2021年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)2.1變化的快慢與變化率課件4北師大版選修2-2

1、第一節(jié)變化的快慢與變化率引言 為了描寫(xiě)運(yùn)動(dòng)變化著的現(xiàn)象，我們引入了函數(shù)，刻畫(huà)靜態(tài)的數(shù)與動(dòng)態(tài)的函數(shù)都是數(shù)學(xué)中很重要的概念，隨著對(duì)函數(shù)的研究的不斷深化，產(chǎn)生了微積分，它是數(shù)學(xué)開(kāi)展史上繼歐式幾何后的又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑。 而導(dǎo)數(shù)，是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大小值等問(wèn)題的最一般、最有效的工具。 本章我們將討論導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生及其運(yùn)算。問(wèn)題： 物體從某一時(shí)刻開(kāi)場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè) 表示此物體經(jīng)過(guò)時(shí)間 走過(guò)的路程，顯然 是時(shí)間 的函數(shù)，表示為 。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，測(cè)得如下數(shù)據(jù)： 物體在02s和1013s這兩段時(shí)間內(nèi)，哪一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快？分析：比較運(yùn)動(dòng)的快慢，一般用

2、平均速度來(lái)刻畫(huà)。在02s內(nèi)，平均速度為： 在1013s內(nèi)，平均速度為： 顯然，在這兩段時(shí)間內(nèi)，后一段時(shí)間比前一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快些。 從時(shí)間 到 時(shí)，物體的路程從 變?yōu)?，這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：用一段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度 來(lái)刻畫(huà)物體運(yùn)動(dòng)的快慢記為函數(shù)值變化量，記作s自變量變化量，記作t某病人吃完藥，他的體溫變化如圖示： 比較時(shí)間 從0到20min和從20到30min體溫的變化情況，那段時(shí)間體溫變化較快？如何刻畫(huà)體溫變化的快慢？分析： 時(shí)間從0變到20min時(shí)，單位時(shí)間的體溫平均變化率為：從20變到30min時(shí)，平均變化率為： 顯然，絕對(duì)值大，下降的越快，即后一段時(shí)間降得快。用一段時(shí)間內(nèi)體溫的平均

3、變化率刻畫(huà)體溫變化的快慢 時(shí)間從 變?yōu)?時(shí)，體溫從 變?yōu)?，體溫的平均變化率函數(shù)值變化量y自變量變化量x概括 函數(shù) ，自變量從 變?yōu)?時(shí)，函數(shù)的平均變化率為： 我們用它來(lái)刻畫(huà)函數(shù)在區(qū)間 上，函數(shù)值變化的快慢。實(shí)際中，我們還要考慮物體的瞬間速度，如汽車(chē)在某時(shí)刻的速度，它與平均速度有關(guān)系么？ 例1 一小球從高空自由落下，其路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為 試估計(jì)小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度。分析：由公式可知：從5s到6s球的平均速度為： 為提高準(zhǔn)確度，可以將時(shí)間間隔縮小至，0.001當(dāng)時(shí)間 時(shí)，平均速度所以小球在 的瞬時(shí)速度為 。即：假設(shè)球保持這一刻的速度運(yùn)動(dòng)，每秒將運(yùn)動(dòng) 。 例2 一根質(zhì)量分布不均

4、勻的合金棒，長(zhǎng)為10m，x表示OX這段棒的長(zhǎng)，y表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足關(guān)系：估計(jì)合金棒在x=2m處的線密度。分析： 我們用 到 的平均線密度來(lái)估計(jì) 處合金棒的線密度。 同樣地，為了提高精確度，可取原長(zhǎng)度的 ， ， ， 所取長(zhǎng)度越小，則平均線密度就越接近合金棒在 m處的線密度。解：（ ）則合金棒在 m處的線密度為 。（ ）概括思考：瞬時(shí)變化率與平均變化率有什么關(guān)系？ 對(duì)于函數(shù) ，在自變量 從 變到 時(shí)，函數(shù)的平均變化率為：時(shí)，平均變化率就趨于函數(shù)在 處的瞬時(shí)變化率，它刻畫(huà)的是函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢。動(dòng)手做一做1. 求 在 到 之間的平均變化率。2. 求 在 到 之間的平均變化率。3. 一物體作直線運(yùn)動(dòng)，其位移 與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系是 ， 求此物體 到 時(shí)的平均速度和 時(shí)刻的瞬時(shí)速度。 函數(shù) 的平均變化率：刻畫(huà)在區(qū)