高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)課件最優(yōu)化

1、A2微積分與最優(yōu)化2022/8/91A2.1微積分2022/8/92設(shè)D是一個(gè)非退化的實(shí)值區(qū)間在此區(qū)間上,f是二次可微的.如下的1至3闡述是等價(jià)的:1.f是凹的.2.f(x)0,xD.3.對(duì)于一切x0D,f(x)f(x0)+ f(x0)(x-x0)4.如果f(x)0 (P.1)xixftkxtkfxtxitxfxixitxtxftxfxiii=)()()()()(P.3)2022/8/922由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定會(huì)等于(P.3),因此有:用t除兩邊得到:對(duì)于i=1,n,并且t0,證明完畢.2022/8/923定理A2.7 歐拉定理歐拉定理證明:定義t的函數(shù)是十分有用的,g(t)

2、f(tx),固定x ,對(duì)t微分,有xxxixfxkfkxfnii對(duì)所有次齊次性的：是，當(dāng)且僅當(dāng)如下式子成立,)()()(1=(p.2)在t=1時(shí):(p.3)2022/8/924證明必要性設(shè)f(x)是k次齊次,使得對(duì)一切t0與任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我們有g(shù)(t)= tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1處取值.我們得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到(P.4)證明充分性為證明充分性,設(shè)(P.4)成立,在tx處取值得到:(P.5)給(P.2)式兩邊同乘t,同(P.5)相比較,發(fā)現(xiàn)tg(t)=kg(t)(P.6)2022/8/925考慮

3、函數(shù)t-kg(t).如果對(duì)此求關(guān)于t的微分,得到:從(p.6)來(lái)看,它的導(dǎo)數(shù)必為零,因此,我們可以得出這樣結(jié)論,即對(duì)于一些常數(shù)c,t-kg(t)=c.為找到c,在t=1處求值并注意到g(1)=c.利用定義( P.1),得到c=f(x).我們知道,g(t)=tkf(x).再次把( P.1)代入,我們得到,對(duì)于所有x,則有f(tx)=tkf(x).2022/8/926A2.2 最優(yōu)化2022/8/927設(shè)f(x)是一個(gè)二次可微的單變量函數(shù),那么f(x)將會(huì)獲得一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)值.1.在 x*處有最大值f(x)=0(FONC) f(x)0(SONC)2.在 x*處有最小值f(x)=0(FONC) f

4、(x)0(SONC)定理A2.8 單變量情形中局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的必要條件2022/8/928定理2.9 實(shí)值函數(shù)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的一階必要條件如果可微函數(shù)f(x)在點(diǎn)x*處達(dá)到了一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)極大值或極小值,那么,x*為如下聯(lián)立方程組的解:2022/8/929證明:證明思路:我們?cè)O(shè)f(x)在x*處獲得了一個(gè)局部?jī)?nèi)部極值,并設(shè)法證明f(x*)=0.證明:選擇任意向量zRn,那么,對(duì)于任意標(biāo)量t,我們有: g(t)=f(x*+tz) (P.1)從(P.1)我們知道,g(t)不過(guò)是f(x)的另一種表現(xiàn)形式.t0時(shí), x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x

5、*,因此,g(0)正好是f在x* 處的值.已經(jīng)假設(shè) f在x*處取得極值,那么g(t)必定在t=0處獲得一個(gè)局部極值.那么,g(0)=02022/8/9302022/8/931A2.2.2 二階條件實(shí)值函數(shù)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的二階必要條件設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的.1.如果在點(diǎn)x*處f(x)達(dá)到了一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)極大值,那么,H(X*)是負(fù)半定的.2.如果f(x)在點(diǎn)x處達(dá)到了一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)極小值,那么,H(X)是負(fù)正定的.定理A2.102022/8/932或者H(X*)0,由于z是任意取的,這以為著H(X*)是負(fù)半定的.同理,如果在點(diǎn)x=x處f被最小化,那么, g(0)0,使得,H(X)是半正定的.定理

6、A2.10證明設(shè)有(p.1)設(shè)f(x)在x=x*處取得最大值,根據(jù)定理A2.8 必定有g(shù)(0)0.在點(diǎn)x*處或者在t=0處給(p.1)取值,2022/8/933定理A2.11 海賽矩陣負(fù)定與正定的充分條件設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的,并設(shè)Di(x)是海賽矩陣H(x)的第i階的主子式.1.如果(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,H(x)是負(fù)定的.2.如果Di(x)0,i=1,n,那么,H(x)是正定的.如果在定義域內(nèi),對(duì)所有x,條件1成立,那么f是嚴(yán)格凹的.如果在定義域內(nèi),對(duì)所有x,條件2成立,那么f是嚴(yán)格凸的.2022/8/934定理A2.11海賽矩陣負(fù)定與正定的充分條件證明證明思路:借助

7、定理A2.4的第四條(如果對(duì)于D中所有x,H(x)是負(fù)定的,那么,f是嚴(yán)格凹的.)將定理A2.12轉(zhuǎn)化為矩陣的主子式改變符號(hào)是負(fù)定的,全為正為正定的.(P.2)2022/8/9352022/8/936定理A2.12 實(shí)值函數(shù)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的充分條件設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的,則:1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么, f(x)在x*處將會(huì)獲得一個(gè)局部極大值2.如果fi(x)=0 并且Di(x)0,i=1,n,那么, f(x)在x處將會(huì)獲得一個(gè)局部極小值2022/8/9372022/8/938定理A2.13 (無(wú)約束的)局部與全局最優(yōu)化設(shè)f(x)是D上一個(gè)二次連續(xù)可

8、微的實(shí)值凹函數(shù).這里,點(diǎn)x*是D的一個(gè)內(nèi)部點(diǎn),那么如下三個(gè)命題等價(jià):1.f(x*)=02.在x*處f獲得一個(gè)局部極大值.3.在x*處f獲得一個(gè)全局極大值.證明:顯然,32,并依A2.9,21,因此,只需證明13由1.假設(shè),f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蘊(yùn)涵對(duì)于定義域的所有x, f(x)f(x*)+ f(x*)(x-x*)結(jié)合假設(shè): f(x)f(x*)所以,f在x*處達(dá)到全局最大值.2022/8/939定理A2.14 嚴(yán)格凹性/凸性與全局最優(yōu)化的唯一性1.如果x*最大化了嚴(yán)格凹函數(shù)f,那么,x*是唯一全局最大化值點(diǎn).例如,設(shè)f(x*)f(x),xD,xx*.2.如果x最小化了嚴(yán)格凹函

9、數(shù)f,那么,x是唯一全局最小化值點(diǎn).例如,設(shè)f(x)tf(x)+(1-t)f(x*),t(0,1) 由于, f(x)=f(x*), f(xt)tf(x)+(1-t)f(x),即f(xt)f(x),這與假設(shè)x是f的一個(gè)全局最大值的假設(shè)矛盾,因此,嚴(yán)格凹函數(shù)的任何全局最大值必是唯一的.2022/8/940定理A2.15 唯一全局最優(yōu)化的充分條件設(shè)f(x)是D上一個(gè)二次連續(xù)可微的.1.如果f(x)是嚴(yán)格凹的,并且fi(x*)=0,i=1,n;那么,x*是f(x)的唯一全局最大化值點(diǎn).2.如果f(x)是嚴(yán)格凸的,并且fi(x)=0,i=1,n;那么,x是f(x)的唯一全局最小化值點(diǎn).2022/8/94

10、1A2.3 約束最優(yōu)化Maxf(x1,x2),受約束于 g(x1,x2)=0 x1,x2目標(biāo)函數(shù)選擇變量約束集或者可行集求解方法:代入法1.x2=g(x1)2.Maxf(x1,g(x1)2022/8/942A2.4 拉格朗日方法x1,x2Maxf(x1,x2),受約束于 g(x1,x2)=0L(x1,x2,)f(x1,x2)+ g(x1,x2)定理A2.16 拉格朗日定理2022/8/943A2.3.6 庫(kù)恩塔克條件x1,x2Maxf(x1,x2),受約束于 g(x1,x2)0L(x1,x2,)f(x1,x2)+ g(x1,x2)非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題庫(kù)恩塔克條件:f1+ g1=0f2+ g2=0g(

11、x1,x2)=0g0,g(x1,x2)02022/8/944A2.20 受不等式條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的(庫(kù)恩塔克)必要條件2022/8/945A2.4 值函數(shù)xMaxf(x1,x2),受約束于 g(x,a)=0,且x0M(a)=maxf(x,a), 受約束于g(x,a)=0, x0 x2(a)x1(a)x2x1L(y*):y*=f(x(a)a)圖A2.10:在約束條件g(x,a)=0限定下的f(x,a)的最大值2022/8/946A2.21 包絡(luò)定理2022/8/947集合論的基本概念和基本結(jié)論定義域：凸集連續(xù)函數(shù) f關(guān)系二元關(guān)系完備性傳遞性D是開(kāi)集， f-1(B)是開(kāi)集偏好關(guān)系拓?fù)淇臻g度

12、量空間歐氏空間值域：逆象f-1(S)開(kāi)集閉集緊集緊集的象是緊集Brouwer fixed point TheoremsS是緊切且凸，f 連續(xù)，則 f(x*)=x*A是一個(gè)凸集 擬凹函數(shù) f是凹函數(shù) 2022/8/948微積分與最優(yōu)化單變量函數(shù)凹性與一、二階導(dǎo)數(shù)等價(jià)命題：f是凹的f(x) 0f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)若f是嚴(yán)格凹的嚴(yán)格不等式成立多變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)梯度f(wàn)(x)=(f1(x),fn(x) f11(x),f1n(x) f21(x),f2n(x) . fn1(x),fnn(x)H(x)=海賽矩陣對(duì)稱(chēng)性Young Theorem2f(x)/ xi xj = 2f(x)

13、 / xj xi海賽矩陣齊次函數(shù)凸集、斜率與凹性的等價(jià)命題D是凸的H(x)是半負(fù)定的f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)歐拉定理Kf(x)= f(x)*xi / xi2022/8/949X*=f(x*1,x *2,x *n)是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)一階條件X*是一個(gè)相對(duì)極大值X*是一個(gè)絕對(duì)極大值d2 x在x*為負(fù)定二階充分條件d2 x在x*為負(fù)定二階必要條件X*是唯一的絕對(duì)極大值f是凹的f是嚴(yán)格凹的d2 x在x*為半負(fù)定d2 x處處為負(fù)定2022/8/950最優(yōu)化無(wú)約束最優(yōu)化有約束最優(yōu)化單變量X*處最大值 f(x)=0 (FONC) f (x) 0(SONC)多變量一階條件X*處最大值 f(x*

14、)=0(FONC)二階條件必要條件：X*處局部最大值 H(x)是半負(fù)定的。充分條件：f(X)是二次可微，1、若fi(X * )=0,且（-1）nD(X *)0,那么，f(x)在 X * 處局部極大。若f(X)是嚴(yán)格凹的，則fi(X * )f(x),對(duì)于任意 Xx *.2022/8/951有約束最優(yōu)化等式約束Maxf(x1,x2)S.t g(x1,x2)=0Maxf(x1, g(x1) )x2 =g(x1)轉(zhuǎn)化成非約束問(wèn)題Lagrange方法不等式約束Maxf(x) ， x 0必要條件：F連續(xù)可微，若x 0，x最大化f，那么， x*滿(mǎn)足1） f(x*)/ xi 02） xi *f(x*)=03） xi * 0。庫(kù)恩-塔克條件2022/8/952微積分與最優(yōu)化單變量函數(shù)凹性與一、二階導(dǎo)數(shù)等價(jià)命題：f是凹的f(x) 0f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)若f是嚴(yán)格