函數(shù)的極值與最大值最小值課件

1、2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值二、函數(shù)的最大值和最小值一、函數(shù)的極值1. 函數(shù)極值的定義xOyab2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值定義1函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值是函數(shù)就稱(chēng)均成立外除了點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值是函數(shù)就稱(chēng)均成立外除了點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是內(nèi)有定義在區(qū)間設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值 函數(shù)的極大值、極小值 是局部

2、的. 在一個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個(gè)極值，在整個(gè)定義域上，某一點(diǎn)的極大值，甚至可能小于極小值. 最大值與最小值,只是一點(diǎn)附近的xyO極大值極小值注2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值2. 極值的必要條件極值,定理1（必要條件）證明略. (費(fèi)馬引理)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例如，注 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但反過(guò)來(lái)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)； 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).xyO例如，0是駐點(diǎn)，但在(0,0)函數(shù)無(wú)極值在(0,0)取得極小值，但0點(diǎn)不可導(dǎo)2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值定理2(第一充分條件)則為極大值則不是極值.(極小值);3. 極值的充分條件x0

3、的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在 左側(cè)附近，有 而在 右側(cè)附近，有2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值求極值的步驟:及不可導(dǎo)點(diǎn)；;判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)，)()3(檢查xf0)()2(的根求駐點(diǎn)，即方程=xf);()1(xf求導(dǎo)數(shù).)4(求極值2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例1求函數(shù) 的極值.解得駐點(diǎn)在的左右兩側(cè)附近，因此 不是極值.在點(diǎn)左側(cè)，當(dāng) 時(shí)，在的右側(cè)，當(dāng) 時(shí)，因此 是極小值.2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例2解因此,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值定理3 (第二充分條件)證 (1)因此,當(dāng)充分小時(shí),由極限的保號(hào)性,可見(jiàn),與異號(hào).所以,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值定

4、理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒(méi)有極值.例如,分別有極大值，極小值，無(wú)極值.注2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例3解得駐點(diǎn)2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值xOyab二、函數(shù)的最大值和最小值閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值 ，最大值和最小值可以在區(qū)間的端點(diǎn)達(dá)到，也可以在區(qū)間內(nèi)部達(dá)到.2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值(1)其中最大(小)者就是 f (x)在a, b上的最大(小)值. 求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值的方法:將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(2)點(diǎn)處達(dá)到.處的函數(shù)值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值 f (a), f (b

5、)比較, 當(dāng) f (x)在閉區(qū)間a, b上單調(diào)時(shí),最值必在端若函數(shù)只有一個(gè)極值，這個(gè)唯一的極值是極大（?。┲?，則這個(gè)極值一定是最大（小）值.(3)2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例4解得駐點(diǎn)比較可知最大值為最小值為2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值對(duì)實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟：(1) 建立目標(biāo)函數(shù);(2) 求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大(小)值.2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例5是產(chǎn)量Q的函數(shù)，且問(wèn)生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？總利潤(rùn)=總收益-總成本 =總收益-固定成本-生產(chǎn)成本某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知

6、總收益R2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值解總利潤(rùn)L=R-U，設(shè)生產(chǎn)的總成本函數(shù)為U，則U=20000+100Q， 只有一個(gè)駐點(diǎn)，而最大值一定存在，此駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為300件時(shí)，總利潤(rùn)最大，為25000元.L(300)=25000，2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值例6 河北滄州地區(qū)種植黑麥草作為飼料，單位土地面積上黑麥草的干物質(zhì)積累量m是積溫w的函數(shù)，而隨著植物的生長(zhǎng)，干物質(zhì)中的蛋白質(zhì)含量的比例逐漸下降，經(jīng)驗(yàn)公式為討論蛋白質(zhì)含量隨積溫變化的情況.2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值解單位土地面積上黑麥草的蛋白質(zhì)含量的比例為此函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算比較復(fù)雜，作近似計(jì)算2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值取令得w = 683，是最大值點(diǎn)，此時(shí)收獲得到的蛋白質(zhì)數(shù)量最多；令得w =493，是增長(zhǎng)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，此時(shí)是蛋白質(zhì)數(shù)量增加最快的階段.2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值內(nèi)容小結(jié)2.9 函數(shù)的單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性1. 函數(shù)的極值（2）極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)；（3）極值的判別方法：第一充分條件，第二充分條件；（1）極值的必要條件；2. 函數(shù)的最值（1）最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)上 ;（3）實(shí)際應(yīng)用題求最值的步驟 .（2）最值是整體概念而極值是局部概念；思考練習(xí)2.9