數(shù)學(xué)選修1-2課件2.2.1.2

1、第2課時(shí) 分 析 法1.理解分析法的意義，掌握分析法的特點(diǎn).2.能用分析法證明數(shù)學(xué)問題. 1.本課時(shí)重點(diǎn)是利用分析法證明數(shù)學(xué)問題.2.本課的難點(diǎn)是分析法的理解與綜合運(yùn)用. 分析法定義框圖表示特點(diǎn)一般地，從要證明的_，逐步尋求使它成立的_，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、_、_、_等)為止.這種證明方法叫做分析法逆推證法或執(zhí)果索因法結(jié)論出發(fā)充分條件定理定義公理1.分析法就是從結(jié)論推向已知，這句話對嗎？提示：不對.分析法又叫逆推證法，但不是從結(jié)論推向已知，而是尋找使結(jié)論成立的充分條件的過程.2.分析法是合情推理還是演繹推理？提示：分析法是演繹推理.因?yàn)榉治龇ǖ拿恳徊?/p>

2、都是嚴(yán)密的邏輯推理，因此得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”.3.要證明AB,若用作差比較法，只要證明_.【解析】要證AB,只要證A-B0.答案：A-B04.在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到角A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是a2_b2+c2(填“”“”“”“”).【解析】a為最大邊且abc，要想角A為鈍角，只需cosA0，即 只需要b2+c2a2，也即a2b2+c2.答案：1.分析法的基本思路分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”.由求證走向已知，即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需要求證的問題出發(fā)，一步一步探索下去，最后尋找到使結(jié)論成立的一個(gè)明顯成立的條件，或者是可以證明的

3、條件.用分析法思考數(shù)學(xué)問題的順序可表示為：(對于命題“若A則D”)即從D上溯尋其論據(jù)，如C，C1，C2等，再尋求C，C1，C2的論據(jù)，如B，B1，B2，B3，B4等，繼而尋求B，B1，B2，B3，B4的論據(jù)，如果其中之一B的論據(jù)恰為已知條件A，那么命題得證.2.綜合法與分析法的區(qū)別及優(yōu)缺點(diǎn)(1)區(qū)別：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向未知，每步尋找的是必要條件；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件.(2)優(yōu)缺點(diǎn)：綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，綜合法從條件推出結(jié)論，能較簡捷地解決問題，但不便于思考；分析法解題方向較為明確，容易尋找到解題的思路和方

4、法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁. 用分析法證明不等式【技法點(diǎn)撥】用分析法證明不等式的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、已知的重要不等式等.(2)分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件或充要條件.(3)分析法為逆推證明.因此在使用時(shí)要注意邏輯性與規(guī)范性.其格式一般為“要證，只要證，只需證，顯然成立，所以成立”.【典例訓(xùn)練】1.(2012聊城高二檢測)求證：2.(2012中山高二檢測)已知a0,b0，求證：【證明】1.要證只要證即只需證即證4240,因?yàn)?240顯然成立，所以 成立.2.a

5、0,b0,要證 成立，只需證 成立，只需證只需證只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),只需證a2-2ab+b20,只需證(a-b)20,而(a-b)20顯然成立，則原不等式得證.【互動(dòng)探究】請用綜合法證明題2.【證明】a0,b0,【思考】1.從例題證明過程中能否提煉出“要證明ab,只要證明a2b2”?2.分析法一般在什么情況下使用？提示：1.不能.在分析法的步驟中，尋找的是充分條件，而a2b2 ab,但當(dāng)a0,b0時(shí)，a2b2ab成立.2.當(dāng)題目已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，一般采用分析法.【變式訓(xùn)練】已知非零向量ab，求證：【解題指南

6、】本題含有絕對值符號(hào)，可用分析法通過變形、平方證明.【證明】要證 只需證平方得只需證 成立，即 顯然成立.故原不等式得證. 分析法證明立體幾何問題【技法點(diǎn)撥】分析法證明立體幾何問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)主要依據(jù)：立體幾何中直線、平面的位置關(guān)系、定義、判定定理、性質(zhì)定理以及一些推論.(2)立體幾何中某些結(jié)論成立的充分條件很多，要結(jié)合題目背景加以認(rèn)真分析.(3)分析法證明的模式(若p則q形式)是：要證明q命題為真，只需證命題p1為真,從而有只需證命題p2為真，從而有只需證命題p為真，而已知p為真，故q必為真.【典例訓(xùn)練】1.對于不重合的直線m，l和平面，要證明，需要具備的條件是( )(A)ml,m,l

7、(B)ml,=m,l(C)ml,m,l(D)ml,l,m2.如圖，SA平面ABC，ABBC，過點(diǎn)A作SB的垂線，垂足為點(diǎn)E；過點(diǎn)E作SC的垂線，垂足為F.求證：AFSC.【解析】1.選D.A：與兩相互垂直的直線平行的平面的位置關(guān)系不能確定；B：平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面的交線垂直，這兩個(gè)平面的位置關(guān)系也不能確定；C：這兩個(gè)平面也有可能重合；D是成立的，故選D.2.要證AFSC，而EFSC，故只需證SC平面AEF，只需證AESC，而AESB，故只需證AE平面SBC，只需證AEBC，而ABBC，故只需證BC平面SAB，只需證BCSA.由SA平面ABC可知，SABC，即上式成立.所以AFSC成立.

8、【思考】 (1)用分析法證明數(shù)學(xué)問題必須遵循什么原則？(2)要證明某命題B成立時(shí)，需要證的條件唯一嗎？舉例說明.提示：(1)用分析法證明數(shù)學(xué)問題，必須遵循分析法步驟步步可逆的原則.(2)不唯一.如本題1中D能得出，如果改成條件“a,a”，也能推出.【變式訓(xùn)練】如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，PA平面ABC，A在PB，PC上的射影分別為E，F(xiàn)，求證：PB平面AFE.【證明】要證PB平面AFE(因?yàn)锳EPB)，只要證AFBC(因?yàn)锳F平面PAC)，只要證BC平面PAC，而AB為直徑，ACBC，只需證BCPA(因BC平面ABC)，只要證PA平面ABC，因?yàn)镻A平面ABC為已知條件，故PB平面AF

9、E. 分析法與綜合法的綜合應(yīng)用【技法點(diǎn)撥】分析綜合法的特點(diǎn)及證明思路(1)根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng).若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱之為分析綜合法,或稱“兩頭湊法”.(2)分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).(3)綜合法和分析法常常交叉使用.其證明模式可用框圖表示如下：其中P表示已知條件、定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論.【典例訓(xùn)練】1.證明函數(shù) 是奇函數(shù).2.(2012中山高二檢測)A

10、BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且角A，B，C的對邊分別為a，b，c,求證：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【證明】 恒成立， 的定義域?yàn)镽，要證函數(shù) 是奇函數(shù)，只需證f(-x)=-f(x),只需證只需證而log21=0.上式成立.故函數(shù) 是奇函數(shù).2.方法一：(分析綜合法)要證(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1成立，即證 成立，即化簡得又需證c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),即c2+a2=b2+ac.又ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60.由余弦定理,得所以a+c2-bac,所以原命題成立.方法二：(綜合法)因?yàn)锳BC三

11、個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60.由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos60，即c2+a2=ac+b2,兩邊同時(shí)加(ab+bc),得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),兩邊除以(a+b)(b+c)，得所以即所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【互動(dòng)探究】若把本題2的結(jié)論當(dāng)條件，試證明：B【證明】(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1， 即c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),b2=a2+c2-ac,又B(0,),B=【想一想】根據(jù)分析法和綜合法的特點(diǎn)，應(yīng)該怎樣使用這兩種方法證明數(shù)學(xué)問題？提示：根據(jù)分析法有利于思考，便于找

12、到解題突破口，綜合法宜于表述的特點(diǎn)，證題時(shí)常用分析法尋找解題思路，即從結(jié)論出發(fā)，逐步縮小范圍，進(jìn)而確定我們所需要的“因”，再用綜合法有條理地表述證明過程.【變式訓(xùn)練】若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：【解題指南】對于含有對數(shù)的不等式往往先利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去掉對數(shù)，然后再證.【證明】要證只需證只需證又因?yàn)榍疑鲜鋈街械牡忍?hào)不全成立，所以因此，【規(guī)范解答】分析法的應(yīng)用【典例】(12分)(2012臨沂模擬)已知a0,b0,2ca+b,求證:【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】要證只需證 3分即證 5分只需證 6分只需證a2-2ac+c2a2+ab,9分因?yàn)閍0,所以只需證2ca+b.10分因?yàn)?ca+b成立

13、.所以原不等式成立.12分【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見規(guī)范解答過程)失分警示 在解答過程中，若不能把待證不等式轉(zhuǎn)化為處不等式，可能會(huì)分別證明兩個(gè)不等式 和 這時(shí)要證兩邊平方達(dá)到這兩個(gè)不等式成立，就不會(huì)是充分條件，即要證 只需證(a-c)2c2-ab,這是不正確的，考試中可能只給2分.失分警示 在解答過程中，若在處不能將要證轉(zhuǎn)化為需證處的不等式，思路就會(huì)很亂，導(dǎo)致無法繼續(xù)推證，考試中最多給3分，只要能想到，接下來就會(huì)很容易分析從而得到滿分.解題啟示(1)要學(xué)會(huì)“解不等式”在“證不等式”中的熟練應(yīng)用.這里應(yīng)用了“|x-a|ba-bxa+b”.(2)分析法證明中要注意充分條件的尋找.【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)用分析法證明等式：【解題設(shè)問】(1)是否要先分析待求式，把它化為不含分母的等式？_.(2)解答中需要應(yīng)用基本關(guān)系式嗎？_. 是需要【規(guī)范答題】要證 2分只需證sin2x=(1-cosx)(1+cosx),5分只需證sin2x=1-cos2x.7分因?yàn)閟in2x=1-cos2x顯然成立，9分所以 12分1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求結(jié)論成立的( )(A)充分條件 (B)必要條件(C)充要條件 (D)等價(jià)條件【解析】選A.由分析法的定義