CT系統(tǒng)標(biāo)定及成像

1、CT 系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定及成像問題的研究摘要本文通過建立數(shù)學(xué)模型?給出了由大量數(shù)據(jù)標(biāo)定CT 系統(tǒng)參數(shù)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為 圖像的方法。針對問題一， 主要是對附件一、 附件二中數(shù)據(jù)的分析和處理. 標(biāo)定 CT 系統(tǒng) 的各個(gè)參數(shù)。根據(jù)附件一中模板的吸收率. 對樣品做連續(xù)化處理得到標(biāo)定模板的 方程，建立以橢圓中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系 . 引入旋轉(zhuǎn)中心等參數(shù)。用 Matlab 繪制 出模板接收信息的圖像. 將其與標(biāo)定模板示意圖進(jìn)行對比，又因?yàn)榻橘|(zhì)為均勻介質(zhì) . 分析得到：表格數(shù)據(jù)大小反映射線掃描到的介質(zhì)長度 ? 每一列不為零的數(shù)據(jù) 個(gè)數(shù)反映了射線照射到有介質(zhì)區(qū)域的單元探測器個(gè)數(shù)。通過模板在探測器上的投影占據(jù)的探測器單元個(gè)數(shù)

2、和單個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的探測器單元的相對位置?確定了 CT系統(tǒng)的探測器單元間距為 0.276Fni,旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為（-9.2233,6,0182%每個(gè) 方向每個(gè)單元探測器接收到信息的數(shù)值與表格數(shù)據(jù)相對應(yīng) . 列出 512 個(gè)方程 . 得 到 180 個(gè)方程組，用最小二乘法算得誤差最小時(shí)所對應(yīng)的 X 射線旋轉(zhuǎn)的 180 個(gè)方 向。針對問題二， 根據(jù)問題一得到的標(biāo)定參數(shù)， 利用上述 CT 系統(tǒng)和某未知介質(zhì) 的接收信息 .模板接收信息矩陣作radon 逆變換、平移、像素轉(zhuǎn)換等操作后 . 得 到模板原始圖像的“吸收率”為模板接收信息的 2. 0751 倍，由未知介質(zhì)的接收 信息、標(biāo)定參數(shù)及真實(shí)吸收率與接收信息

3、間的關(guān)系 . 確定該未知介質(zhì)外部輪廉為 一個(gè)橢圓 . 分布在正方形區(qū)域中心位置. 其中第三和第四象限分別被挖空了一個(gè) 小橢圓 . 一、二象限間填充了兩個(gè)小橢圓。針對問題三，處理方法與問題二類似. 由于圖像受數(shù)字噪聲影響 . 所以先降 噪. 再運(yùn)用濾波反投影法（FBP）,先修正、后投影重建圖像的做法，得到原始圖像的吸收率信息。針對問題四 . 首先對問題一中射線旋轉(zhuǎn)方向、探測器單元間距和旋轉(zhuǎn)中心坐 標(biāo)分別進(jìn)行精度分析和穩(wěn)定性分析 . 又根據(jù)附件中所提供的數(shù)據(jù) . 分別算出三個(gè)參數(shù)的精度，得到精度為0.01左右。在此基礎(chǔ)上建立新的模板.給出相關(guān)參量.最后對新模板的參數(shù)進(jìn)行分析并作出評價(jià)。關(guān)鍵詞：CT

4、系統(tǒng)、最小二乘原埋、Radon逆變換、濾波反投影重建法一、問題重述CT (Computed Tomography可以在不破壞卞品的情況下.利用樣品對射線能 量的吸收 特性對生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像 ？由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。一種典型 的二維CT系統(tǒng)如圖1所示.平行入射的X射線垂直于探測 器平面.每個(gè)探測器單元看成一 個(gè)接收點(diǎn).且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測 器相對位置固定不變.整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞 某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。對每一個(gè)X射線方向，在具有512個(gè)等距單元的探測 器上測量經(jīng)位置固定不動的二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后得 到180組接

5、 收信息。而CT系統(tǒng)安裝時(shí)往往存在誤差.從而影響成像質(zhì)最.因此需要對安裝 好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，即借助于已知結(jié)構(gòu)的樣品(稱為模板)標(biāo)定CT系統(tǒng) 的參數(shù).并 據(jù)此對未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。請建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和算法.解決以下問題：(1)在正方形托盤上放置兩個(gè)均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板？模板的兒何轄如圖2所示.相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見附件 1,其中每一點(diǎn)的數(shù)值反映了該點(diǎn)的吸收強(qiáng)度.這里稱為“吸收率”。對應(yīng)于該模板的接收信息見附件 2。請根據(jù)這一模 板及其接收信息，確定CT系統(tǒng)旋 轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180 個(gè)方向。(2)附件3是利用上述CT系統(tǒng)得

6、到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到的標(biāo)定 參數(shù)？確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信 息。另外.請具體給出 圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率.相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見附 件4。(3)附件5是利用上述CT系統(tǒng)得到的另一個(gè)未知介質(zhì)的接收信息。利用仃 )中得到的 標(biāo)定參數(shù)，給出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外.請具體給出圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率。(4)分析(1)中參數(shù)標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上自行設(shè)計(jì)新模板、建立對應(yīng)的標(biāo)定模型.以改進(jìn)標(biāo)定精度和穩(wěn)定性.并說明理由mu)10個(gè)位工:、問題分析 連續(xù)化處理分別得到橢圓和圓的方程。1、問題一該問題主要為數(shù)據(jù)分析處理類問題首先對附件一進(jìn)

7、行分析，通過對模板每一點(diǎn)吸收率分析附件二中數(shù)據(jù)，并用 MATLAB 畫出對應(yīng)矩陣的圖像. 對比模板 . 反映 探測器與模板的相對位置.M,最大時(shí)探測器平行于y軸.M:最時(shí)探測器平行于x軸；模板由均勻固體介 質(zhì)組成 . 則經(jīng)過增益后的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)成比例?附件中每個(gè)單元格中數(shù)據(jù)即為增益后的截模板弦長的量值。為減小誤差，選取數(shù)據(jù)優(yōu)先考慮數(shù)據(jù)最大處的數(shù)據(jù). 利用探測器平行于 x 軸和 y 軸兩個(gè)特殊位置，選取表格中數(shù)據(jù)與對應(yīng)的實(shí)際數(shù)據(jù)用近似最小二乘定理 算得誤差最小時(shí)的比例系數(shù) P； 同理 . 選取有數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的探測器單元個(gè)數(shù)與實(shí) 際數(shù)值對應(yīng)求得單元探測器的間距d；選取探測器平行于 x 軸和 y 軸

8、的位置的數(shù)據(jù). 取每一列表格最大值所對應(yīng)的列數(shù)即橢圓中心.求均值得到與旋轉(zhuǎn)中心的相 對位置，代入d 值分別求得旋轉(zhuǎn)中心的橫縱坐標(biāo)；計(jì)算探測器的180 個(gè)方向，首先通過橢圓和圓的方程以及d 值和初末位置的表格數(shù)據(jù)算出探測器初末位置的 方向，列出均含有 512 個(gè)方程的 180 個(gè)方程組，計(jì)算得到的弦長經(jīng)比例放大后等 于表格 中數(shù)據(jù) . 用最小二乘法求得誤差最小時(shí)的 180 個(gè)方向。2 、 問題二該問題是問題一的逆向求解。根據(jù)問題一得到的 CT 系統(tǒng)的參數(shù). 以及題目 所給的接收矩陣？需要反向得出木知介質(zhì)的幾何圖形以及在正方形托盤的位置和吸收率。我們通過查閱資料了解到Radon變換以及Radon逆

9、變換能夠解決這類問 題。Radon變換能夠通過接收矩 陣得到原始圖形以及圖形的吸收率. 但是由于題 目中的吸收率進(jìn)行了增益處理，故還需要找到Radon變換與題目中增益的關(guān)系。該問題與問題二類似，不過通過 Radon變換后得到的原圖像非常模糊，應(yīng)該 首先進(jìn)行 去噪處理。運(yùn)用濾波反投影法（FBP）.先修正、后投影重建圖像的做法.可得到原始圖像的吸 收率信息。4、問題四新模板必須盡可能排除或減弱上述三個(gè)參數(shù)所帶來的誤差。旋轉(zhuǎn)中心：新的模板盡可能避免出現(xiàn)重復(fù)過的像素的點(diǎn)的行或列；探測器單元間距：新的模板需盡可能縮短探測器間距，增大旋轉(zhuǎn)次數(shù). 盡可 能的獲得攜帶原始圖像關(guān)鍵信息的數(shù)據(jù)；X 射線的旋轉(zhuǎn)方向

10、：每次旋轉(zhuǎn)的角度盡可能小 . 這樣才可能是的誤差的量級變小。而且，在旋轉(zhuǎn)一定的次數(shù)后，暫定，微調(diào)，對比數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。在上述三個(gè)參數(shù)的分析基礎(chǔ)上 . 我們可以進(jìn)行新模板的建立。為了便于新模板對上述三個(gè)參數(shù)的求解及模板的實(shí)用性及合理性，我們決定決定采用“正三角 切圓型”，即在正方形托盤中放置一個(gè)均勻固體物質(zhì)構(gòu)成的正三角形薄片，正三 角形中心與正方形托盤中心重合?正三角形某一邊的中垂線與正方形的與水平方 向成135。的對角線重合，且使得正三角形面積盡可能的大。在此基礎(chǔ)上，再在 上述中垂線上 ( 即在正三角形右下方) 放置一個(gè)與正三角形具有相同介質(zhì)的圓薄 片，且同樣使得圓薄片面積盡可能大，此時(shí)圓薄片，

11、剛好與正三角形薄片相切三 . 模型假設(shè)假設(shè) CT 系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心位于探測器中垂線上假設(shè)忽略光的衍射Mi :第i列不為0的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(20, 1,2, 180)x 軸：與橢圓短半軸重合的數(shù)軸y 軸：過橢圓中心且與長半軸重合的數(shù)軸%o!旋轉(zhuǎn)中心橫坐標(biāo)yQZ旋轉(zhuǎn)中心縱坐標(biāo)d： 探測器單元之間的距離Btj: 第 i 次旋轉(zhuǎn)第 j 個(gè)探測器單元射線的截距W 表格中第 i 列第 j 行的數(shù)據(jù) ( 21,2?180? j=l,2,512)s：探測器第i次掃描時(shí)第j個(gè)單元探測器掃描到的介質(zhì)弦長和(i=l, 2-,180, j=l,2,512)小問題一中弦長與衰減后射線能量的比例系數(shù)他：射線斜率(1=1,2, -

12、.180)9i:旋轉(zhuǎn)第i次與X正半軸的夾角(1=0, 1,2,180)71廣第n個(gè)探測器單元(j=l,2,3? .512)m： 從模板接受信息經(jīng)過逆變換到圖形矩陣的轉(zhuǎn)換系數(shù)X 附件四中十個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)( 1=1,10)Yi : 附件四中十個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo) (i=l, , 10)P中：問題二中附件一第i列第j行的數(shù)據(jù)(i=l,2-. 180. j=l,2,512)片八：問題二中附件二 第 i 列第 j 行的數(shù)據(jù) (1=1,2-, 180, j=l,2, -,512)五.模型建立1、問題一該問題主要為數(shù)據(jù)分析處理類問題。首先對附件一進(jìn)行分析.通過對模板每一點(diǎn)吸收 率連續(xù)化處理分別得到橢圓和圓的方程與理論

13、一致分別為： x2 y2W + 言古？（x-45）2+y2 = 16分析附件二中數(shù)據(jù).并用MATLAB畫出對應(yīng)的圖像（如圖一）.根據(jù)圖像.探 測器逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn).則探測器處于平行于y軸時(shí)，沿x負(fù)半軸方向分別為第1個(gè)到第512個(gè)探測單元。反映第i次掃描有介質(zhì)區(qū)域的長度，反映探測器與模板的相對位置 .對比模板實(shí)際位 置.最大時(shí)探測器平行于y軸.最時(shí)探測器平行于x軸；模板 由均勻固體介質(zhì)組成.則經(jīng)過增 益后的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)成比例.附件中每個(gè)單元格中數(shù)據(jù)即為增益后的截模板弦長的量值 . 即？二叫。20406080100120140160180圖一附件二投影圖1）計(jì)算U首先選取M最大時(shí)的六列數(shù)據(jù).可以有效

14、減小系統(tǒng)誤差.取每一列數(shù)據(jù)數(shù)值 最大的即 探測器位于平行于y軸的位置，最大值表示橢圓短軸和圓直徑吸收衰減 后的射線能量經(jīng)增 益處理的量值.取六個(gè)方向平均值Ll=67. 3419.對應(yīng)的實(shí)際 值為3&同理選取園最小時(shí)的三 組數(shù)據(jù)，此時(shí)探測器位于平行于 x軸的位置.兩段不為0數(shù)據(jù)中的最大值分別表示橢圓長半 軸和圓直徑吸收衰減后的射線能量增益后的量值，U又三個(gè)方向平均值分別得到 L2=141.6893667, L3=14. 17846667.對應(yīng) 的實(shí)際數(shù)值為80和8;為得到更加精確的結(jié)果.對這三個(gè)數(shù)據(jù)用近似最小二 乘法算誤差最小 時(shí)取得的比例系數(shù)，最終算得 p=1.7713, LINGO程序見附錄

15、一。2）計(jì)算d選取數(shù)據(jù)時(shí)首先考慮數(shù)據(jù)量大的位置.可以有效避免系統(tǒng)誤差.提高精度。計(jì)算探測器單元間距d時(shí).選取探測器的最大時(shí)的六組隔？即探測器位于 平行于y軸的位 置，對取平均值得到橢圓長軸所對應(yīng)的探測器單元個(gè)數(shù).并對應(yīng)長軸實(shí)際長度算出探測器單元間距：80di = 289 =0.276816609選取皿最小時(shí)的三組數(shù)據(jù).即探測器平行于x軸的位置.由于這幾組數(shù)據(jù) 中間部分有探 測器單元沒有掃描到介質(zhì)區(qū)域，所以不能直接選取選取計(jì)算，分別選取模板中橢圓右側(cè)端點(diǎn)與圓左側(cè)端點(diǎn)、橢圓左側(cè)端點(diǎn)與圓右側(cè)端點(diǎn)及圓和橢元間距:圓兩短軸端點(diǎn)間對應(yīng)的探測器單元個(gè)數(shù) ？分別對應(yīng)實(shí)際的數(shù)據(jù)得到三組探測器單26 d2= =

16、0.276595744 TOC o 1-5 h z 29464 * 3一d3 694 一 0-2766570638*3d4 =0.2766990294412對于得到的四組探測器單元間距，為了減小系統(tǒng)誤差 .求平均值保留四位小 數(shù)得到d=0.27G7?詳細(xì)數(shù)擁見附件表3）計(jì)算旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)計(jì)算探測器旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)時(shí)？利用己經(jīng)計(jì)算出的d值和兩條不相交的直線確定一個(gè)點(diǎn)得到旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)。取探測器平行于 y軸和平行于x軸兩個(gè)位置的數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)中量值最大的對應(yīng)的即為橢圓的中點(diǎn)？在這兩個(gè)位置將橢圓中心即坐標(biāo)系原點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心之間的探測 器單元數(shù)目差值分別確定？找到模板和探測器系統(tǒng) 的相對位置.代入d值.分別求得

17、縱坐標(biāo)和 橫坐標(biāo)。探測器平行于y軸時(shí)橢圓中心對應(yīng)的探測器單元：ny = (239 + 236 + 233 + 229)/4 = 234.25號=(256 - ny) * d = 6.0182探測器平行于x軸時(shí)橢圓中心對應(yīng)的探測器單元；nx = (222 + 223 + 223)/3 = 22.6667xo = (nx256) ? d = 9.2233詳細(xì)數(shù)據(jù)見附件表二.旋轉(zhuǎn)中心相對坐標(biāo)原點(diǎn)的位置示意圖如圖二圖二旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)示意圖4) CT系統(tǒng)射線的180個(gè)方向?yàn)榇_定探測器旋轉(zhuǎn)的180個(gè)方向，設(shè)過旋轉(zhuǎn)中心的探測器單元的射線方程為y-yo =fc(x-xo)-則任意一個(gè)探測器單元在任意旋轉(zhuǎn)次數(shù)時(shí)的

18、射線方程一般式為：(256 - n) * dy-yo = g-xo) +COS?(n= 1,2 “512=1,2 J80)根據(jù)表格中第一列和最后一列數(shù)據(jù).即探測器初始和最終位置.第一列中間 部分?jǐn)?shù)據(jù)為0的即為與橢圓和圓相切的兩條射線間的探測器單元數(shù)Am列出兩 條切線方程分別為：y = tanQ1 * % 4- ByAn ? d y = tanBr * % + Fi, + 一1cosOi初始位置與橢I員I和圓相切射線方程分別與橢圓和圓方程聯(lián)立 y = tanQi * x 4- Byx2 y2152 + 4Q2 = 1(An ? dy = tane1*x + F1； + 一(x- 45)2 + y

19、? = 16相切則判別式A=0可得到225 * tanOi2 + 1600 = 0/ An*d / An *2009 * tan?! 90 * tanAi * （By + cqsQJ +（6 J + 方晶J 16 = 0利用探測器單元間距d,用MATLAB求得初始射線的角度，程序見附錄一 .0并將弧度制轉(zhuǎn)化為角度制.得到初始角度匕=119.7305，同理可得0180 = 298.7164 o相減得總旋轉(zhuǎn)角度B = 0180-01 = 178.9859 . 將射線一般式方程分別與橢圓方程和圓的方程聯(lián)立求解（256-n.）*dy- o ）+%2 y2諄+莎（256 -坷）* d y-y。）+、（%

20、 45） 2 + y? = 16利用書達(dá)定理和弦長公式算出含有 k和q的弦長表達(dá)式.其中弦長公式為ii-cosc2 kL = V1 + 上 2 J (兀+ 兀 2) 2 _ 4 * 兀* 兀 2,=cos 叭與橢圓相交弦長：Ltji = VTTIM/ (9 * k2 + 64) *21600*9）I (256 - n.) ? d o -(256 - n.)職+ 熹r尸-愀% - 4 * (9祕2 + 64) (9水(% + 雇T)與圓相交的弦長：住 *（45 - %o）16利用己經(jīng)計(jì)算出的口值，將附件二中數(shù)據(jù)處理后代入到這 512*180個(gè)方程中，每一個(gè)i值 對應(yīng)的512個(gè)方程寫成一個(gè)方程組？

21、由最小二乘定理使得該方程組誤 差最小時(shí)取得相應(yīng)的180 個(gè)B值，用mathematica求解，一共可解得512組解，分別取平均值得到最后的結(jié)果。方程組為 L” =切 1 + 切 20= 1,2, .,180; j = 1,2, .,512)由于數(shù)據(jù)量巨大.計(jì)算機(jī)不能夠正確運(yùn)算出結(jié)果.計(jì)算時(shí)選擇數(shù)據(jù)量最大的 長半軸處進(jìn)行求解最為精確.又因?yàn)闄E圓弦長和圓弦長不可分離，實(shí)際計(jì)算導(dǎo)致部分方程組不能求出可行解故構(gòu)造分段函數(shù)求解，以是否通過小圓區(qū)域作為臨界條件.將180組氛圍三段計(jì)算？臨界時(shí)必有射線與小圓相切.從而解得臨界射 線斜率分別為00418和？ 0.1908，程序見附錄二，三組方程分別為Sj =

22、liji+切2Sj = Aiji180次旋轉(zhuǎn)分別與x軸正方向夾角見表（1）表（1） X射線的1B0個(gè)方向119.7146121.0580121.6095122. 6918123. 7178124. 6815125. 6760126. 6708127. 6657128. 6609129. 6562130. 6517131.6475132. 6431133. 6388134. 7845135. 6306136. 6265137. 6224138. 6183139. 6142140. 6101141.6059142. 6017143. 5973144. 5929145. 5883146. 58371

23、47. 5788148. 5738149. 5687150. 4628151.5576152. 5516153. 5454154. 5389155. 5319156. 5245157. 5166158. 5083159. 4991160. 4892161.4787162. 4670163. 4542164 4401165. 4244166. 4071167. 3873168. 3652169.1996170. 0354170. 9975172.1042173.1954174. 7117175. 6289176. 2412177. 2414178. 2953179.1542179. 999318

24、0. 7137182. 9672185. 7122185. 8886186. 3366186. 9725187. 7274188. 5559189. 4302190. 3357191.2622192. 2032193.1552194.1154195. 0821196. 0536197. 0290198. 0080198. 9893199. 9728200. 9584201. 9452202. 9336203. 9231204. 9136205. 9051207. 6891208. 8839209. 8779210. 8726211.8677212. 8634213. 8594214. 8557

25、215. 8524216. 8495217. 8469218. 8446219. 8425220. 8409221. 9392222. 8382223. 8373224. 8366225. 8364226. 8362227. 8363228. 8370229. 8377230. 8389231.8402232. 8420233. 8442234. 8468235. 8498236. 8533237. 8573238. 8618239. 8670240. 8728241.8793242. 8867243. 8950244. 9042245.9146246. 9263247. 9392248. 9

26、538249. 9699250. 9879252. 0077253. 0296254. 0536255. 0795256.1074257.136925& 1675259. 1987260. 2298261.2601262. 2889263. 3160264. 3415265. 3661266. 3915207. 4198208. 4546269. 5013270.5680271. 6704272. 8431274.1979274. 8686275. 7084276. 2692276. 9481277. 4523278.0057278. 5599279. 9215281.1024282. 213

27、6283. 2891284.3434285. 3842286. 4159287. 4410288. 4613289. 4780290. 4919291.5035292. 5135293. 5220294.5294295. 5358296. 5415297. 5464298. 5401詳細(xì)計(jì)算過程見附件表三.相應(yīng)mathematica程序見附錄二。2、問題二該問題是問題一的逆向過程.根據(jù)問題一得到的標(biāo)定參數(shù).利用上述CT系統(tǒng)得到的標(biāo)定參數(shù)和該未知介質(zhì)的接收信息，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信由Radon原理:兩維情況下Radon變換大致可以這樣理解：一個(gè)平面內(nèi)沿不同的直

28、線 （直線與原點(diǎn)的距離為廠？方向角為8）對做線積分.得到的像就是函數(shù)的Radon變換。也就是說.平面（廠,0）的每個(gè)點(diǎn)的像函數(shù)值對應(yīng)了原始函數(shù)的某個(gè)線積分。在本題中.對于剛好照射在每一探測器上的 X射線剛好對應(yīng)于直線2?用X射線去照射模板或待檢測物質(zhì)，相當(dāng)于在 X射線對應(yīng)的直線2上做線積分，由于r及0的不同.得到不同的R()?對應(yīng)于所得到的接收信息。對Radon變換簡單理解如圖三.圖三圖四衰減函數(shù)上圖中.在直角坐標(biāo)系xOy中.f(x, y)為直線1上的點(diǎn).由于x = rcosO? y = rsinG,從而對每(r,0),圈中直線1可表示為:xcosO + ysinO = r沿直線1對f(x,y

29、)做線積分.得Radon變換公式為：R(r,0) = fAf(x,y) ds ?其中 s = y/x2 +y2在本題中.Radon變換可直觀理解為：根據(jù)不同射線的入射方向.對位丁待 檢測介質(zhì)或模板 內(nèi)部的射線的衰減系數(shù)進(jìn)行積分？可得待檢測物質(zhì)或模板的衰減函數(shù)R(r,0)?如圖四所示。在二維平行束投影示意圖中，射線目標(biāo)信息為函數(shù)f(x,y) , 8為X射線的法 線與x軸夾角？I?為射線AB與原點(diǎn)的距離。1另外，狄拉克6函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)，在物理學(xué)中常用其表示J貢點(diǎn)、點(diǎn)電荷等理想模型的密度分布.該函數(shù)在除了零以外的點(diǎn)取值都等于零.而其在整個(gè)定 義域上的積分等于1。為了便于理解及應(yīng)用.我們寫出一種最

30、簡單的狄拉克 6函數(shù)形式：(0 , % = 01 ? X + 0將此狄拉克函數(shù)應(yīng)用到X射線所對應(yīng)的直線1上，有5(xcos6 + ysiM - r) = ( A + 網(wǎng)加一心(1 , xcosG + ysinO- r =# 0即在直線1上的點(diǎn)f(x,y)滿足5(xcos0 + ysinG - r) = 1.其他不在直線1上的 點(diǎn)滿足8(xcos0 + ysinO 一 r) = 0。止匕時(shí).R(r,0)為探測器所接收到的信息.由上述論證.此時(shí)Radon變換為：r+8R(匚 0)=1 f(x,y)S(xcosO + ysinOr) dsJ 一 8Radon變換可理解為某一二維圖像在(r,e)空間的

31、投影)(r,0)空間的每一點(diǎn)對 應(yīng)(x,y)空間 的一條直線方程。Radon逆變換(Iradon)由投影后的R(r, 0)? Radon逆變換可以求出原二維圖 像的兒何形狀及對X射線的吸收率等信息.即給出從投影到重建的解。具體表達(dá)00 xcosO + ysinO - rdr根據(jù)上述數(shù)學(xué)原理.結(jié)合Mat lab中Radon及I radon函數(shù)進(jìn)行求解 1)利用Matlab的Iradon工具箱。我們將512*180的接收信息矩陣，通過radon逆變換.以及平移圖像中心.得到由五個(gè)橢圓組成的“外星人”狀圖像顏色越淺“吸收率”越大。如圖所示020406080100120140160180圖五附件三接收

32、圖1.450100150200250501001502002500.8圖六附件三介質(zhì)原始圖像的幾何形狀2)圖像在正方形托盤的位置確定由256*256個(gè)像素點(diǎn)的圖像矩陣對應(yīng)到 100mm*100mm的正方形托盤.每一個(gè) 像素點(diǎn)的長為0. 3906mm得到該未知介質(zhì)在正方形托盤的位置信息.以正方形 托盤中心為坐標(biāo)原點(diǎn)(0, 0)作圖：?2502550附件三未知介質(zhì)在正方形托盤的位蠱3）對應(yīng)吸收率的確定。首先根據(jù)附件二的模板接收信息.進(jìn)行radon逆變換得到模板的圖像信息.尋找逆變換得到的圖像信息與原始圖像之間的平均比例關(guān)系肌PtjL1 i 256,1 j A2 - 4 e (1A2) ? (k.9

33、 vii ?x? y ? y ? 2009) / ? (sc_ ? 9? Q933, y ? 2719)OnA 7 90-12.5432 k-ie.4466A i c- x . 1 2045.34.11S.695 k *65.0693 k 1 -hK : - Table(l/ ? Solve (“？ 9(U 12.9438 k ?18.4C66( 2048.336T29?1 ? 115.6人52305fl 1 *-85.06926289 t 2 - 0?町Qjtpr I-0.1M7?7 a .0.0418344求解180個(gè)方向臨界值兩端的解：Sqrttl.k- 2! ?Sqrti ? 2? (

34、k ? / - 1A2 .*)/ O.fi ? 64)? 4 . O ? (k ? a*2 - 2 ?|l ?x ? 4 ? /-l&30? ? /3. y -.40 14. 4A 7WWM. 43.10WJTO411A437, 40.8447SM4 ? ? S2$?541? 3A.79954194. 3$.31?M$44. M.037? 44.4?1.lTJ33Xe . 42 M710n ,兀 I ? S? S?4S2. 37.0? *7?*?4 ? 3MO? tfi3.aooixe. mH006054. P35.W3r?77S . 35.944人5330XO4 7.32.G473930.3

35、A.447A131435.?0?nt ? 34.8SKA107.34.9781501.34.26417S24? 33.?7117l5t . 3i.7172? 76.3B.41M6M ,32.23130481 ? 35.00470731 ? 31.827SS744. 31.?4042A4.31.46274131.31.人40人6? 3|.,X33? g .43423 ? X841A9314.30.70TSS12 ? 30.M2M30S ?SM13KoMR?P8 39J2L9299 ? 31.44 *0923 ? 2?.?IU2U 7M74B20.2? .7711VW . 29 91A05430.

36、4Q3M6.30.35?4y?O . 32.5880) -38, 3S.9OS442Q2.37.19163432.37.S0K92S2.37.W043S3e . 3T.HISS5M2,.?4?79? , 2.6315JB4. 2?.?XT 29.O7979CB. 29.?4121?4.29.M32U1) 2? .GT17r39Jf.rJOlTO*? , 2.W7?1TO, 30 00T24474,30.0990302, N.H0MM4,M 2MM974 ? 30、64 A, M.C?MH03 ? M.140?237-?恢A川田？ 3071WJ37. ”? 2 MOOT 18cH2QO4H .

37、H日勺OlfCS47. 3S6457(343 ? 3?.6H53?3 ? 33.143S77MCJ1W075. 408T3MT32.36.1?: 4M1M118X097nS3M31 4MHW? 31J1.2MXW ? 33.9人60(554 ? 33.64324161 ?33? 93Mg. .37.1M73M?,42.11MO4Q1. O.6* : 5Mt43 ?CO39M1. 31? 20?77. Jl.M33tin . 3?.2?eiO9e336.%5 遜 3M ? 37.3S433M6T .34.22656 9 ? S4.525177W . 34.M545ri ? 35.15759M3.

38、3d.l92A3?l. 38.i33AOdl4.3?.M74ai? . 30.5S65?M3.43.B3014M2.44.U8a$M4 ? 45.030MS3* ? 43.6.3924,4 .;MM?i ? ?M4WM7.4?.?0-3MOM . 48.23S13C44I.M7M50? ? 4?.磯 3301 ”? 30.2人1115.上 MS5L54 . MS? 5A.15437131. 33.W72M03.719? U0t ? Ma.71301419?S.M2XT9? . ?T.092?99 , M ? , 3I.?S2?9M. 3I.W700? 3U , 8?.759J724. 4Q.0

39、T2? ?22 ,C2?W251 ? 643316A492 ? c 73A5CW7 ? c “1902”?cwe福21? e).340M ? X . O 791911 .? 04 -DX”, C4 R 航 0? K , ?4o lwiorr, es.yriuoie , ei.wjwsie . 1223119 5178 ? S7.21209255? %W?？54.CW14?23.53.76754249. S2.M432389? S2.3?01? 65. 51.257? 5? 50?弓蘆% 7?科朋.“.48.4451,4=.O254.U.423. 4S.7923. 451C8?. 44.4442

40、a 43.7932. 43.17 -5. 42.SF7 : , 4：舊7人？，41.411,4C.=60=. I3.3?=7 r 3B.T3e.yr.eO2C.M.71. 1.1322* 31.44*71.2? .CH4i31.2Mt 31.IMS. 30.C? , X.B413. 30.10*T,) 0? $X、?” .33.4101. S3.1?01 0.32.M.6C86 35.KM. 37.11T,2?.MU? 2.?)79. 29.? Ub 29.C?17? 2?.?74, 29.790a 29.1712, 29.1M ? 29.I741,P.2? S2.4 郎ir X.1929,

41、M.O3Z M.2MI.30.0BS ? 3C.L7C5, ? .2?7, 3C.3S47. 0.4734, 3C.59 : 5, 30.7： 5?. 3O.t46S. 30.9505. 31.U3?. 31.2SM. 3L.4SO. 31.6434.3I.82S, S.9C6. J2.22B1. S2.80i r 22.1436, S、? ftl. ,9 ? U92. Q.0M9. 14.2X66, S4.S2S2, S4.e9SS v 3S.15*?r 35.4tl0,S5.t?3* r M.19*)0, 34.5?02 r 34.05S?r S7.9543 r r?.7 0 41? 0g

42、 4L.5T7C. C2.LLM, U.S ” . 4J.29Q, IS.NOe. M ? W. ?.Ma ?9.?639? 4?.29?6, 79. IQ.W, 11.60. U.H44. I9.09T2, U.71W.1 ,4? 144C0 ? ?II、* M 06*G2? 0 PTAio|k/. SolveTT1P *lW9 審戶 ? AHBll - 0. kJ. a. 1, HO)M ? H.H24. i7.002Y? 討? ? M.2M1. M.B7CI. M.CTH?CO.O ： aS. 4L.2MJ. il.ir?!, 6A.1402. 42.tS?l. U.MOS.敘？ 1*H

43、2? 44.4M : .U.M4U ? CJM. 45.02M. ? 4.?MT9 64.7SS?v 4.4ILS. U.120J.63? 6： 49?3.5A11, *2 / Ot *2 ? ? ? (t*2?xM2 ? ? R ? ? 9J / .kf 324 e.rBk ? 9? 22S3PK(T ? A s35. W544202,3T.191CS3P (12. IP) 24 (-14400. 9 (、9(M HF115 W523IM t?。八?(?!?附錄四R = 10ad(1data2.txt 1);theate =124.6815130.6517136.6265142.601714

44、8.5738154.5389160.4892166.4071172.1042178.2953185.8886190.3357196.0536201.9452208.8839214.8557220.8409226.8362232.8420238.8618244.9042250.9879119.7146125.6760131.6475137.6224143.5973149.5687155.5319161.4787167.3873173.1954179.1542186.3366191.2622197.0290202.9336209.8779215.8524221.9392227.8363233.84

45、42239.8670245.9146252.0077121.0580126.6708132.6431138.6183144.5929150.4628156.5245162.4670168.3652174.7117179.9993186.9725192.2032198.0080203.9231210.8726216.8495222.8382228.8370234.8468240.8728246.9263253.0296257.1369263.3160269.5013275.7084279.9215286.4159292.5135258.1675264.3415270.5680276.269228

46、1.1024287.4410293.5220259.1987265.3661271.6704276.9481282.2136288.4613294.5294121.6095127.6657133.6388139.6142145.5883151.5576157.5166163.4542169.1996175.6289180.7137187.7274193.1552198.9893204.9136211.8677217.8469223.8373229.8377235.8498241.8793247.9392254.0536260.2298266.3915272.8431277.4523283.28

47、91289.4780295.5358122.6918128.6609134.7845140.6101146.5837152.5516158.5083164.4401170.0354176.2412182.9672188.5559194.1154199.9728205.9051212.8634218.8446224.8366230.8389236.8533242.8867248.9538255.0795261.2601267.4198274.1979278.0057284.3434290.4919296.5415123.7178129.6562135.6306141.6059147.578815

48、3.5454159.4991165.4244170.9975177.2414185.7122189.4302195.0821200.9584207.6891213.8594219.8425225.8364231.8402237.8573243.8950249.9699256.1074262.2889268.4546274.8686278.5599285.3842291.5035297.5464298.5401-90；Il,H = iradon(R,theate, 1 spline 1,512);11 (:, (468:512)= ；11(:, (1:110)=；Il (457:512) f :

49、)=;Il (1:99)/ ： )=；Il = imresize (工 1,256/357);datal = load( 1datal .txt 1);kk=0;Tmp = datal ./ II;for i = 1:1:256for j = 1:1:256if(Tmp(i,j) = 0) kk = kk + 1;endendend m = sum(Tmp(:) / (kk);附錄五R = load( * data3 .txt 1);R = R .* 2.0751;theate =119.7146121.0580124.6815125.6760126.6708130.6517131.64751

50、32.6431136.6265137.6224138.6183142.6017143.5973144.5929148.5738149.5687150.4628154.5389155.5319156.5245160.4892161.4787162.4670166.4071167.3873168.3652172.1042173.1954174.7117178.2953179.1542179.9993185.8886186.3366186.9725190.3357191.2622192.2032196.0536197.0290198.0080201.9452202.9336203.9231208.8

51、839209.8779210.8726214.8557215.8524216.8495121.6095127.6657133.6388139.6142145.5883151.5576157.5166163.4542169.1996175.6289180.7137187.7274193.1552198.9893204.9136211.8677217.8469122.6918128.6609134.7845140.6101146.5837152.5516158.5083164.4401170.0354176.2412182.9672188.5559194.1154199.9728205.90512

52、12.8634218.8446123.7178129.6562135.6306141.6059147.5788153.5454159.4991165.4244170.9975177.2414185.7122189.4302195.0821200.9584207.6891213.8594219.8425220.8409221.9392222.8382226.8362227.8363228.8370232.8420233.8442234.8468238.8618239.8670240.8728244.9042245.9146246.9263250.9879252.0077253.0296257.1

53、369258.1675259.1987263.3160264.3415265.3661269.5013270.5680271.6704275.7084276.2692276.9481279.9215281.1024282.2136286.4159287.4410288.4613292.5135293.5220294.5294223.8373229.8377235.8498241.8793247.9392254.0536260.2298266.3915272.8431277.4523283.2891289.4780295.5358224.8366230.8389236.8533242.8867248.9538255.0795261.2601267.4198274.1979278.0057284.3434290.4919296.5415225.8364231.8402237.8573243.8950249.9699256.1074262.2889268.4546274.8686278.5599285.3842291.5035297.5464298.5401 -90;IL,H = iradon(R,theate, 1 splin