自回歸系數(shù)的Bootstrap檢驗(yàn)

1、自回歸系數(shù)的Bootstrap檢驗(yàn)作者：韓開山來源：科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)2011年第13期摘要:在自回歸模型中，德賓-沃森(D-W)檢驗(yàn)是一種使用非常廣泛的自回歸系數(shù)檢驗(yàn)。但D- W檢驗(yàn)有一個(gè)很大的限制:當(dāng)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量落入了所謂“不確定域”則無法進(jìn)行檢驗(yàn)。本文利用 Bootstrap重復(fù)抽樣方法對(duì)自回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。蒙特卡羅研究表明，該方法消除了不確定域，改 善了檢驗(yàn)效果。關(guān)鍵詞:BootstrapD-W檢驗(yàn)自回歸系數(shù)中圖分類號(hào):O212.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2011)05(a)-0001-02Bootstrap test of autocorrelationHAN Kai-

2、shan(School of Science,North University of China,ShanxiTaiyuan 030051)Abstract:The Durbin-Watson (D-W) test is one of the most widely used tests for autocorrelation in regression models.The D-W test has,however,an important limitation:the test is inconclusive when the test statistic falls into the s

3、o-called “indeterminate range”. The paper proposes a bootstrap test for autocorrelation.Monte Carlo study shows that the indeterminate range is eliminated with the bootstrap method and the power of the test is impproved.Key words:Bootstrap;D-W test;autocorrelation1引言在回歸模型中，德賓-沃森(D-W)檢驗(yàn)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于自回歸系數(shù)的

4、檢驗(yàn)。但D-W檢驗(yàn)存 在嚴(yán)重的局限性。第一 ,D-W檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)值分布是難以處理的。第二,D-W檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分布依 賴于設(shè)計(jì)矩陣。為克服這個(gè)問題,德賓和沃森給出了 D-W統(tǒng)計(jì)量的上下界和，其分布不依賴于設(shè) 計(jì)矩陣。和是可以被構(gòu)造出來并且應(yīng)用在D-W檢驗(yàn)中的。當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落入所謂的“不確 定域”時(shí)，即落入和之間時(shí)，檢驗(yàn)的目的就無法達(dá)到了。已有多項(xiàng)研究,以消除“不確定域”,并改善 D-W檢驗(yàn)的能力?，F(xiàn)有的研究方法可分為兩類:近似分布法和數(shù)值計(jì)算法。這兩類方法所取得 的成就并不令人滿意。近似分布法對(duì)D-W檢驗(yàn)的能力沒有明顯改善;數(shù)值計(jì)算法又依賴于分布 假設(shè)和設(shè)計(jì)矩陣。本文利用Bootstrap重復(fù)

5、抽樣方法對(duì)自回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn),并說明它的優(yōu)良性質(zhì)。2模型的建立考慮自回歸模型：其中是維向量，是一個(gè)矩陣，是維向量。假設(shè)服從AR(1)模型：其中之間相互獨(dú)立且與獨(dú)立。自回歸系數(shù)檢驗(yàn)的原假設(shè)為,備擇假設(shè)為。D-W檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中，由于的分布依賴于，所以D-W檢驗(yàn)的臨界點(diǎn)不易處理。Durbin和Watson1971年提出 用逼近的分布。Ali 1984年利用皮爾遜分布近似d的分布。數(shù)值計(jì)算方法是直接計(jì)算的的臨界 值,Shively等人在1990年運(yùn)用卡爾曼濾波方法提出一個(gè)更有效率的特征值算法。安斯利等人在 1992年采用新的特征函數(shù)簡化了先前的方法。數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)是可以找到嗔正的”臨界值 點(diǎn)。

6、但臨界值是依賴于誤差估計(jì)的。畢竟較快的計(jì)算方法具有較低的可靠性。另外只有誤差 項(xiàng)具有正態(tài)分布時(shí)，真正的臨界值才能得到。Efron在1979年提出Bootstrap重復(fù)抽樣方法。其基本思想是:給出一組獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)集和 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：從原始數(shù)據(jù)中抽取一 Bootstrap樣本,其中每個(gè)是一個(gè)從中可重復(fù)隨機(jī)抽取的。利用計(jì)算。重復(fù)步驟(1)及(2)次,得到。的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)可以作為的近似分布。Bootstrap方法的有限樣本性質(zhì)是合理的令人滿意的，但是當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)是相互依存時(shí),上述標(biāo) 準(zhǔn)的Bootstrap方法就會(huì)失效。這是因?yàn)樵谧曰貧w模型中，處理的是一組相互依存的數(shù)據(jù)。如果 是自相關(guān)的,重復(fù)抽樣就會(huì)使原始

7、數(shù)據(jù)遭受破壞。有兩個(gè)替代方法可保留原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)性 一種方法是“遞推Bootstrap-，另一種方法是“塊Bootstrap”。如果數(shù)據(jù)相關(guān)結(jié)構(gòu)已知，遞推 Bootstrap方法可以根據(jù)數(shù)據(jù)相關(guān)結(jié)構(gòu)抽取樣本，保持原有數(shù)據(jù)的相關(guān)性。如果相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)未 知，塊Bootstrap通過塊抽樣以保持原始數(shù)據(jù)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)8-10。本文使用遞推Bootstrap方法 和塊Bootstrap方法相結(jié)合的方法，以保留原有數(shù)據(jù)的自相關(guān)性。3模擬模擬的回歸模型為：假設(shè)檢驗(yàn)為：，。取，服從期望為0,方差為1的均勻分布。為一列的時(shí)間序列。本文利用如下的遞推 Bootstrap和塊Bootstrap方法來檢驗(yàn)自回歸系數(shù)

8、：利用最大似然估計(jì)通過方程(1)估計(jì)系數(shù),計(jì)算。利用最大似然估計(jì)通過方程(2)估計(jì)自回歸系數(shù),計(jì)算。利用塊Bootstrap方法對(duì)殘差進(jìn)行重復(fù)抽樣，得Bootstrap殘差向量。利用原假設(shè)，從Bootstrap殘差向量抽取，得，通過方程,求得。利用最大似然估計(jì)求得：重復(fù)(3)-(5)步，得Bootstrap統(tǒng)計(jì)量及的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。比較原假設(shè)與的左側(cè)分位數(shù)，若的左側(cè)分位數(shù)大于，則拒絕原假設(shè)。Bootstrap程序的設(shè)計(jì)是，先給定的值，令其等于0,每次增加0.05,直到達(dá)到0.4。模擬中，重復(fù) 抽樣次數(shù)設(shè)為200次，模擬次數(shù)1000。模擬結(jié)果如表1。本文通過Bootstrap重復(fù)抽樣方法對(duì)自回歸模

9、型的自回歸系數(shù)進(jìn)行了檢驗(yàn)，檢驗(yàn)效果表明:該 方法擺脫的D-W檢驗(yàn)方法固有的不確定域，增強(qiáng)了自回歸系數(shù)檢驗(yàn)的效果;同時(shí)，綜合遞推 Bootstrap和塊Bootstrap兩種抽樣方法，對(duì)自回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的模擬效果相對(duì)于Jeong等 的模擬的結(jié)果更為有效。參考文獻(xiàn)Abrahamse P. A comparison between the pewer of the Durbin-Watson test and the power of the BLUS testJ.J Amer Statist Assoc.1969(64):938-948.Durbin J,Watson G.Testing

10、for serial correlation in least square regression IIJ.Biometrika,1971(58):1-19.Farebrother R.The distribution of a linear combination of central random variables.A remark on AS153: Pans procedure for the tail probabilitiesWatsohetatistxiJ.Appl Statist,1984(33):366-369.Ali M.An approximation to the n

11、ull distribution and power of the Durbin-Watson statisticJ.Biometrika,1984(71):253-261.Shively S,Ansley F and Kohn R.Fast evaluation of the distribution of the Durbin-Watson and other invariant test statistics in time series regressionJ. Journal of American Statistical Association,1990(85):676-685.A

12、nsley F,Kohn R and Shively S. Computing p-values for the generalized Durbin-Watson and other invariant test statisticsJ.J Econom,1992(54):277-300.Efron B.Bootstrap method:Another look at the JacknifeJ.Annals of statistics,1979(1):1-26.Veall R.Bootstrapping Regression Estimators under First-order Serial CorrelationJ.Economics Letters,1986(21):41-44.Rayner K.Bootstrapping p values and power in the First-order Autoregression:A Monte Carlo InvestigationJ.Journal of Business and Economic Statistics,1990(8):251-263.Kunsch R.The Jackknife and th