1工程試驗(yàn)設(shè)計(jì)講稿第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析OK

1、第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得大批數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)的主要成果，但在實(shí)驗(yàn)中，由于測(cè)量?jī)x表 和人的觀察等方面的原因，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總存在一些誤差，所以在整理這些數(shù)據(jù)時(shí)， 首先應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)行客觀的評(píng)定。誤差分析的目的就是評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性，通過(guò)誤差分析，認(rèn)清誤差的 來(lái)源及其影響，并設(shè)法消除或減小誤差，提高實(shí)驗(yàn)的精確性。對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差進(jìn)行 分析和估算，在評(píng)判實(shí)驗(yàn)結(jié)果和設(shè)計(jì)方案方面具有重要的意義。第一節(jié)真值與平均值1 真值(true value)真值是指在某一時(shí)刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或?qū)嶋H值。真值一般是未知的，而從相對(duì)意義上

2、來(lái)說(shuō)，真值又是已知的。例如，平面 三角形三內(nèi)角之和恒為180同一非零值自身之差為0，自身之比為1。2平均值（mean）科學(xué)實(shí)驗(yàn)中真值的定義是：設(shè)在測(cè)量中觀察的次數(shù)為無(wú)限多，則根據(jù)誤差 分布定律正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)率相等，故將各觀察值相加，加以平均，在無(wú)系統(tǒng) 誤差情況下，可能獲得極近于真值的數(shù)值。故真值”在現(xiàn)實(shí)中是指觀察次數(shù)無(wú)限多時(shí)，所求得的平均值（或是寫(xiě)入文獻(xiàn)手冊(cè)中所謂的公認(rèn)值”。然而，對(duì)于工程實(shí)驗(yàn)而言，觀察的次數(shù)都是有限的，故用有限觀察次數(shù)求 出的平均值，只能是近似真值，或稱為最佳值。一般我們稱該最佳值為平均值。在科學(xué)試驗(yàn)中，雖然誤差無(wú)可避免，但是平均值可以綜合反映試驗(yàn)值在一 定條件下的一般水平

3、。所以，在科學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常將多次試驗(yàn)值的平均值作為 真值的近似值。平均值的種類有很多，常用的平均值有以下幾種。2.1 算術(shù)平均值（arithmetic mean）設(shè)X1、X2、Xn代表各次的測(cè)量值，n代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 TOC o 1-5 h z n,十.送Xi二 X,+X2 十Xn 7(1-1)X =nn算術(shù)平均值是最常用的一種平均值。凡測(cè)量值的分布服從正態(tài)分布時(shí)，用 最小二乘法原理可以證明：在一組等精度的測(cè)量中，算術(shù)平均值為最佳值或最 可信賴值。2.2 加權(quán)平均值(weighted mear)設(shè)某組試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用不同方法去測(cè)定， 或由不同人員測(cè)定，則這組數(shù)據(jù)中不 同值的精度或可靠性

4、不一致。為了突出可靠性高的數(shù)據(jù)，計(jì)算平均值時(shí)常采用 加權(quán)平均值。n送WX W1X1 + W2X2 + WnX n匸XW =式中,X1、X2 Xn各次觀測(cè)值;(1-2)WnW W2 + +W1、W-Wn 各測(cè)量值的對(duì)應(yīng)權(quán)重。注意：權(quán)重不是任意給定的，除了根據(jù)經(jīng)驗(yàn)之外，還應(yīng)按照如下方法確定權(quán)重：（1）當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，可以將權(quán)重理解為試驗(yàn)值Xi在總數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻 率 ni/n；（2）如果試驗(yàn)值是在同一條件下獲得的，但是來(lái)源于不同的組，這時(shí)加權(quán)平均值的計(jì)算公式中的x代表各組的平均值，而 Wi代表每組試驗(yàn)次數(shù)，如例題 1-1.若認(rèn)為各組試驗(yàn)值的可靠度與其出現(xiàn)的次數(shù)成正比，則加權(quán)平均值即為總算術(shù)平均值。

5、1-2所示。（3）根據(jù)權(quán)重與絕對(duì)誤差的平方成反比來(lái)確定權(quán)重，如例題例題1-1實(shí)驗(yàn)室中稱量某樣品，不同的人得到 4組稱量結(jié)果，如表1-1所示。 如果認(rèn)為各測(cè)量結(jié)果得可靠度僅與測(cè)量次數(shù)成正比，試求其加權(quán)平均值。表1-1例題1-1數(shù)據(jù)表組序測(cè)量值加權(quán)平均值1100.357，100.343，100.351100.3502100.360，100.348100.3543100.350，100.344，100.336，100.340，100.345100.3434100.339，100.350，100.340100.343解：由于各測(cè)量結(jié)果得可靠度僅與測(cè)量次數(shù)成正比，故每組試驗(yàn)平均值的 權(quán)重即為對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)次

6、數(shù)。即 W1=3，W2=2，W3=5，W4=3。則加權(quán)平均值為:一 W1Xi + W2X2 + W3X3 + W4X4Xw =Wi + W2 + W3 + W4100.350 3+100.354 ”2 +100.343 5+100.343 3=100.3463+2+5+3例題1-2在測(cè)定溶液 PH值時(shí)，得到兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其平均值分別為:X, =8.5 0.1;；2 =8.53 0.02，試求它們的平均值。解：根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差計(jì)算權(quán)重：1 1w1 = =100， W2 = = 2500，即0.120.022W1： W2=1: 25第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析(

7、講稿) 1+25所以，PH = w必+ w2X2= 85上8空空=8.53 w, +W2對(duì)數(shù)平均值(logarithmic mean)如果試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布曲線具有對(duì)數(shù)特性，可使用對(duì)數(shù)平均值。 設(shè)有兩個(gè)正數(shù)X1和X2,則其對(duì)數(shù)平均值為X L =in 人-ln X2.X1in X2X X2X X2 X X1 ( 1-3)X2in丄X1幾何平均值(geometric mean設(shè)n個(gè)都為正數(shù)的試驗(yàn)值XI、X2、Xn,其幾何平均值為1/n設(shè)有n個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)Xi、X2、Xn，則其調(diào)和平均值為H =11丄+丄+X,X2+丄Xn亠(1-6)送Xii=l11+ +1 _ X1X2Hn十丄Xnn 1Z -旦互(1-7

8、)nXG 斗/Xi X2 XsXn =(XX2Xn)n ( 1-4)對(duì)上式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n_ 送 igxilgXG= (1-5)n可見(jiàn)，當(dāng)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后得到數(shù)據(jù)的分布曲線更加對(duì)稱時(shí)，宜采用 幾何平均值。一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的幾何平均值常小于其算術(shù)平均值。5調(diào)和平均值(harmonic mean)總之，不同的平均值都有不同的應(yīng)用場(chǎng)合，至于選擇哪種平均值，主要取 決于試驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)，如分布類型、可靠度等。第二節(jié)誤差的基本概念誤差是實(shí)驗(yàn)測(cè)量值（包括間接測(cè)量值）與真值（客觀存在的準(zhǔn)確值）的差 別。注意誤差與偏差的區(qū)別：偏差是指實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與平均值之差。1 絕對(duì)誤差（absolute error）通

9、常所屬的誤差即為絕對(duì)誤差。絕對(duì)誤差是試驗(yàn)值與真值之間的差值，即x=x-xt （ 1-8）式中，x絕對(duì)誤差；x試驗(yàn)值；xt真值。絕對(duì)誤差反映了試驗(yàn)值偏離真值的大小，其大小可正可負(fù)，所以有由此可得X|綱蘭 Xt 蘭 x+lx （1-11）一般，真值是未知的，故無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算絕對(duì)誤差，但是可估計(jì)其大小。設(shè)max絕對(duì)誤差的最大值為Axmax（或稱為試驗(yàn)值x的絕對(duì)誤差上界），則有XXt 蘭綱max （ 1-12）由式（1-12），可得x-xmax 人 X+AXmax（ 1-13）在試驗(yàn)中，如果對(duì)某物力量只進(jìn)行一次測(cè)量，常常依據(jù)測(cè)量?jī)x器上注明的 精度等級(jí)，或儀器最小刻度作為單詞測(cè)量誤差的計(jì)算依據(jù)。一般可取最

10、小刻度 值作為最大絕對(duì)誤差，而取其最小刻度的一半作為絕對(duì)誤差的計(jì)算值。例如， 某壓力表注明的精度為1.5級(jí)，則表明該壓力表的絕對(duì)誤差為最大量程的1.5%;若最大量程為0.4MPa，則該壓力表的絕對(duì)誤差為 0.4X1.5%=0.006Mpa。2 相對(duì)誤差（relative error）雖然在一定條件下絕對(duì)誤差能反映試驗(yàn)值的準(zhǔn)確程度， 但是不全面。例如, 兩城市之間的距離為200450m,若測(cè)量的絕對(duì)誤差為2m,則準(zhǔn)確度很高。但是 2m的絕對(duì)誤差對(duì)于人的身高而言是不允許的。 所以，為了判斷試驗(yàn)值的準(zhǔn)確性， 還必須考慮試驗(yàn)值本身的大小。絕對(duì)誤差與真值之比稱為相對(duì)誤差(relative error),

11、即Er =蘭（ 1-14）XtXt與絕對(duì)誤差相同，相對(duì)誤差Er也不能準(zhǔn)確求出，但可估計(jì)其大小，即ErAx n送 X2 （送 X）2 =Y 嚴(yán)（1-18）在實(shí)際科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，試驗(yàn)次數(shù)都是有限的，于是標(biāo)準(zhǔn)誤差又稱為樣本標(biāo)準(zhǔn) 差，即卩Is (x 寸(Z Xi2丄( Xi)2 “匕亠一(1-19) n_11n_l標(biāo)準(zhǔn)差不但與一組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，而且對(duì)其中較大或較小的誤差 很敏感，能明顯反映出較大的個(gè)別誤差。它常用于表示試驗(yàn)值的精密度，標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明試驗(yàn)數(shù)據(jù)精度越高。第三節(jié)誤差的分類根據(jù)其性質(zhì)或產(chǎn)生的原因，誤差可分為隨機(jī)誤差(ran dom/cha nee error)、 系統(tǒng)誤差(systema

12、tic erro)和過(guò)失誤差(mistake error)1隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是指在一定試驗(yàn)條件下，以不可預(yù)知的規(guī)律變化的誤差，即多次 試驗(yàn)值的絕對(duì)誤差時(shí)正時(shí)負(fù)，絕對(duì)誤差的絕對(duì)值時(shí)大時(shí)小。隨機(jī)誤差的出現(xiàn)一般具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，大多服從正態(tài)分布，即絕對(duì)值小的誤 差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，而且絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù) 近似相等。因此，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，誤差的平均值趨向于零。所以可通過(guò) 增加試驗(yàn)次數(shù)減小隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差是由于試驗(yàn)過(guò)程中的一系列偶然因素造成的， 如儀器的輕微振動(dòng)、 電壓的微小波動(dòng)等。這些因素?zé)o法嚴(yán)格控制，因此隨機(jī)誤差不可完全避免。2系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在一定試驗(yàn)條件下，由某些

13、因素按照某一確定規(guī)律起作用而 形成的誤差。系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)在同一試驗(yàn)中是恒定的，或在試驗(yàn)條件改變時(shí)按照 某一規(guī)律變化。一旦試驗(yàn)條件確定，客觀上系統(tǒng)誤差就是一個(gè)恒定值，它不能 通過(guò)多次試驗(yàn)被發(fā)現(xiàn)，也不能通過(guò)取多次試驗(yàn)值得平均值而減小。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有：1)儀器刻度不準(zhǔn)，砝碼未經(jīng)校正等；2)試劑不純, 質(zhì)量不符合要求；3)周圍環(huán)境的改變?nèi)缤饨鐪囟?、壓力、濕度的變化等?)個(gè)人的習(xí)慣與偏向如讀取數(shù)據(jù)常偏高或偏低，記錄某一信號(hào)的時(shí)間總是滯后， 判定滴定終點(diǎn)的顏色程度各人不同等等因素所引起的誤差?？梢杂脺?zhǔn)確度一詞 來(lái)表征系統(tǒng)誤差的大小，系統(tǒng)誤差越小，準(zhǔn)確度越高，反之亦然。3過(guò)失誤差又稱粗大誤差，

14、與實(shí)際明顯不符的誤差，主要是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大意所致， 如讀錯(cuò)，測(cè)錯(cuò)，記錯(cuò)等都會(huì)帶來(lái)過(guò)失誤差。含有粗大誤差的測(cè)量值稱為壞值， 應(yīng)在整理數(shù)據(jù)時(shí)依據(jù)常用的準(zhǔn)則加以剔除。綜上所述，我們可以認(rèn)為系統(tǒng)誤差和過(guò)失誤差總是可以設(shè)法避免的，而偶然 誤差是不可避免的，因此最好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該只含有偶然誤差。第四節(jié) 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度誤差的大小可反映試驗(yàn)結(jié)果的好壞，但其可能是由于隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差 單獨(dú)造成的，也可能是兩種誤差疊加造成的。為了說(shuō)明這一問(wèn)題，引入了精密 度、正確度和準(zhǔn)確度三個(gè)術(shù)語(yǔ)。1 精密度(Precision)1.1定義精密度反映了隨機(jī)誤差大小的程度，是指在一定試驗(yàn)條件下，多次試驗(yàn)值 的彼此符合程度或一

15、致程度。精密度與重復(fù)試驗(yàn)時(shí)單次試驗(yàn)值的變動(dòng)性有關(guān)，如果試驗(yàn)數(shù)據(jù)分散程度較 小，則說(shuō)明精密度較高。例如，甲乙兩人對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行測(cè)量，得到兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：甲為1.45、1.46、 1.45、1.44,乙為1.39、1.45、1.48、1.50。顯然，甲數(shù)據(jù)的彼此符合程度要高于 乙，因此甲數(shù)據(jù)的精密度較高。1.2精密度的判斷參數(shù)（1）極差（range）極差是指一組試驗(yàn)值中最大值與最小值的差值。即R = Xmax xmin(1-20)雖然極差反映隨機(jī)誤差的精度不高，但是因?yàn)橛?jì)算方便，所以應(yīng)用廣泛。（2）標(biāo)準(zhǔn)差若隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，則可用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)反映隨機(jī)誤差的大小。標(biāo)準(zhǔn)差 分別用公式（1-18）和（1-

16、19）來(lái)計(jì)算。由公式可知，標(biāo)準(zhǔn)差的大小反映了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分散程度，C或s越小，則數(shù)據(jù)的分散性越低，精密度越高，隨機(jī)誤差越小，正態(tài)分布曲線也越尖。（3）方差（varianee）方差即為標(biāo)準(zhǔn)差的平方，可用總體方差2或樣本方差s2表示。2 正確度（truenesS2.1正確度定義正確度是指大量測(cè)試結(jié)果的（算術(shù)）平均值與真值或參照值之間的一致程 度。它反映了系統(tǒng)誤差的大小，是指在一定試驗(yàn)條件下，所有系統(tǒng)誤差的綜合。第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 2.2正確度與精密度的關(guān)系由于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差，因此對(duì)于某一組試驗(yàn)數(shù) 據(jù)而言，精密度高并不意味著正確度

17、也高；精密度不好，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，也可 得到較好的正確度。如圖1-1所示。3 準(zhǔn)確度（accuracy）準(zhǔn)確度反映了系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合，表示試驗(yàn)結(jié)果與真值或標(biāo)準(zhǔn)值 的一致程度。A、B、C的正如圖1-2所示，假設(shè)A、B、C三個(gè)試驗(yàn)都無(wú)系統(tǒng)誤差，試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài) 分布，而且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)真值，則 A、B、C的精密度依次降低；由于無(wú)系統(tǒng)誤 差，三組數(shù)據(jù)的極限平均值（試驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮多時(shí)的算術(shù)平均值）均接近真值， 即它們的正確度是一樣的；如果將精密度和正確度綜合起來(lái)，則 確度依次降低。如圖1-3所示，假設(shè)A、B、C三個(gè)試驗(yàn)都有系統(tǒng)誤差，試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正 態(tài)分布，而且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)真值，則 A、B、C的精密度

18、依次降低；由于有系 統(tǒng)誤差，三組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的極限平均值與真值不符，所以它們是不準(zhǔn)確的。但是， 如果考慮精密度因素，則圖1-3中A的大部分試驗(yàn)值可能比圖1-2中的B和C 的試驗(yàn)值要準(zhǔn)確。第五節(jié)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)1隨機(jī)誤差的檢驗(yàn)隨機(jī)誤差的大小可通過(guò)精密度來(lái)反映， 精密度的好壞又可通過(guò)方差來(lái)衡量, 所以，通過(guò)方差檢驗(yàn)可判斷各試驗(yàn)方法或試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)誤差之間的關(guān)系。1.1檢驗(yàn)廠檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）適用于一個(gè)總體方差的檢驗(yàn)，即在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總體方 差已知的情況下，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差或精密度進(jìn)行檢驗(yàn)。有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)X1、X2、 、Xn服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量(a=0.01 或服從自由度為df =n1的72分布，對(duì)于給

19、定的顯著性水平0.05）,由廠分布表查得臨界值/（df），將計(jì)算出的 廠與/2（df）進(jìn)行比較，就 可判斷兩平方差之間有無(wú)顯著差異。雙側(cè)（尾）檢驗(yàn)時(shí)，若，可判斷該組數(shù)據(jù)的方差與原總體0號(hào)）2方差無(wú)顯著差異；反之，則有顯著差異。單側(cè)（尾）檢驗(yàn)時(shí)，若/,（df），/2 df，則可判斷該組數(shù)據(jù)的方差與原總體方差無(wú)顯著增大，0詈）反之則有顯著增大，此為右側(cè)（尾）檢驗(yàn)。如圖1-4為雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的關(guān)系。例題1-5用某分光光度計(jì)測(cè)定某樣品中 AI3+的濃度，正常情況下的測(cè)定方差為壬0.152。分光光度計(jì)檢修后，用它測(cè)定同樣的樣品，測(cè)得AI3+的濃度分別為:0.142，0.156, 0.145, 0.1

20、76, 0.159, 0.165。試問(wèn)儀器檢修后的穩(wěn)定性是否有了顯著變化？ （ a= 0.05）解：這里的 穩(wěn)定性”實(shí)際反映的是隨機(jī)誤差的大小，檢修后試驗(yàn)結(jié)果的樣本方差比正常情況下的方差顯著變大或變小，都認(rèn)為儀器穩(wěn)定性有了顯著變化， 可用72雙側(cè)檢驗(yàn)。根據(jù)已知條件，s2=0.000135220.1522=(2 =(7-I!00135 =0.036c由n=7, df=6, a=0.05,查表得/雋厶=1.237，/爲(wèi)厶=14.449，可見(jiàn)/2 落在（1.237, 14.449）區(qū)域之外，所以儀器檢修后穩(wěn)定性有顯著變化。1.2 F檢驗(yàn)X1n和X21、X22、X2m，其都服從正態(tài)分布,F檢驗(yàn)（F-t

21、est）適用于兩組具有正態(tài)分布的試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的精密度的比較。 設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：X11、X12、樣本方差分別為S12和S22，則2=S (1-28)S2服從第一自由度df1 = n-1,第二自由度df2 =m-1的F分布（F-distribution）（附表2）,對(duì)于給定的顯著性水平，將所計(jì)算的F值與臨界值F（df1, df2）比較，即可檢驗(yàn)結(jié)論。雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若F ot（df1,df2Fx（df1，df2），則判斷該組數(shù)據(jù)的方差與（ T-）22原總體方差無(wú)顯著差異，否則有顯著差異。單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若FV1，且F F（iq（dfi，df2），貝U判斷方差1比方差2無(wú)顯著減小，否則有顯著減小，此為左側(cè)檢驗(yàn)

22、；若F1，且F c Fa（dfi，df2），則判斷方差1比方差2無(wú)顯著增大，否則有顯著增大，此為右側(cè)檢驗(yàn)。例題1-7用原子吸收光譜法（新法）和 EDTA （舊法）測(cè)定某廢水中AI3+的含 量（%），測(cè)定結(jié)果如下：新法：0.163、0.175、0.159、0.168、0.169、0.161、0.166、0.179、0.174、 0.173;舊法：0.153、0.181、0.165、0.155、0.156、0.161、0.176、0.174、0.164、0.183、0.179。試問(wèn)：兩種方法的精密度是否有顯著差異？新法是否比舊法的精 密度有顯著提高？ （=05）解：依據(jù)題意，采用F雙側(cè)檢驗(yàn)。根據(jù)試

23、驗(yàn)值計(jì)算兩種方法的方差及F值:S12=3.86 X05，S22=1.11 W4F 4=3=0.348 s|1.11X104根據(jù)顯著性水平 =0.05，dfi = n-1=10-1=9，df2 =m-1 =11-1 = 10，查F 分布表得爭(zhēng)(df1,df2)= F0.975(9,10)=0.252 ,甩供? ) = F0.25(9,10) = 3.779。因?yàn)镕o.975（9,1O2）Fo.95（9,1O），所以新法相對(duì)舊法的精密度沒(méi)有顯著提高。2系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)我們知道，相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)并不能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)系 統(tǒng)誤差，必須進(jìn)行檢驗(yàn)，以便及時(shí)減小或消除系統(tǒng)誤差，提高試驗(yàn)的正確度。

24、若試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與真值的差異較大，就認(rèn)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)的正確度不高， 試驗(yàn)數(shù)據(jù)和試驗(yàn)方法的系統(tǒng)誤差較大，所以對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí) 際上就是對(duì)系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)。2.1 t檢驗(yàn)法 2.1.1平均值與給定值比較設(shè)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，要檢驗(yàn)其是否與給定值有顯著差異，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從自由度df=n-1的t分布（t-distribution）（附錄3），式中，x 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值;sn（ n30）個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；e給定值（可以為真值、期望值或標(biāo)準(zhǔn)值）根據(jù)給定的顯著性水平a,將計(jì)算得到的t值與臨界值to比較，即可得到檢 驗(yàn)結(jié)論。雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若t 切2，則判斷該組數(shù)據(jù)的平均值與給定值無(wú)顯

25、著差異,否則有顯著差異。單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若t0,且tvtu，則判斷該組數(shù)據(jù)的平均值與給定值無(wú)顯著增大，否則有顯著增大，此為右側(cè)檢驗(yàn)。例題1-8為了判斷某種新型快速水分測(cè)定儀的可靠性，測(cè)試了某濕基含水率為7.5%的標(biāo)準(zhǔn)樣品，5次測(cè)量結(jié)果（）分別為：7.6、7.8、8.5、8.3、8.7。對(duì)于給定的顯著性水平a=0.05,試檢驗(yàn)：該儀器的測(cè)量結(jié)果是否存在顯著的系統(tǒng)誤 差？該儀器的測(cè)量結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)值是否明顯偏大？解：第一問(wèn)題屬于雙側(cè)檢驗(yàn)，第二問(wèn)題屬于單側(cè)檢驗(yàn)。依據(jù)題意，X =8.2 , s=0.47,則，注亦=佇空朋=3.3S0.47根據(jù)顯著性水平a=0.05, df=5-1=4,由t分布單側(cè)分位數(shù)表得t

26、o.o25（4）=2.776, to.o5 =2.132。因?yàn)閠 t0.05（4）=2.132，所以測(cè)量結(jié)果有顯著的系統(tǒng)誤差因?yàn)閠 t0.025（4）=2.776,所以新儀器的測(cè)量結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)值有明顯偏大。2.1.2兩個(gè)平均值的比較設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：X11、X12、X1n和X21、X22、X2m，其都服從正態(tài)分布， 其方差分別為S12和S22。根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的方差是否存在顯著差異，分別以下面 兩種情況進(jìn)行分析。（1）兩組數(shù)據(jù)的方差無(wú)顯著差異統(tǒng)計(jì)量服從自由度df=n+m-2的t分布，t=4嚴(yán)(1-30)S V n + m式中，S兩組數(shù)據(jù)的合并標(biāo)準(zhǔn)差,sVWmh(1-31)（2）兩組數(shù)據(jù)的方差有顯著差異統(tǒng)

27、計(jì)量服從自由度為df的t分布,t_ X1 -X22宜+魚(yú)Y n m22(宜+魚(yú))2nm(1-32)df =（S2/n）2 亠（s；/m）n+1m + 1根據(jù)給定的顯著性水平a,將計(jì)算得到的t值與臨界值t比較。雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若|t|tg，可判斷兩平均值無(wú)顯著差異；反之則有顯著差異。22 (1-33)左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若t0，且t 0,且tvta，判斷Xi較X2無(wú)顯著增大；反之有顯著增大。例題1-9用烘箱法和一種快速水分測(cè)定儀測(cè)定某樣品的含水量，測(cè)量結(jié)果（%）如下：烘箱法：12.2，14.7，18.3，14.6，18.6快速水分測(cè)定儀：17.3，17.9，16.3, 17.4，17.6, 16.9，17.

28、3對(duì)于給定的顯著性水平a=0.05,試問(wèn)這兩種方法是否存在系統(tǒng)誤差？解：首先判斷兩組數(shù)據(jù)的方差是否存在顯著差異。根據(jù)計(jì)算 Q Q人=15.7 , si=7.41 ； X2 =17.2 , 82 =0.266。故卩?益=27.8根據(jù)自由度 df1=5-1=4, df2=7-1=6,=0.05,查 F 分布表得 甘 ）=4.533F, 故兩平均值之間存在顯著差異。進(jìn)行t檢驗(yàn)X X22m2 2(2)2n mdf 2222(S2/n)2 十(sf/m)2n+1m+1(7.41/5 + 0.266/7)2.E 242 _ (7.41/5)2 十(0.266/7)5+17 + 1查t分布表的t0.025=

29、2.776,故t to.o25（4），即兩平均值之間無(wú)顯著差異。所以兩種測(cè)定方法不存在系統(tǒng)誤差。2.1.3成對(duì)數(shù)據(jù)的比較在這種檢驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都是成對(duì)出現(xiàn)的，除了被比較的因素之外，其它 條件相同。成對(duì)數(shù)據(jù)的比較，是將成對(duì)數(shù)據(jù)之差的總體平均值，與某指定值進(jìn)行比較。 采用統(tǒng)計(jì)量為t=寧妬（1-34）式中，do可取零或給定值;d 成對(duì)測(cè)定值之差的算術(shù)平均值，即nn_ S (Xi X) z did=(1-35)nnSd是n對(duì)試驗(yàn)值之差值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即nI n彳 n(di -d)2Z di2丄任 di)2Sd (1-36)t nH n1上述t服從自由度為df=n-1的t分布。對(duì)于給定的顯著性水平0（,

30、如果twQ 則成對(duì)數(shù)據(jù)之間不存在顯著的系統(tǒng)誤差；否則，兩組數(shù)據(jù)之間存在顯著地系統(tǒng) 誤差。需要指出的是，成對(duì)試驗(yàn)的自由度為n-1時(shí)，而分組試驗(yàn)時(shí)的自由度為n1+n2-1,后者自由度較大，所以統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的靈敏度較高。一般地，當(dāng)所研究因 素的效應(yīng)比其它因素的效應(yīng)大得多時(shí)，或其它因素可嚴(yán)格控制時(shí)，采用分組試 驗(yàn)法比較合適；否則，可采用成對(duì)試驗(yàn)法。例題1-10用兩種方法測(cè)定某水劑型鋁粉膏的發(fā)氣率，測(cè)得4分鐘發(fā)氣率（%）的數(shù)據(jù)如下：方法 1： 44, 45, 50, 55, 48, 49, 53, 42方法 2： 48, 51, 53, 57, 56, 41, 47, 50 試冋兩種方法之間是否存在系統(tǒng)誤差

31、（ct=0.05）?-2，-8, 8, 6, -8,故解：按成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，則di分別為-4, -6, -3,d =2.125，Sd =6.058。若兩種方法之間無(wú)系統(tǒng)誤差，則可設(shè)do=o,故，匕喬屈一 0.992sd6.058to.o25(7)=2.365,所以,當(dāng)df=8-1=7時(shí)，對(duì)于給定的a=0.05,查t分布表得 t t空。2故兩種方法的正確度是一樣的。2.2秩和檢驗(yàn)法（Rank sum tes）但在實(shí)際工作中,前面介紹的檢驗(yàn)方法往往要求試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有正態(tài)分布，有時(shí)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布并不清楚。而秩和檢驗(yàn)法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來(lái)自正態(tài) 總體并不作嚴(yán)格的規(guī)定，并且計(jì)算簡(jiǎn)單，即可用于定量指標(biāo)的

32、檢驗(yàn)，也可用于 定性指標(biāo)的檢驗(yàn)。如用來(lái)檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)或兩種試驗(yàn)方法之間是否存在系統(tǒng)誤差、 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析(講稿) 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析(講稿) 兩種方法是否等效等。設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：X1、X2、Xn1和X1、X2、Xn2，其中n1和門2 分別是兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，且n1 T2或R1VT1，則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異， 否則無(wú)顯著差異。例題1-11設(shè)甲、乙兩組測(cè)定值為：甲：8.6，10.0, 9.9, 8.8, 9.1, 9.1;乙：8.7, 8.4, 9.2, 8.9, 7.4, 8.0, 7.3, 8.1, 6.8。已知甲組數(shù)據(jù)無(wú)系統(tǒng)誤差，試用秩和 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)乙組數(shù)據(jù)是否有系統(tǒng)誤差(a=0

33、.05)。解：先求出各數(shù)據(jù)的秩，如表1-2所示。表1-2例題1-11兩組數(shù)據(jù)的秩對(duì)于a=0.05,查秩和臨界值表，得 Ti=33, T2=63。故RiT2，所以兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組測(cè)定值有系統(tǒng)誤差。注意：進(jìn)行秩和檢驗(yàn)時(shí)，如果幾個(gè)數(shù)據(jù)相等，則它們的秩也應(yīng)該相等，等 于相應(yīng)幾個(gè)秩的算術(shù)平均值。如兩個(gè) 9.1的秩都是11.5。3異常值的檢驗(yàn)在整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，往往會(huì)遇到這樣的情況，即在一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)里，發(fā)現(xiàn) 少數(shù)幾個(gè)偏差特別大的可疑數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)又稱為離群值(outlier )或異常值(exceptional data，它們往往是由于過(guò)失誤差引起的。對(duì)于偏差大的異常數(shù)據(jù)的取舍一定要慎重，一般處理原則

34、為：在試驗(yàn)過(guò)程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)停止試驗(yàn)，分析原因，及時(shí)糾正(1)試驗(yàn)結(jié)束后，在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)先找出產(chǎn)生誤 并對(duì)其進(jìn)行取舍。錯(cuò)誤；(2)差的原因，(3)在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如果不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù) 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。常用統(tǒng)計(jì)方法有：拉伊達(dá)檢驗(yàn)法、格拉布斯檢驗(yàn)法、狄克遜檢 驗(yàn)法等。如果數(shù)據(jù)較少，可重做一組數(shù)據(jù)。下面介紹三種可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法。3.1拉伊達(dá)檢驗(yàn)法如果可疑數(shù)據(jù)Xp與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值x的偏差的絕對(duì)值dp大于三倍或兩倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即dp=Xp - 3s或2s (1-37)則應(yīng)將Xp從中剔除。至于選擇3s還是2s與顯著性水平有關(guān)。3s相當(dāng)于顯著性水平

35、a=0.01, 3s 相當(dāng)于顯著性水平a=0.05。例題 1-12 有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：0.128, 0.129, 0.131, 0.133, 0.135, 0.138, 0.141, 0.142，0.145, 0.148, 0.167,問(wèn)偏差較大的 0.167是否應(yīng)被舍去？ ( a =0.01)解：(1)計(jì)算包括可疑數(shù)據(jù)0.167在內(nèi)的平均值X及標(biāo)準(zhǔn)偏差sX =0.140, s=0.0112計(jì)算dp和3sdp=Xp -X =0.167-0.140 =0.02738=3X).0112=0.0336比較dp和3sdp G(a,n)s (1-38)應(yīng)將Xp從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中剔除。其中，G(a,n)S稱為格拉

36、布斯檢驗(yàn)臨界值，如附錄 5所示。例題1-13用容量法測(cè)定某樣品中的錳，8次平行測(cè)定數(shù)據(jù)為：10.29、10.33、10.3 8、10.40、10.43、10.46、10.52、10.82，試問(wèn)是否有異常數(shù)據(jù)應(yīng)被剔除？ (0=0.05)解：該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為X =10.45，其中10.82偏大，故應(yīng)首先檢驗(yàn)該數(shù)值。檢驗(yàn) 10.82計(jì)算包括可疑數(shù)據(jù)10.82在內(nèi)的平均值X及標(biāo)準(zhǔn)偏差sX =10.45, s=0.16;查附錄 5,得 G(0.05,8)=2.03,所以 G(a,n)s=2.03 .16=0.32dp=Xp -X= 10.82-10.網(wǎng)=0.37 0.32所以，10.82應(yīng)被剔除。

37、(2)檢驗(yàn) 10.45剔除10.82后，10.52偏差最大，故應(yīng)檢驗(yàn)之。重新計(jì)算平均值X及標(biāo)準(zhǔn)偏差sX =10.40，s=0.078;查附錄 5,得 G(0.05,7)=1.94,所以 G(a,n)s=1.94 .078=0.15dp=Xp -X =10.52-10.40= 0.12*0.15故10.52不應(yīng)被剔除。3.3狄克遜檢驗(yàn)法3.3.1單側(cè)情況基本步驟如下：將n個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，得到X1 % Xn-1D1-a(n)，判斷Xn為異常值；檢驗(yàn)低端值時(shí)，當(dāng) DD1-o(n)，判斷X1為異常值；否則，判斷沒(méi)有異常值。3.3.2雙側(cè)情況根據(jù)表1-3，計(jì)算D或D。對(duì)于給定的顯著性水平

38、S在狄克遜檢驗(yàn)法雙側(cè)臨界值表(附錄 6) 中查出對(duì)應(yīng)的n和a的雙側(cè)臨界值D1(n)。(3)當(dāng) DD，DD1p(n)，判斷 Xn 為異常值；當(dāng) DD，D Dj.n)，判 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（講稿） 斷X1為異常值；否則，判斷沒(méi)有異常值。例題1-14試驗(yàn)數(shù)據(jù)與例題1-12相同，試用狄克遜檢驗(yàn)法判斷 0.167是否被剔 除？（ a=0.05）解：n=11，從小到大的順序分別為：0.141、0.142、0.145、0.148、0.167。0.1670.128、0.129、0.131、0.133、根據(jù)題意，0.135、0.138、（1）單側(cè)檢驗(yàn)D = x=0.16

39、7 _0.1：9 =0.579 D（1 如11）=0.576所以判斷0.167應(yīng)被剔除。（2）雙側(cè)檢驗(yàn)0.167X3 Xid=0.579。二二13150查附錄6的雙側(cè)臨界值表，得D1-0.05（11） =0.619因?yàn)镈D, DvD1.a（n），故判斷0.167應(yīng)保留。由例題1-14可知，應(yīng)用不同的檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)同樣的數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)于相同的顯 著性水平，可能的得到不同的結(jié)論。這種情況往往出現(xiàn)在那些處于臨界剔除的 數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)中。4注意事項(xiàng)使用上述三種檢驗(yàn)方法時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)逐一檢驗(yàn)，不能同時(shí)檢驗(yàn)多個(gè)數(shù)據(jù)。這是因 為不同數(shù)據(jù)的可疑程度是不一致的，應(yīng)按照 X偏差的大小順序來(lái)

40、檢驗(yàn)。首先檢 驗(yàn)偏差最大的數(shù)據(jù)，如果該數(shù)據(jù)不被剔除，則其它所有數(shù)據(jù)也不應(yīng)被剔除。（2）單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，剔除一個(gè)數(shù)據(jù)后，如果還要檢驗(yàn)下一個(gè)數(shù)據(jù)，則應(yīng)注意 數(shù)據(jù)總數(shù)發(fā)生了變化。（3）用不同的方法檢驗(yàn)同一組數(shù)據(jù)，在相同的顯著性水平上，可能得到的 結(jié)論不一樣。5三種檢驗(yàn)方法的應(yīng)用當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，使用拉伊達(dá)檢驗(yàn)法最簡(jiǎn)單；但當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少時(shí)，不 能應(yīng)用；格拉布斯檢驗(yàn)法和狄克遜檢驗(yàn)法都能適用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少時(shí)的檢驗(yàn)。但是 總的來(lái)數(shù)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)越多，可疑數(shù)據(jù)被錯(cuò)誤剔除的可能性越小，準(zhǔn)確性越高。第六節(jié)有效數(shù)字和試驗(yàn)結(jié)果的表示1有效數(shù)字用實(shí)驗(yàn)儀器直接測(cè)量的數(shù)值都會(huì)有一定誤差，因此，測(cè)量的數(shù)據(jù)都只是近 似數(shù)，由這些數(shù)據(jù)通

41、過(guò)計(jì)算所得的間接測(cè)量也是近似數(shù)。顯然，幾個(gè)近似數(shù)的 運(yùn)算不可能使結(jié)果更為準(zhǔn)確，而只會(huì)增大其誤差，因此，近似數(shù)的表示和計(jì)算 都有一定規(guī)則，以便確切地表示記錄和運(yùn)算結(jié)果的近似性。能夠代表一定物理量的數(shù)字稱為有效數(shù)字（sig ni fica nee figure）。把通過(guò)直讀獲得的準(zhǔn)確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；把通過(guò)估讀得到的那部分?jǐn)?shù)字 叫做存疑數(shù)字。把測(cè)量結(jié)果中能夠反映被測(cè)量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效 數(shù)字。試驗(yàn)數(shù)據(jù)總是以一定位數(shù)的數(shù)字來(lái)表示，這些數(shù)字都是有效數(shù)字，其末位 數(shù)往往是估計(jì)出來(lái)的，具有一定的誤差。比如，用天平測(cè)得某樣品的質(zhì)量是 1.5687g,共有4位有效數(shù)字，其中1.568g是通

42、過(guò)所加砝碼標(biāo)值直接讀得的，她 們都是準(zhǔn)確的，稱為可靠數(shù)字；最后一位數(shù)字“7”是估計(jì)出來(lái)的，是存疑數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗(yàn)的精度或表示所用試驗(yàn)儀器的精度，所以不能 隨便多寫(xiě)或少寫(xiě)。多寫(xiě)一位有效數(shù)字，則該數(shù)據(jù)不真實(shí)，因而也不可靠；少寫(xiě) 一位有效數(shù)字，則損失了試驗(yàn)精度，實(shí)質(zhì)上是對(duì)該數(shù)據(jù)所用高精度儀器的浪費(fèi)。數(shù)據(jù)中小數(shù)點(diǎn)的位置不影響有效數(shù)字的位數(shù)。例如，50mm、0.050m、5.0X10Vm，這三位數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度都是相同的，它們的有效數(shù)字都是 2位。所以 常用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示較大或較小的數(shù)據(jù)，而不影響其有效數(shù)字的位數(shù)。數(shù)字“0”是否是有效數(shù)字，取決于它在數(shù)據(jù)中的位置。一般，第一個(gè)非0數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字，而第一個(gè)非0數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)字。例如，數(shù)據(jù)29mm和29.00mm并不等價(jià)，前者有效數(shù)字是2位，后者有效數(shù)字是4位。 又如，如某物重0.802000千克，第一個(gè)零不是有效數(shù)字，同數(shù)中后面四個(gè)“0”都是有效數(shù)字。在計(jì)算有效數(shù)字位數(shù)時(shí)，如果第一位數(shù)字等于或大于8，則可多計(jì)一位。例如，9.99實(shí)際只有3位有效數(shù)字，但可認(rèn)為其有4位有效數(shù)字。2有效數(shù)字的運(yùn)算（1）加減運(yùn)算在加減運(yùn)算中，加減結(jié)果的位數(shù)應(yīng)與其中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的相同。例如，25.42+31.454+16.5,計(jì)算方法如下：25.