)含有字母的不等式例4.解關(guān)于x的不等式：-ax 匚23261 .例5. k為何值時(shí)，不等式若不等式(a b)x (2akx 83x永遠(yuǎn)成立20的解集13b) 0的解集為x -,求不等式(a 3b)x (b 2a)題型四：絕對(duì)值不等式例6.解下列不等式2x 132x 5 x 4題型五：比較大小例7.比較下列各式的大小22（1） 3x 2x 1 和 3x 2x 2(2) a 2b與a 2b例8.如果a5324.a a a a成立，則實(shí)數(shù)a的取值氾圍是（A、 0 a 1C 、1 a 0 d 、a【鞏固練習(xí)】.如果關(guān)于x的方程1 mx 1 2x的解是一個(gè)負(fù)數(shù)，那么 m的取

27、值范圍是 TOC o 1-5 h z .關(guān)于x的方程2 k x 1 x k 2 4x的解若為正數(shù)，那么 k的取值范圍為（）。Ak2 B k1C k2 D k2.如果（m- 1）x 1 ,那么m滿足（）A.m 1 B. m1C. m1 D. m1.已知關(guān)于x的一次方程3a 8b x 7 0無解，則ab是（）A、正數(shù)B 、非正數(shù) C 、負(fù)數(shù) D 、非負(fù)數(shù)5.解下列不等式（1） 2x 1 4（2）求不等式x 13的非負(fù)整數(shù)解。.若不等式3x a 0只有兩個(gè)正整數(shù)解，則 a的取值范圍是多少.解關(guān)于x的不等式(1) kx 1 x 1 k2x 1 6 x328.若滿足不等式3 a 2 x 3a 1 5的x

28、必滿足3 x 5 ,求a的取值范圍.9.一次函數(shù)y1的圖像是射線L, y2的圖像是射線l2,如圖所示,y1x的值為y1y2 ，則x的取值范圍是y1y2 ，則x的取值范圍是10.己知不等式mx- 3 2x+ m, (1)若它的解是求m的值。11.如果不等式組9x a8x b0的整數(shù)解僅為1, 2, 3,那么，適合這個(gè)不等式組的整數(shù)0a、b的有序?qū)）共有（）A、17 個(gè) B、64個(gè)C 、72 個(gè) D、81個(gè)12.已知方程組mx yx my的解x, y的乘積小于零，求2m 12m 1m 2的值。m 2高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典習(xí)題典型例題一例1解不等式x 1 |2x 3 2分析：解含有絕對(duì)值的不等式

29、，通常是利用絕對(duì)值概念a（a 0）a,將不等式中的絕對(duì)符號(hào)去a（a 0）掉，轉(zhuǎn)化成與之同解的不含絕對(duì)值的不等式（組）,再去求解.去絕對(duì)值符號(hào)的關(guān)鍵是找零點(diǎn)（使絕對(duì)值等于零的那個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)），將數(shù)軸分成若干段，然后從左向右逐段討論.解：令x 10, x 1 ,令 2x3 ,如圖所示.2(1)當(dāng) x1時(shí)原不等式化為（x1)(2x 3)2 . . x 2與條件矛盾，無解.x 3時(shí)原不等式化為21(2x3) 2 . x 0,故 0 x,33 一(3)當(dāng)x 時(shí)，原不等式化為 x 1 2x 3 2. x 6,故一x 6 .綜上，原不等式的解 22為 x0 x 6 .說明：要注意找零點(diǎn)去絕對(duì)值符，號(hào)最好畫

30、數(shù)軸，零點(diǎn)分段，然后從左向右逐段討論， 這樣做條理分明、不重不漏.典型例題二例2求使不等式x 4 |x 3a有解的a的取值范圍.分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對(duì)值的幾何意義去求解十分簡(jiǎn)便.解法一：將數(shù)軸分為,3,3,4,(4,)三個(gè)區(qū)間7 a3時(shí)，原不等式變?yōu)?4 x) (3 x) a,x 有解的條件為2x 4時(shí)，得(4 x) (x 3)4時(shí)，得(x 4) (x 3)一 a 7即x a7 ,有解的條件為2以上三種情況中任一個(gè)均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為由絕對(duì)值的幾何定義，原不等式解法二：設(shè)數(shù)x, 3, 4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P, A, B,如圖,PB a的意義是

31、P到A、B的距離之和小于a .因?yàn)閨AB 1,故數(shù)軸上任一點(diǎn)到 A、B距離之和大于(等于 1),，即x 4 x 3 1,故當(dāng)a 1時(shí),x 4 x 3 a有解.典型例題三例3已知x a ,02My b -r-1, y (0,M ),求證 xy ab分析：根據(jù)條件湊x a, y b .xy ab xy ya ya aby(x a) a(y b) x a a y bM 一 2M2a說明：這是為學(xué)習(xí)極限證明作的準(zhǔn)備，要習(xí)慣用湊的方法.典型例題四例4求證a2 b2分析:使用分析法證明0, .只需證明a2 b22 一 2a a|b ,兩邊同除b ,即只需證明a2bb22a,即(b)a t a一當(dāng)一1卡1時(shí)

32、，ab 0 ,原不等式顯然成立.，原不等式成立.說明：在絕對(duì)值不等式的證明，常用分析法.本例也可以一開始就用定理:2,2a ba2 b2ala ab(1)如果ab1,b 0,原不等式顯然成立.-mb(2)如果p ab,利用不等式的傳遞性知，原不等式也成立.典型例題五例5求證la1bla b分析：本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們 聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明.證明：設(shè)f(x) 1定義域?yàn)?x xR,f(x)分別在區(qū)間41),區(qū)間(1,)上是增函數(shù).b) f(a b)，原不等式成立.說明：在利用放縮法時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生如下錯(cuò)誤:b la b，

33、1錯(cuò)誤在不能保證1a b 一.士al lb絕對(duì)值不等式abHb-b |a |b在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)有非常重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較靈活.放縮要適度，要根據(jù)題目的要求，及時(shí)調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu).型例題六例6關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式x (a 1)2a與x223(a 1)x 2(3a 1) 0 (a R)的解集依次為A與B ,求使A B的a的取值范圍.分析：分別求出集合A、B,然后再分類討論.解：解不等式x22(a 1)2 (a 1)2222(a 1) y (a 1) (a 1)2221. A x 2a x a2 1, a R解不等式 x2 3(a 1)x 2(3a 1) 0 , x (3a 1)(x

34、2)-1 . 一當(dāng)a 時(shí)（即3a 1 2時(shí)），得 3.1當(dāng)a 時(shí)（即3a 1 2時(shí)），得 31當(dāng)a 時(shí)，要滿足A B,必須 3.1當(dāng)a 時(shí)，要滿足A B,必須 3rcc,1Bx 2 x 3a 1,a -3rc ，八1B x 3a 1 x 2, a -3cr故 1a 3 ；a2 1 3a 1,2a 3a 1, a 1,2 a2 1;1 a 1,所以a的取值范圍是 a R a說明：在求滿足條件AB的a時(shí)，要注意關(guān)于a的不等式組中有沒有等號(hào)，否則會(huì)導(dǎo)致誤解.典型例題七sin a sin2asin 3asin na ,例6 已知數(shù)列通項(xiàng)公式an -對(duì)于正整數(shù)m、n,當(dāng) m n時(shí)，求證:222232n1

35、am an 2V -分析：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的前n項(xiàng)和，它的任意兩項(xiàng)差還是某個(gè)數(shù)列的和，再利用不等式a1 a2an |a1a2an| ,問題便可解決.證明：m n一amansin(n 1)a2nsin(n 2)a2n 2sin ma2m2n12n 212n 11 “1 、2n(12-m-n-)1 127(1sin(n 1)am n項(xiàng)的等比數(shù)列的和，誤認(rèn).為12m n共有m n 1項(xiàng)是常見錯(cuò)誤.正余弦函數(shù)的值域，即 sin量的絕對(duì)值不等式問題連在一起,樣成立.典型例題八例8已知f (x)x2分析：本題中給定函數(shù)使用可有幾種選擇：（1）1 1F是以2mx 13,上為首項(xiàng)，以1為公比, 2n

36、12共有cos 1 ,是解本題的關(guān)鍵.本題把不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、個(gè)較為典型的綜合題目.如果將本題中的正弦改為余弦，不等式同x a 1,求證：|f(x) f(a) 2( a 1)f（x）和條件x a 1 ,注意到要證的式子右邊不含xn個(gè)變因此對(duì)條件|x a 1的直接用；（2）打開絕對(duì)值用 a 1 x a（3）用絕對(duì)值的性質(zhì)x a x a 1 x a1進(jìn)行替換.證明:f (x) x2 x13, f(a) a2f (a)(xa)(x a)(x a) (xa)(x a 1)1 2(a 1),即 f (x)f(a) 2(1).說明:這是絕對(duì)值和函數(shù)的綜合題，這類題通常要涉及絕對(duì)值及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

37、等綜合知識(shí)的運(yùn)用.分析中對(duì)條件1使用時(shí)出現(xiàn)的三種可能是經(jīng)常碰到的，要結(jié)合求證，靈活選用.典型例題九例9不等式組的解集是（).A.x 0 x 2.5 Cx 0 x 9 ,則 0 ,不等式解集為；若0 k 9 ,則 0 ,解集為3 J(9 k)(k 1)3 J(9 k)(k 1)x x .kk4 當(dāng)k 0時(shí)：不等式為6x 8 0,解集為xx 4 .3當(dāng)k 0時(shí)：若1 k 0,則 0,解集為3 J(9 k)(k 1)3 J(9 k)(k 1)x x i%x .kk若k 1,不等式為 x2 6x 9 0 ,解集為x R且x 3.若k 1 ,則 0 ,解集為R .點(diǎn)撥 由于分類的原因有兩個(gè)，為了避免邏輯

38、混亂，本例采取了 “二級(jí)分類”方法：第一級(jí) 以二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)作為劃分的依據(jù)；第二級(jí)依判別式的符號(hào)進(jìn)行劃分.例4：若不等式|x4|+|3 x|0時(shí)，先求不等式| x 4|+|3 x |4時(shí)，原不等式化為 x - 4+x - 3a ,即2x - 71 HYPERLINK l bookmark384 o Current Document 2x 7 a2當(dāng)3Vx 4時(shí)，原不等式化為 4x + x 31當(dāng)xw3時(shí)，原不等式化為 4x+3xa即72x1 HYPERLINK l bookmark388 o Current Document 72xa 22綜合可知，當(dāng) al時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng) 0al時(shí)

39、，原不等式解集為空集。由(2)知所求a取值范圍是a1時(shí)，|x4|+|3 x| x 4|+|3 - x| | x 4+3 x 1=1 當(dāng) a1 時(shí)，| x 4|+|3 x | a 有解從而當(dāng) a & 1時(shí)，原不等式解集為空集。收獲1一題有多法，破解時(shí)需學(xué)會(huì)尋找最優(yōu)解法。f x a有解 a f x min ； f x a解集為空集 a f x min ；這兩者互補(bǔ)。f x a恒 成立 a f x max。f x a有解 a f x min ； f x a解集為空集a f x min ；這兩者互補(bǔ)。f x a恒成立 a f x皿f x a有解 a f x - f x a解集為空集iiiaxiiiaxa f x max；這兩者互補(bǔ)。f x a恒成立 a f x min。f x a有解 a f x max；f xa解集為空集a f x這兩者互補(bǔ)。f x a恒成立 a f x min 0iiiaxmin(3)證明不等式一般同函數(shù)知識(shí)相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，靈活性較大，具有較好的區(qū)分度例5：若二次函數(shù)y f x的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1f12,3f14,求f2的范圍.思路要求f 2的取值范圍，只需找到含 f 2的不等式(組).由于y f x是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將y f x的表達(dá)形式寫出來.即可求得f 2的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有 f 2的不等式 (組)，即可求解.破