函數(shù)凹凸性判別法與應(yīng)用講解

1、第 頁共14頁函數(shù)凹凸性判別法與應(yīng)用作者：祝紅麗指導(dǎo)老師：邢抱花摘要函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.它反映在函數(shù)圖象上就是曲線的彎曲方向，通過它可以較好地掌握函數(shù)對應(yīng)曲線的性狀.本文基于函數(shù)凹凸性概念的分析，著重探討了函數(shù)凹凸性的判別方法以及在解題中的應(yīng)用，如在不等式證明中的應(yīng)用以及在求函數(shù)最值時的應(yīng)用等.并結(jié)合相關(guān)例題做了較詳細(xì)的論述.關(guān)鍵詞凹凸性導(dǎo)數(shù)不等式應(yīng)用1引言函數(shù)的凹凸理論在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位.函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)的因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結(jié)合函數(shù)的其它性質(zhì)，可以使我們對函數(shù)的認(rèn)識更加精確.以函數(shù)yf(x)在某區(qū)間i上單調(diào)增加為例說明.我們不難理解，隨著自變量

2、x的穩(wěn)定增加，當(dāng)函數(shù)y的增量越來越大時，函數(shù)圖形是凹的，當(dāng)函數(shù)y的增量越來越小時，函數(shù)圖形是凸的，當(dāng)函數(shù)y的增量保持不變時，函數(shù)圖象是直線，對于減函數(shù)我們可以作類似的分析.作為研究分析函數(shù)的工具和方法，它在許多學(xué)科里有著重要的應(yīng)用.長期以來，很多學(xué)者致力于函數(shù)凹凸性的判別法及其應(yīng)用的研究.近年來，關(guān)于函數(shù)凹凸性的判定與應(yīng)用的研究取得了一些成果，使函數(shù)凹凸性的判別法與應(yīng)用更加的廣泛.本文先從兩個具體的函數(shù)圖象為出發(fā)點，直觀上觀察函數(shù)圖象的彎曲方向，從而引出函數(shù)凹凸性的概念和拐點的定義.并在此基礎(chǔ)上介紹了凹凸函數(shù)的幾何特征，接著介紹函數(shù)凹凸性的幾種判別方法，如：用定義去判別函數(shù)的凹凸性，利用二階導(dǎo)

3、函數(shù)判別函數(shù)的凹凸性，及利用函數(shù)凹凸性的判定定理判別函數(shù)的凹凸性.其中利用函數(shù)凹凸性的概念是最基本的判別方法，利用二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)凹凸性之間的關(guān)系是最常用的判別方法.最后舉例介紹了函數(shù)凹凸性在證明不等式、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖中的應(yīng)用.雖然說并不是所有的不等式都能利用函數(shù)的凹凸性證明，但是利用函數(shù)的凹凸性去證明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函數(shù)凹凸性證明不等式豐富了不等式的證明方法，開闊了解題思路.利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的上升、下降，圖形的凹凸性和極值.根據(jù)對這些的討論可以幫助我們畫出用公式表示的函數(shù)圖形,了解函數(shù)的凹凸性能夠使對函數(shù)圖形的描繪更加精確化.凹凸函數(shù)及拐點的定義Yy=:曲線y=

4、X2上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的卜方；而曲線我們已經(jīng)熟悉函數(shù)y二x2和y=lgx的圖象.它們的不同之0y=lgx則相反，任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方.我們把具有前一種特性的曲線稱為凹的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凹函數(shù)；后一種曲線稱為凸的，相應(yīng)的函數(shù)成為凸函數(shù)函數(shù)凹凸性的分析定義形式較多，卜面給出函數(shù)凹凸性定義的更一般的形式.函數(shù)凹凸性的定義定義設(shè)函數(shù)f(X)在區(qū)間1上連續(xù)，若對1上的任意兩點Xi，X2和任意實數(shù)九e(0,1)，總有：f久x1+(1-)x2九f(x1)+(1-九)f(x2)，則稱f為1上的凹函數(shù).反之，如果總有：f九X+(1-九)xxf(x)+(1九)f(x)，則稱f為I上的

5、凸函數(shù).2121r.x+x、1、1、特別地，當(dāng)九=2時，滿足f(12)2f(x1)+f(x2)的函數(shù)為凹函數(shù)，滿足x+x11f(TT)f(x)+f(x)的函數(shù)為凸函數(shù).22122如果定義中的不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凹函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù).凹函數(shù)與凸函數(shù)的幾何意義定義中凹函數(shù)與凸函數(shù)的圖象如圖1、圖2.凹函數(shù)(凸函數(shù))的幾何意義：連接曲線y=f(x)上任意兩點的弦總位于對應(yīng)曲線的上方(卜方).拐點的定義設(shè)曲線y=f(x)在點(xf(x)處有穿過曲線的切線且在切點近旁，曲線的切線的兩0,0側(cè)分別是嚴(yán)格凹和嚴(yán)格凸的，這時稱點(W(xo)為曲線y=f(x)的拐點.由定義可見，對于具有凹凸

6、性的函數(shù)而言，拐點正是函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變的那一點即拐點的兩側(cè)鄰域有著互異的嚴(yán)格凹凸性.如下圖中的M點.嚴(yán)格地說，拐點都是平面光滑曲線(即切線連續(xù)變動的曲線)彎曲方向發(fā)生改變的轉(zhuǎn)折點，拐點的幾何特征是該點的切線不是在曲線的一側(cè)“托著曲線”而是切線在切點處把曲線一分為二，分別在切線的兩側(cè).易知，有正弦曲線的圖象可知y=sinx有拐點(加,0),k為整數(shù).2.4拐點的判別法(1)若f(x)在x處連續(xù)，在x兩側(cè)f(x)反號，則C,f(x)是曲線y=f(x)的拐0000點.若f(x)=0，f(x)h0，則(x,f(x)是y=f(x)的拐點.0000例題1求下列函數(shù)的拐點2)f(x)=x3.x-1)2(

7、1)f(x占廣(x)=器當(dāng)xe(-2,1)o(1,+8)時，f(x)0；當(dāng)xe(-8,-2)時，f(x)0，又f(2)=9,(5)所以點-2,石是函數(shù)的拐點.V9丿(2)f(x)=3x2，f”(x)=6x，f(x)=6，f(0)=0，f(0)h0，所以點(0,0)是函數(shù)的拐點.注意：函數(shù)的拐點只是表示在該點的兩側(cè)函數(shù)具有不同的嚴(yán)格凹凸性，而不能只依靠判斷二階導(dǎo)數(shù)是否為零來確定函數(shù)的拐點對于二階導(dǎo)數(shù)不存在的點x，檢查f(x)在x左右00兩側(cè)鄰近的符號，那么當(dāng)兩側(cè)鄰近的符號相反時，點(x0,f(x。)是曲線y=f(x)的拐點,當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點(x,f(x)不是曲線y=f(x)的拐點函數(shù)的拐點

8、因此函數(shù)的拐點00與二次導(dǎo)數(shù)是否存在沒有必然的聯(lián)系例如：f(x)=x+在x二0時的情況.易知x2f(x)=，f(x)在x二0處的二階導(dǎo)數(shù)不存在，但是當(dāng)x0時，f”(x)0 x3時，f(x)0,所以x二0是f(x)的一個拐點.函數(shù)凹凸性的判別法觀察函數(shù)圖象，我們很容易得出結(jié)論：凹函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是不斷變大的，而凸函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)則恰恰相反.這是我們通過觀察幾何圖形進(jìn)行直觀的感知得到的結(jié)論，但是人的觀察不可避免的存在著一定的局限性，只有通過嚴(yán)密的證明得到的結(jié)論才能使人信服.迄今為止，判別函數(shù)的凹凸性已經(jīng)有很多的方法.定義法判別函數(shù)的凹凸性用定義法去判別函數(shù)的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的

9、基礎(chǔ).所以對定義的理解和掌握是至關(guān)重要的.例題2f，g均為I上的連續(xù)函數(shù)，證明：(1若f，g均為凹函數(shù)，則g+f為凹函數(shù)；(2若f，g均為遞增非負(fù)凹函數(shù)，則g-f為凹函數(shù).證明設(shè)任意的x，xeI，Xe(0,1)，12(1)、因為f，g均為凹函數(shù)，所以由定義知：f九x+(1-九)x九f(x)+(1九)f(x)和1212g九x+(1九)xxg(x)+(1九)g(x).1212兩式相加：fXx+(1-X)x+gXx+(1-X)xXf(x)+(1X)f(x)+Xg(x)+(1X)g(x),12121212即：(f+g)九x+(1-X)xX(f+g)(x)+(1X)(f+g)(x)，所以f+g為凹函數(shù).

10、1212、由題題意得：(f-g)九x+(1-九)x二f九x+(1九)x-g九x+(1九)x121212九f(x)+(1九)f(x)-Xg(x)+(1X)g(x)12122f(x)g(x)+(1X)2f(x)g(x)+X(1X)f(x)g(x)+f(x)g(x).11221122下面只要證明：X2f(x)g(x)+(1X)2f(x)g(x)+X(1X)f(x)g(x)+f(x)g(x)11221122X(f-g)(x)+(1X)(f-g)(x)即可.12采用做差法比較兩者的大?。壕?f(x)g(x)+(1九)2f(x)g(x)+九(1九)f(x)g(x)+f(x)g(x)11221122-九(f

11、-g)(x)+(1九)(f-g)(x)=九(1九)f(x)f(x)g(x)g(x)0.121212綜上所述，可得(f-g)x+(1九)xf(x)+f(x)(xx)，則f(x)為I上的凹函數(shù).21121證明設(shè)以x，x為I上任意兩點，x二九x+(1九)x，0Xf(x)+f(x)(x一x)，并利用xx=(1X)(xx)與xx二九(x2112111222f(x)f(x)+f(x)(xx)二f(x)+(1X)(xx)f(x).1112x1)f(x)f(x)+f(x)(xx)二f(x)+X(xx)f(x).2221分別用X與1-X上列兩式并相加，得到：Xf(x)+(1X)f(x)f(x)二fXx+(1X)

12、x.1212所以f(x)為1上的凹函數(shù).3.2函數(shù)凹凸性的判定定理定理f(x)為I上的函數(shù)，若對于I上的任意三點xxx,312總有：f(x)f(x)f(x)f(x)miIf(小斗,l孫rwp賂234，則f(x)為I上的凹函數(shù).xx32xx21證明在I上任取兩點x1，叮叮x3)，在x，x上任取一點13x=Xx+(1X)x,XG(0,1)，貝0，213xxxxX=T2，1X=T1xxxx3131因為f(x)f(x)f(x)f(x)2132xx32xx21所以有：(x3x2)f(x2)+(x2x1)f(x2)(x3x2)f(x1)+(x2x1)f(x3).所以有，(x3-th*)0,xxxx所以不等

13、式兩邊同時除以(x-x)有：f(x)32f(x)+21f(x).312x-x1x-x33131即f(叮f(%)+(i)f(弓又f(叮二f九%+(j)x3-所以f九+(i)x3a(x-x)+f(x)，證明：f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù).oo證明設(shè)xxa(x-x2)+f(x2)(VxeI).令x二x，有f(x)a(x-x)+f(x)，得到i2a(x-x)+f(x)，得到f(x3)f(x2)a.33322x-x32f(x)-f(x)f(x)-f(x)廠/、r綜上所述，亠2a12，所以f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù). HYPERLINK l bookmark74 o Current Document x-x

14、x-x3212函數(shù)凹凸性的充要條件充要條件設(shè)函數(shù)y=f(x)在I上連續(xù)，在I內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么,若在I內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在I上的圖形是凹的；若在I內(nèi)恒有f(x)0,所以f為I上的增函數(shù)，設(shè)任意的x，xeI,12在以x，x(不妨設(shè)xf(x)(x-x)，即對I上的任意兩點x，x，12112112有：f(x)f(x)+f(x)(x-x).21121令x=九兀+(1一九)x,0V九f(x)+f(x)(x-x)二f(x)+(1九)(x-x)f(x).133133123f(x)f(x)+f(x)(x-x)二f(x)+x(x-x)f(x).233233213以上兩個不等式的兩端分別乘以九與

15、(1-九)并相加得：九f(x)+(1一九)f(x)f(x)二f九x+(1一九)x.12312即f(x)在I是凹函數(shù)；必要性：任取I上兩點x,x(xx)及充分小的正數(shù)h.由于1212xhxxx，+根h據(jù)f(x)是凹函數(shù)及函數(shù)凹凸性的判定定理有：1122f(x)-f(xh)f(x)-f(x)f(x+h)-f(x)112122.hx一xh21由于f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，令hT0+時可得f(xk*)叫)0.(2)f(x)0的情況類似的可以證明.例題5求曲線f(x)二x3(12lnx10)的凹凸區(qū)間及拐點.解函數(shù)的定義域為(0,+8)，又f(x)二36x2Inx18x2，f”(x)二72xInx，令f(x)

16、二0，即72xlnx二0，得到x二1，點x二1把定義域分成兩個部分即(0,1與1爐).在各部分區(qū)間內(nèi)f(x)與f”(x)的符號，相應(yīng)曲段弧的升降及凹凸、拐點等，如下圖表：x(0,1)1(1,+8)f(x)0+圖形凸區(qū)間拐點凹區(qū)間可得：在(0,1內(nèi)，f(x)0,因此是曲線的凹區(qū)間.所以：點(1,一10)是曲線的拐點.小結(jié)：求曲線凹凸區(qū)間及拐點的步驟：首先找出可能是拐點的橫坐標(biāo)(包括使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點)，再利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷該曲線的凹凸區(qū)間及拐點.函數(shù)凹凸性的應(yīng)用函數(shù)凹凸性的應(yīng)用及其廣泛，很多與函數(shù)、不等式交匯的綜合問題都可以利用函數(shù)的凹凸性加以解決.利用函數(shù)的凹凸性去解決

17、問題，往往能夠使某些復(fù)雜的問題簡單化.接下來，我們重點討論函數(shù)凹凸性在不等式的證明、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖等中的應(yīng)用.函數(shù)凹凸性在證明不等式中的應(yīng)用有些不等式的表達(dá)形式很簡單，但如果通過常規(guī)的證明方法和技巧卻很難達(dá)到預(yù)期的效果，這就需要我們另辟蹊徑，尋找更有效的方法技巧，利用凹凸函數(shù)的性質(zhì)不但可以減少計算量，使解題更加合理，而且借助凹凸函數(shù)的幾何特征可以使解題思路更加清晰直觀.利用函數(shù)的凹凸性證明一個重要的不等式定理如果f(x)是凸函數(shù)O對V5,d,g0,1，滿足d+d+d=1，都12n12n有f(dx+dx+-+dx)df(x)+df(x)+-+df(x).1122nn1122nn特別地，當(dāng)

18、Q=6=-=d=時，上述不等式稱為琴生(Jensen)不等式.12nn例題6任意n個非負(fù)實數(shù)的調(diào)和平均值小于或等于它們的幾何平均值小于或等于他們的算數(shù)平均值即：Vx0，(i=1,2,n)，恒有：inx+x+xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 5nxxx5t2n11112nn+ HYPERLINK l bookmark90 o Current Document xxx12n當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=xn時等號成立.證明考慮函數(shù)y=Inx,很容易判斷出其是凸函數(shù)，有琴生(Jensen)不等式得到: HYPERLINK l bo

19、okmark76 o Current Document x+x+x1111ln12nlnx+lnx+lnx=ln(xxx)=lnnxxx HYPERLINK l bookmark78 o Current Document n1n2nnn12n12nx+x+x.即：1心=n叭沆xn，又y=lnx在定義域上是單調(diào)遞增的.x+x+x所以有：尹1x2xn5亠亠，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a=a時等號成立.另一方面，lnn111+-xx12111+-xxxln2nn11115(ln+ln+ln)xx2nnx1=lnnxxx12nn即：InT所以有：7nxxx，當(dāng)且僅當(dāng)a=a=a時等號成立.111*12n12n+-x

20、1綜上所述有：nx+x+xTOC o 1-5 h znxxxT2n11112n+ HYPERLINK l bookmark88 o Current Document xxx12n當(dāng)且僅當(dāng)a二a=a時等號成立.12n注意：利用函數(shù)的凹凸性證明不等式時，一定要注意構(gòu)造或者引進(jìn)我們所需要的輔助函數(shù)，使條件和結(jié)論、已知與未知建立聯(lián)系.凹凸函數(shù)不等式的積分形式定理設(shè)f(x)是a,b上的可積函數(shù)且mf(x)Jb9f(x)dx(如果9(t)是凹函數(shù)，則不等式反向).b-aab-aaJbf(x)dx.aJbInf(x)dx.即得證.b-aa例題7設(shè)f(x)為a,b上的正值連續(xù)函數(shù),11證明：JbInf(x)d

21、x0,f(x)0.若F(x)Jf(t)dt，證明:0 xF(1)F(x)2J1F(t)dt,xg(0,1).0證明由F(x)=Jxf(t)dt，可得F(x)二f(x),進(jìn)而得到F(x)二f(x)，所以0F(x)x-F(1)+(1-x)F(0).又F(0)=0，所以F(x)x-F(1).另一方面，由Hadamard不等式：設(shè)函數(shù)f(x)是a,b上連續(xù)的凸函數(shù)，對任意的x,xga,b,xf(X1):f(x2)，得丄J1F(t)dt2x一xx21一0o211F(0)+F2F(1)即：J1F(t)dt，又F(x)=f(x)0，所以F(x)在0,1為單調(diào)增函數(shù)，所以有：02學(xué)，即2J1F(t)dtF(x

22、).綜上所述，即有：22oxF(1)F(x)0(k=1,2,n)，試求(x+x+x)(+)的最小值.k12nxxx12n解析如果采用一般的解題方法，我們就會發(fā)現(xiàn)很難找到問題的突破口，但是如果我們采用函數(shù)的凹凸性去思考，再結(jié)合著題目的表達(dá)形式，就很容易聯(lián)想到琴生(Jensen)不等式，問題就迎刃而解了.224x解設(shè)f(x)=，則f(x)=-，f(x)=0.所以f(x)為凹函數(shù)，由琴生xx2x4(Jensen)不等式f(t2n)2n2，12nxxx12n222所以(x+x+x)(+)的最小值為2n2.12nxxx12n例題10設(shè)函數(shù)f(x)為a,b上的凸函數(shù)，則求f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值.b

23、一x解對于任意的xga,b，取九=，(九g0,1)，所以有x=Xa+(1九)b.b一a進(jìn)而有f(x)=f九a+(1九)b，又f(x)為a,b上的凸函數(shù)所以有：f(x)=f九a+(1九)b九f(a)+(1九)f(b)minf(a),f(b).所以f(x)的最小值為minf(a),f(b).記區(qū)間a,b的中點為A，且A=，設(shè)任意的xea,b關(guān)于A的對稱點為x則有，又f(x)是a,b上的凸函數(shù)，所以有:a+b2f(x)+f(x)2-f(x)+m_2，即：f(x)0,所以f(x)為凹函數(shù)所以有:f(a+b+C+d)1f(a)+f(b)+f(c)+f(d).44(a+b+c+d)21即：64，當(dāng)且僅當(dāng)a

24、=b=c=d=4時等號成立.小結(jié)：求函數(shù)最值的常用方法是利用函數(shù)的單調(diào)性、求導(dǎo)和均值不等式等方法，但是求函數(shù)值域沒有通用的方法和固定的模式，要靠在學(xué)習(xí)過程中不斷積累，掌握規(guī)律.而利用函數(shù)的凹凸性求解，為求函數(shù)最值開辟了一條新的路徑.從上面幾個例題可以看出利用函數(shù)凹凸性去求函數(shù)最值的關(guān)鍵還是構(gòu)造合適的輔助函數(shù).4.3利用函數(shù)的凹凸性作函數(shù)圖象圖象是刻畫函數(shù)變量之間關(guān)系的一個重要途徑，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)和依據(jù).函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，是探求解題途徑、獲得問題結(jié)果的重要工具.但是在實際的解題過程中，并不是

25、所有的函數(shù)圖形都能夠很容易地作出.下面我們就利用函數(shù)的凹凸性去解決一些函數(shù)作圖問題.例題12作出函數(shù)f(a)二cos(2arccosa)2的圖形.解析題目中的函數(shù)解析表達(dá)式不夠直觀，我們考慮將函數(shù)做恒等變換，之后再利用函數(shù)的凹凸性作出函數(shù)圖象.解因為cos(2arccosa)=1一2sin2arccosa，設(shè)x二sinarccosa,xe-1,1,所以所給函數(shù)的表達(dá)式可以寫成f(x)二(1-2x2)2，且函數(shù)的定義域為xe-1,1，該函數(shù)是偶函數(shù)，它的圖形關(guān)于y軸對稱，因此只需討論區(qū)間-1,0上的圖形即可.f(x)=-8x(1+J2x)(1-*；2x)，進(jìn)而得到:f”(x)=48x2-8=8(

26、6x-1)(；6x+1),TOC o 1-5 h zJ2J6在區(qū)間-1,0上,f(x)=0的解為x=0或x=一，f”(x)=0，的解為x=2626220).試證明：f(x),F(x)為嚴(yán)格遞增的函數(shù).證明因為f(x)為嚴(yán)格凹函數(shù),f(0)=0，所以F(x)=心=f(x)-f(0)為嚴(yán)x格遞增的因為f(x)是非負(fù)函數(shù)，所以對于Vx0，有f(x)0=f(0).若某點x0，使得f(x)=0，則在0,x上有f(x)三0與f(x)為嚴(yán)格凹函數(shù)矛盾.111所以Vx0，有f(x)0，最后設(shè)0 xf(xi)-f(0)=山0，得f(x)為嚴(yán)格遞增的(x0).x-xx-0 x2111結(jié)束語本文從函數(shù)凹凸性的概念出

27、發(fā)，通過具體的實例較系統(tǒng)地介紹了函數(shù)凹凸性的常規(guī)的判定方法及在證明不等式、求函數(shù)最值以及在作函數(shù)圖象時的應(yīng)用.把握函數(shù)凹凸性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，關(guān)鍵就是在把握函數(shù)凹凸性的基本概念、定理的基礎(chǔ)上，同時加強(qiáng)此方面的訓(xùn)練和研究.函數(shù)凹凸性的應(yīng)用，拓展了學(xué)習(xí)和研究的鄰域由于受到各種因素的限制，本文也有一定的不足之處.函數(shù)凹凸性的判別方法與應(yīng)用還有很多，本文只介紹了其中的一部分，還有其它方法與應(yīng)用可以補(bǔ)充.參考文獻(xiàn)宣立新.高等數(shù)學(xué)（上冊）M.高等教育出版社，1999.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系M.數(shù)學(xué)分析高等教育出版社，2007.毛綱源高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納M.華中理工大學(xué)出版社，2002.于淑蘭關(guān)于曲線拐點的判別法J.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2003,33（1）:98-100.劉玉璉，傅沛仁.