菲涅耳公式 折反射定律

1、Chapter 1理論基礎(chǔ)1.1介質(zhì)中的Maxwells equations及物質(zhì)方程Vx E =一坐atVx H =J+ 哲 at一_= TOC o 1-5 h z DD=p（1-1）DB=0傳導(dǎo)電流密度J的單位為安培/米2（A/m2）,自由電荷密度p的單位為庫侖/米2（C/m2）。同時(shí)有電磁場(chǎng)對(duì)材料介質(zhì)作用的關(guān)系式，即物質(zhì)方程（或稱本構(gòu)方程）廠 44D=E=%EtP 一得邊界條件為1式(1-4)的具體解釋依次如下(具體過程詳見n x (H -H ) =an - (D - D ) =bn - (B2 - B1) = 0(14)光學(xué)電磁理論P(yáng)20)：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E的切向分量連續(xù)，n為界面

2、的法向分量。 (2)a為界面上的面?zhèn)鲗?dǎo)電流的線密度。當(dāng)界面上無傳導(dǎo)電流時(shí)，a =0，此時(shí)H的切向分量連續(xù)。比如在絕緣介質(zhì)表面無自由電荷和傳導(dǎo)電流。為界面上的自由電荷面密度。磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B的法向分量在界面上連續(xù)。Chapter 2電磁波在分層介質(zhì)中的傳播2.1反射定律和折射定律光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)時(shí)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射?，F(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透 明、各向同性介質(zhì)，分界面為無窮大的平面，入社、反射和折射光均為平面光波，其電場(chǎng)表 達(dá)式為 TOC o 1-5 h z *入射波E = E0. exp禮叮-k Hr)*反射波 E = E0 expi(o t - k Hr)*折射波 E = E

3、0 expi(ot - k Hr)界面兩側(cè)的總電場(chǎng)為：E = E + E = E expi(o t -k - r) + E expi(o t -k - r)v 1 i r0ii i0 rr r、E2 = E = E0 expi(o t -k -衫)由電場(chǎng)的邊界條件n x (E2- E) = 0，有*n x Eexpi(o t - k- r) + n x Eexpi(o t- k- r) = n x Eexpi(o t - k- r)0 ii i0 rr r01t t欲使上式對(duì)任意的時(shí)間t和界面上*均成立，則必然有：氣=or = ot = o(1-5)k - r = k - r = k - r

4、（1-6）irt可見，時(shí)間頻率是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質(zhì)而異，也不會(huì)因折射或反 射而變化。(k - k)- r = 0（1-7）r i(k - k ) - r = 0t i 由于r可以在界面內(nèi)選取不同方向，上式實(shí)際上意味著矢量（k k）和（k k）均與界 riti面的法線n平行，由此可以推知，匕、kr、匕與n共面，該平面稱為入射面。由此可得出結(jié)論：反射波和折射波均在入射面內(nèi)。上式是矢量形式的折、反射定律。將上式寫成標(biāo)量形式，并約掉共同的位置量，可得K-9)= k cos( 0 ) = kt-凡）（1-8）又由于k = n & /c k = n/c1， r 1Q =0,（反射角等于

5、入射角）n sin0 = n sin0（折射定律）（19）l 1 i 2 t2.2菲涅耳公式折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波傳播方向之間的關(guān)系。而反射波、折射波和入 射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系由Fresnel公式來描述。電場(chǎng)E是矢量，可將其分解為一對(duì)正交的電場(chǎng)分量，一個(gè)振動(dòng)方向垂直于入射面，稱為s 分量，另外一個(gè)振動(dòng)方向在（或者說平行于）入射面，稱為P分量。首先研究入射波僅含s分量和僅含p分量這兩種特殊情況。當(dāng)兩種分量同時(shí)存在時(shí)， 則只要分別先計(jì)算由單個(gè)分量成分的折射、反射電場(chǎng)；然后根據(jù)矢量疊加原理進(jìn)行矢量相加 即可得到結(jié)果。（1）單獨(dú)存在s分量的情形首先規(guī)定：電場(chǎng)和磁場(chǎng)的s分量垂

6、直于紙面，向外為正，向內(nèi)為負(fù)。在界面上電場(chǎng)切向分量連續(xù)：nx （七-E） = 0另外由式（1-5）、（1-6），可得E0 is + E0 rS = E0 飲（2-1）在界面上磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)：n x （H 2 - H 1） = 0注意H = k x E，如圖所示。所以同理有 呻-H cos 0 + H cos 0 = -H cos0 （2-2）0ipi0 rpr0tpt非磁性各向同性介質(zhì)中E、H的數(shù)值之間的關(guān)系:那么式（2-1）整理為-n E cos0 + n E cos0 = -n E cos0（23）1 0 isi 1 0 rs r 2 0 tst聯(lián)立式（2-1）（2-3）可得E n c

7、os 0 - n cos 0r = 0rs = i2t-s E n cos 0 + n cos 00is1 i 2 tt E2n cos 0s E n cos 0 + n cos 0 0is1 i 2 t（2）單獨(dú)存在p分量的情形首先規(guī)定：P分量按照其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負(fù)。根據(jù)E、H的邊界條件得:H 0is + H 0 rs= H0tsE cos 0 + E cos 0 = E cos 00 ipi 0 rpr0tpt再利用E、H的數(shù)值關(guān)系以及正交性，得到E n cos0 一n cos0r = Qrp = ；1-tp E n cos0 + n cos0 0 ip2 i 1 t

8、tE02n cos0.p E n cos 0 + n cos 00 ip2i 1t綜上所述，S波及p波的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表達(dá)式為:E0rs E0isE0 rp E0ipE0ts -E0isE0 tp E0 ipn cos0 一 n cos0 1i2-tn cos0 + n cos0i 2 tn cos0. - n cos0n cos 0 + n cos 02 i 1 t2n cos01i n cos0. + n cos02n cos01i n cos0 + n cos0i 1 tp1ts_sin(0 -0 )一 sin(0J +0t)i ttan(0 -0 )tan(0 +0 )it2co

9、s 0 sin0sin(0Z+0 )t2cos 0 sin0sin(0_ +0 )cos(0_ -0 )上面左邊的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，F(xiàn)resnel公式還可以寫成右邊的形 式。2.3反射波和透射波的性質(zhì)光疏一光密光密一光硫o.a2.3.1 n1n2 的情況（1）反射系數(shù)和透射系數(shù)兩個(gè)透射系數(shù)ts和tp都隨著入射角0.增大而單調(diào)降低，即入射波越傾斜，透射波越弱， 并且在正向規(guī)定下，ts和tp都大于零，即折射光不發(fā)生相位突變。rs始終小于零，其絕對(duì)值隨著入射角單調(diào)增大。根據(jù)正方向規(guī)定可知，在界面上反射波電 場(chǎng)的s分量振動(dòng)方向始終與入射波s分量相反，既存在兀相位突變（又稱

10、半波損失）。對(duì)于J它的代數(shù)值隨著入射角，單調(diào)減小，但是經(jīng)歷了 一個(gè)由正到負(fù)的變化。由公式 TOC o 1-5 h z tan(0 -0 )八r = i ，當(dāng)r = 0時(shí)有0 +0 =90，即sin0 = cos0，又由折射定律ptan(0, +0) pititn sin0 = n sin0，聯(lián)立可得此時(shí)入射角為布儒斯特角 = tg-1 %。布儒斯特定律內(nèi)容:i i 2 tbn1如果平面波以布儒斯特角入射，則不論入射波的電場(chǎng)振動(dòng)如何，反射波不再含有p分量，只 有S分量；反射角與折射角互為余角。(2)反射率和透射率上圖中A A A為波的橫截面面積，A為波投射在界面上的面積。若入射光波的強(qiáng)度為1，

11、i r t0isi is 0 i則每秒入射到界面上A0面積的能量為K = !sA =1A cos 0又由光強(qiáng)表達(dá)式1=2nc1 E0|2，上式可寫成 0W = i I E |2 A cos 0is 2 |LX c 0is0 i類似地，反射光和折射光的能量表達(dá)式為nW =一 I E |2 A cos0rs 2日 c 0 rs 0 inW =2 | E |2 A cos0ts 2 |LX c0ts0 tI .s =I r |2I siscos0 I n cos0 |, |2 n cos0si i于是反射率和折射率分別為_ W =rsWisW=s = t . ts-W cos0 Iisi is類似地

12、，當(dāng)入射波只含有p分量的時(shí)，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp：R = rp = rp =| r |2P W I PJip ip-Wcos0In cos0.T = P = . P = -t- - I t |2pWcos0,In cos0, pR與T之間、R與T之間均存在互補(bǔ)關(guān)系，即：p pssppR + T = 1這表明，在界面處，入射波的能量全部轉(zhuǎn)換為反射波和折射波的能量（條件：界面處沒有散 射、吸收等能量損失）。當(dāng)入射波同時(shí)含有S分量和p分量時(shí)，由于兩個(gè)分量的方向互相垂直，所以在任何地點(diǎn)、任 何時(shí)刻都有：I E |2 =| E |2 +1 E |2iisip從而有：I = I +1 n

13、 W = W + Wi is ip i is ip類似還有w = W + W，W = W + Wt可以定義反射率R和透射率T為:WR =W，注意：入射光波的S分量/分量）只對(duì)折射率、反射率的s分量（分量）有貢獻(xiàn)。如果入射波中s和p分量的強(qiáng)度比為a W.=a Ws + *，則有：R =二0R + R 和 T = aT + T 1 + a s p 1 + a s p即R和T分別是Rs、Rp和Ts、Tp的加權(quán)平均。但是仍然有：R+T =1正入射時(shí)，s分量和p分量的差異消失。若用R0和T0表示此時(shí)的反射率和透射率，則有:R = r2 = （=）2 以及 T = L12 =叩o o n + n 0 n

14、0 （n + n ）212112利用這兩個(gè)等式可以估算非正入射但是入射角很?。?n2 的情況這種情形即由光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì)的情形。由折射定律可知，。 0n把90。所對(duì)應(yīng)的入射角稱為全反射臨界角，用0 c表示。即sin 0 =寸10 0 0 0因此分/ c和/c兩種情況來討論。（1）當(dāng) i0 0,0 90。此時(shí)t ，可以直接用Fresnel公式來討論反射波和折射波的性質(zhì)，分析方法和nn2的情形完全相同。對(duì)于s分量來說，當(dāng)9 0,說明無半波損失，正如上圖中的藍(lán)線所示；對(duì)于 e e r 0e e ，說明無半波損失。注意Sintan e 3 =寸，所以必然是 3 n2還是n1n2的情形，布儒斯特定

15、律都成立。t和t均大于1，且隨著9的增大而增大，但是這不意味著透射率T大于1以及T必然隨15 P的增大而增大。T = 2尊.| t |2 p n cose p當(dāng)qe /寸nn一，.一，一sine =.、. 一 .ee . * . sine -, 因?yàn)槿瓷渑R界角滿足c n。由該式可見，當(dāng) c時(shí)，會(huì)出現(xiàn) n的現(xiàn)n sln e = n sln e不再成立。但是為了能夠?qū)⒎?象，這顯然是不合理的。此時(shí)折射定律1 I 2 tn 涅耳公式用于全反射的情況，在形式上仍然要利用關(guān)系式sin O = sin 0.。2由于et在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在，可以將有關(guān)參量擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。而e.始終是實(shí)參量，為此 應(yīng)將cos

16、 et寫成如下的虛數(shù)形式:cos0 = J1 - sin2 0 = .Jsin2 0 一 1 = J（氏 sln0 ）2 一 1有關(guān)cose2取虛數(shù)的物理意義及其取正號(hào)的原因，留在后面說明。將上式代入菲涅耳公式，得到復(fù)反射系數(shù)cose - ijsin2 0. 一 n2（.）s cosO. + ；,sln2e. - n2srsn2 cos0 - sin2 0. 一 n2 廠 （. ） n2 cos0 + ijsin2 0 - n2 p r并且有tan 土 = n 2 tan 里=一正/22 cos0i式中，n = n /n，是二介質(zhì)的相對(duì)折射率；i r i i r i為反射光與入射光的s分量、p

17、分21s 、 p量光場(chǎng)振幅大小之比。中rs、中rp為全反射時(shí)，反射光中的s分量、p分量光場(chǎng)相對(duì)入射光的 相位變化。由上式可見，發(fā)生全反射時(shí)，反射光強(qiáng)等于入射光強(qiáng)，而反射光的相位變化較復(fù) 雜。他們之間的相位差由下式?jīng)Q定：甲* f = 2arctancos % W 土rsrpsin 2 0i因此，在n一定的情況下，適當(dāng)?shù)乜刂迫肷浣?，即可改變相位差，從而改變反射光的偏振?態(tài)。比如菲涅耳棱鏡的原理。當(dāng)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并在界面上發(fā)生全反射時(shí)，投射光強(qiáng)為零。這就有一個(gè)問題： 此時(shí)在光疏介質(zhì)中有無光場(chǎng)呢？當(dāng)把ts、tp的Fresnel公式推廣到復(fù)數(shù)域進(jìn)行計(jì)算，將會(huì)發(fā)現(xiàn)ts、tp都不等于零，亦即光

18、疏媒 質(zhì)內(nèi)有折射光波。在發(fā)生全反射時(shí)，光波場(chǎng)將透入到第二個(gè)介質(zhì)很薄的一層(約為光波波長(zhǎng)) 范圍內(nèi)，這個(gè)波叫倏逝波。現(xiàn)假設(shè)介質(zhì)界面為xOy平面，入射面為xOz平面，則在一般情況下可將透射波場(chǎng)表示為E = E exp-i(o t - kUT) = E exp-i(o t - k x sin 0 - k z cos 0 )t01t t01t tt tt上式可改寫為E = E exp-i(o t - k xsin0 -ik z Jsin0 )2 -1)t0tt t t t n iE = E exp-k z i(Ksin0 )2 - 1exp-i(o t - kx%sin0 )t0tV n it t n i這是一個(gè)沿著z方向振幅衰減，沿著界面x方向傳播的非均勻波，也就是全反射的倏逝波。由此可以說明前面討論的正確性：只有。七取虛數(shù)形式，并且取正號(hào)，才可以得到客觀上 存在的倏逝波。倏逝波在入射波剛剛達(dá)到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波電磁場(chǎng)外，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀 態(tài)之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿著界面處傳播，不進(jìn)入第二媒質(zhì)內(nèi)部。因而全 反射時(shí)Rs=1、甲0和Rp=1、t：0并不違反能量守恒定律。具體性質(zhì)參看物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)P382.4 Stocks倒逆關(guān)系Stokes reversible relation可以導(dǎo)出不同介質(zhì)兩側(cè)折射系數(shù)、反射系數(shù)的關(guān)系。如上左圖所